Funkcja całkowania kwadratowego - Square-integrable function

W matematyce funkcja całkowalna do kwadratu , zwana także funkcją lub funkcją całkowalną kwadratowo , jest funkcją mierzalną o wartości rzeczywistej lub zespolonej, dla której całka kwadratu wartości bezwzględnej jest skończona. Zatem całkowalność kwadratowa na linii rzeczywistej jest zdefiniowana w następujący sposób. ${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Można również mówić o całkowalności kwadratowej po przedziałach ograniczonych, takich jak for . ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\leq b}$

Równoważną definicją jest stwierdzenie, że kwadrat samej funkcji (a nie jej wartości bezwzględnej) jest całkowalny Lebesgue'a . Aby to było prawdziwe, całki części dodatniej i ujemnej części rzeczywistej muszą być zarówno skończone, jak i części urojonej.

Przestrzeń wektora kwadratowych funkcji zabudowy (względem Lebesgue'a środka) stanowi L ^p przestrzeń z . Wśród L ^p przestrzeni klasa kwadratowej funkcji zabudowy jest wyjątkowy, ponieważ zgodne z produktem wewnętrznej , co pozwala pojęć takich jak kąt i ortogonalności zdefiniowane. Wraz z tym iloczynem wewnętrznym funkcje całkowalne kwadratowe tworzą przestrzeń Hilberta , ponieważ wszystkie przestrzenie L ^p są zupełne pod ich odpowiednimi p -normami . ${\displaystyle p=2}$

Często termin ten jest używany nie w odniesieniu do określonej funkcji, ale do klas równoważności funkcji, które są prawie wszędzie równe .

Nieruchomości

Kwadratowe Funkcje zabudowy (w sensie, o którym mowa, w którym „funkcja” faktycznie oznacza klasę równoważności funkcji, które są równe prawie wszędzie) tworzą przestrzeń unitarna z produktem wewnętrznym danego przez

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {A} {\ overline {f (x)}} g (x) \ \ operatorname {d} x}$

gdzie

• ${\displaystyle f}$i są funkcjami całkowalnymi do kwadratu,${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$jest sprzężone z ,${\displaystyle f(x)}$
• ${\ Displaystyle A}$jest zbiorem, nad którym się integruje — w pierwszej definicji (podanej we wstępie powyżej) jest ; w drugim jest .${\ Displaystyle A}$${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle [a,b]}$

Ponieważ , całkowalność kwadratowa jest tym samym, co powiedzenie ${\ Displaystyle | a | ^ {2} = a \ cdot {\ overline {a}}}$

${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty.\,}$

Można wykazać, że funkcje całkowalne kwadratowe tworzą pełną przestrzeń metryczną pod metryką indukowaną przez iloczyn skalarny zdefiniowany powyżej. Kompletna przestrzeń metryczna jest również nazywana przestrzenią Cauchy'ego , ponieważ sekwencje w takich przestrzeniach metrycznych zbiegają się wtedy i tylko wtedy, gdy są Cauchy'ego . Przestrzeń kompletna pod metryką indukowaną przez normę to przestrzeń Banacha . Zatem przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem jest przestrzenią Banacha, pod metryką indukowaną przez normę, która z kolei indukowana jest przez iloczyn skalarny. Ponieważ mamy dodatkową właściwość iloczynu skalarnego, jest to konkretnie przestrzeń Hilberta , ponieważ przestrzeń jest kompletna pod metryką indukowaną przez iloczyn skalarny.

Ta wewnętrzna przestrzeń produktu jest konwencjonalnie oznaczana i wielokrotnie skracana jako . Zauważ, że oznacza zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem, ale żaden wybór metryki, normy lub iloczynu wewnętrznego nie jest określony przez ten zapis. Zestaw wraz z konkretnym produktem wewnętrznym określają przestrzeń produktu wewnętrznego. ${\ Displaystyle \ lewo (L_ {2} \ langle \ cdot \ cdot \ rangle _ {2} \ po prawej)}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle L_{2}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle _ {2}}$

Przestrzeń kwadratowych funkcji zabudowy jest L ^P miejsca , w którym . ${\displaystyle p=2}$

Przykłady

• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x ^ {n}}}}$, zdefiniowane na (0,1), jest w L ² dla, ale nie dla .${\displaystyle n<{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$

• Funkcje ograniczone, zdefiniowane na [0,1]. Funkcje te są również w L ^p , dla dowolnej wartości p .
• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}}}$, zdefiniowany w dniu .${\displaystyle [1,\infty )}$

Nieprzykłady

• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x}}}$, zdefiniowane na [0,1], gdzie wartość 0 jest dowolna. Ponadto funkcja ta nie jest w L ^p dla żadnej wartości p in .${\displaystyle [1,\infty )}$

Zobacz też

• L ^P przestrzeń

Bibliografia