Stan (analiza funkcjonalna) - State (functional analysis)

W analizy funkcjonalnej , A stan się z układu napędowego jest dodatni liniowy funkcjonalny od normy 1. Zjednoczonych w analizy funkcjonalnej uogólnić pojęcie macierzy gęstości w mechanice kwantowej, które reprezentują stany kwantowe , zarówno §§ stany mieszane i stany Czyste . Macierze gęstości z kolei uogólniają wektory stanów , które reprezentują tylko stany czyste. Dla M systemu operatorowego w C*-algebrze A z identycznością, zbiór wszystkich stanów M, czasami oznaczany przez S( M ), jest wypukły, słaby-* zamknięty w podwójnej przestrzeni Banacha M ^* . Zatem zbiór wszystkich stanów M o topologii słabej* tworzy zwartą przestrzeń Hausdorffa, znaną jako przestrzeń stanów M .

W C*-algebraicznym ujęciu mechaniki kwantowej stany w tym poprzednim sensie odpowiadają stanom fizycznym, tj. odwzorowaniu fizycznych obserwowalnych (samosprzężonych elementów C*-algebry) na ich oczekiwany wynik pomiaru (liczba rzeczywista).

Rozkład Jordana

Stany mogą być postrzegane jako nieprzemienne uogólnienia miar prawdopodobieństwa . Zgodnie z reprezentacją Gelfanda , każda przemienna C*-algebra A ma postać C ₀ ( X ) dla jakiegoś lokalnie zwartego X Hausdorffa . W tym przypadku S ( A ) składa się z dodatnich miar Radona na X , a stany czyste są funkcjonałami oceny na X .

Ogólnie rzecz biorąc, konstrukcja GNS pokazuje, że każdy stan jest, po wybraniu odpowiedniej reprezentacji, stanem wektorowym .

O ograniczonym funkcjonale liniowym w C*-algebrze A mówi się , że jest samosprzężony, jeśli ma wartość rzeczywistą na elementach samosprzężonych A . Funkcjonały samosprzężone są nieprzemiennymi odpowiednikami miar znakowanych .

Jordan rozkładem w teorii miary mówi, że każdy podpisany środek może być wyrażona jako różnica dwóch pozytywnych działań wspierane rozłącznych zbiorów. Można to rozszerzyć na ustawienie nieprzemienne.

Twierdzenie — Każde samosprzężone f w A ^* można zapisać jako f = f ₊ − f ₋ gdzie f ₊ i f ₋ są funkcjonałami dodatnimi, a || f || = || f ₊ || + || f ₋ ||.

Dowód —

Dowód można naszkicować w następujący sposób: Niech Ω będzie słabym*-zwartym zbiorem dodatnich funkcjonałów liniowych na A z normą ≤ 1, a C (Ω) będzie funkcjami ciągłymi na Ω. A może być postrzegane jako zamknięta liniowa podprzestrzeń C (Ω) (jest to reprezentacja funkcji Kadisona ). Hahn-Banach C rozciąga się na g w ° C (co) * Z

Z powyższej dekompozycji wynika, że A* jest liniowym rozpiętością stanów.

Niektóre ważne klasy państw

Czyste stany

Według twierdzenia Kreina-Milmana przestrzeń stanów M ma skrajne punkty. Skrajne punkty przestrzeni stanów określane są jako stany czyste, a pozostałe stany to stany mieszane .

Stany wektorowe

Dla przestrzeni Hilberta H i wektora x w H równanie ω _x ( A ) := ⟨ Ax , x ⟩ (dla A w B(H) ) definiuje dodatni funkcjonał liniowy na B(H) . Ponieważ ω _x ( 1 )=|| x || ² , ω _x jest stanem, jeśli || x ||=1. Jeśli jest C * -subalgebra z B (H) i M operatora systemu w A , a następnie restrykcyjnego ω _x do M tworzy dodatnią liniowy funkcjonalny w M . Stany M , które powstają w ten sposób wektory jednostkowych H , określane są jako stany wektor o M .

Stany normalne

Stan nazywa się normal , iff dla każdego monotonu, zwiększająca się sieć operatorów z najmniejszą górną granicą , zbiega się do . ${\ Displaystyle \ tau}$ ${\ Displaystyle H_ {\ alfa}}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle \ tau (H_ {\ alfa}) \;}$ ${\ Displaystyle \ tau (H) \;}$

Państwa Tracial

Stan tracial to stan taki, że ${\ Displaystyle \ tau}$

{\ Displaystyle \ tau (AB) = \ tau (BA) \;.}

Dla każdej separowalnej C*-algebry zbiór stanów śladowych to simpleks Choqueta .

Stany czynnikowe

Silnia stan o C * -algebra A jest taki stan, że commutant odpowiedniego przedstawienia GNS z A jest czynnik .

Zobacz też

Bibliografia

Lin, H. (2001), Wprowadzenie do klasyfikacji amenable C*-algebr , World Scientific

Languages

In other projects