Asymetria widmowa - Spectral asymmetry

W matematyce i fizyce The widmowa asymetria jest asymetrii rozkładu widma od wartości własnych o o operatora . W matematyce asymetria widmowa pojawia się w badaniu operatorów eliptycznych na zwartych rozmaitościach i ma głębokie znaczenie w twierdzeniu o indeksie Atiyaha-Singera . W fizyce ma wiele zastosowań, zwykle skutkując ładunkiem ułamkowym ze względu na asymetrię widma operatora Diraca . Na przykład wartość oczekiwana próżni liczby barionowej jest dana asymetrią widmową operatora hamiltonowskiego . Asymetria widmowa ograniczonych pól kwarkowych jest ważną właściwością modelu torby chiralnej . Dla fermionów jest on znany jako wskaźnik Wittena i może być rozumiany jako opisujący efekt Casimira dla fermionów.

Definicja

Mając operator z wartościami własnymi , z których tyle samo jest dodatnich i ujemnych, asymetrię widmową można zdefiniować jako sumę ${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$

${\ Displaystyle B = \ Lim _ {t \ do 0} \ Frac {1} {2}} \ suma _ {n} \ nazwa operatora {sgn} (\ omega _ {n}) \ exp (-t | \ omega _{n}|)}$

gdzie jest funkcja znaku . Można zastosować inne regulatory , takie jak regulator funkcji zeta . ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Potrzeba w definicji zarówno widma dodatniego, jak i ujemnego jest powodem, dla którego asymetria widmowa zwykle występuje w badaniach operatorów Diraca .

Przykład

Jako przykład rozważmy operator z widmem

${\ Displaystyle \ omega _ {n} = n + \ alfa}$

gdzie n jest liczbą całkowitą, obejmującą wszystkie wartości dodatnie i ujemne. Można wprost wykazać, że w tym przypadku jest posłuszna dowolna liczba całkowita , a to dla nas . Wykres jest zatem okresową krzywą piłokształtną. ${\displaystyle B(\alfa )}$${\ Displaystyle B (\ alfa ) = B (\ alfa + m)}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle 0<\alfa <1}$${\displaystyle B(\alfa)=1/2-\alfa}$${\displaystyle B(\alfa )}$

Dyskusja

Z asymetrią widmową wiąże się próżniowa wartość oczekiwana energii związanej z operatorem, czyli energia Casimira , która jest wyrażona wzorem

${\ Displaystyle E = \ lim _ {t \ do 0} {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {n} | \ omega _ {n} | \ exp (-t | \ omega _ {n} |)}$

Ta suma jest formalnie rozbieżna i rozbieżności muszą być rozliczane i usuwane przy użyciu standardowych technik regularyzacji.

Bibliografia

• MF Atiyah, VK Patodi i IM Singer, Asymetria spektralna i geometria Riemanna I , Proc. Camb. Phil. Soc., 77 (1975), 43-69.
• Linas Vepstas, AD Jackson, AS Goldhaber, Dwufazowe modele barionów i chiralny efekt Casimira , Physics Letters B140 (1984) s. 280-284.
• Linas Vepstas, AD Jackson, Justifying the Chiral Bag , Physics Reports, 187 (1990) s. 109-143.