Budowa Gelfand – Naimark – Segal - Gelfand–Naimark–Segal construction

W analizie funkcjonalnej , dyscyplinie w matematyce , biorąc pod uwagę C * -algebrę A , konstrukcja Gelfanda-Naimarka-Segala ustala zgodność między cyklicznymi * -prezentacjami A i pewnymi funkcjonałami liniowymi na A (zwanymi stanami ). Korespondencja jest pokazana przez jawną konstrukcję * -reprezentacji ze strony państwa. Jej nazwa pochodzi od Izraela Gelfanda , Marka Naimarka i Irvinga Segala .

Stany i reprezentacje

* -Representation o C * -algebra A na Hilberta H jest mapowanie π od A do algebry operatorów ograniczonych z H , tak że

• π jest homomorfizmem pierścieniowym, który przenosi inwolucję na A do inwolucji na operatorach
• π jest niezdegenerowanych , to jest przestrzeni wektorów gatunku ( x ) jest gęsta w ξ x zakresów przez A i Ę zakresów przez H . Zauważ, że jeśli ma tożsamość, nondegeneracy środki dokładnie π jest jednostkowe zachowania, czyli π odwzorowuje tożsamość A dla operatora tożsamości na H .

Stan na C * -algebrze A jest pozytywny liniowy funkcjonalnej f od normy 1. Jeżeli ma zwielokrotniony element jednostkowy warunek ten jest równoważna F (1) = 1.

Dla reprezentacji π C * -algebry A w przestrzeni Hilberta H , element ξ nazywamy wektorem cyklicznym, jeśli zbiór wektorów

${\ Displaystyle \ {\ pi (x) \ xi: x \ w A \}}$

ma gęstość normalną w H , w którym to przypadku π nazywa się reprezentacją cykliczną . Każdy niezerowy wektor reprezentacji nieredukowalnej jest cykliczny. Jednak niezerowe wektory w reprezentacji cyklicznej mogą nie być cykliczne.

Konstrukcja GNS

Niech π będzie * -reprezentacją C * -algebry A w przestrzeni Hilberta H, a ξ będzie wektorem cyklicznym o jednostkowej normie dla π. Następnie

${\ Displaystyle a \ mapsto \ langle \ pi (a) \ xi, \ xi \ rangle}$

jest stanem A .

I odwrotnie, każdy stan A można postrzegać jako stan wektorowy, jak powyżej, pod odpowiednią reprezentacją kanoniczną.

Twierdzenie. Biorąc pod uwagę stan p o A , istnieje * -representation π z A działając na Hilberta H z dokładnymi jednostki cykliczny wektor ξ taki sposób, że dla każdego A w A . ${\ Displaystyle \ rho (a) = \ langle \ pi (a) \ xi, \ xi \ rangle}$

Dowód.

1) Konstrukcja przestrzeni Hilberta H

Definiować na A semi-określona forma półtoraliniowa

${\ Displaystyle \ langle a, b \ rangle = \ rho (b ^ {*} a), \; a, b \ in A.}$

Przez nierówności Cauchy- Schwarz elementy zdegenerowane, a w A spełniający p ( a * a ) = 0, tworzą podprzestrzeń wektor I o A . Przez C * -algebraic argumentu, można wykazać, że I jest lewy idealny z A (znany jako lewego jądra p). W rzeczywistości jest to największy lewy ideał w zerowej przestrzeni ρ. Przestrzeń iloraz z A w podprzestrzeni wektora I jest wewnętrzną przestrzenią produkt z produktu określonej przez wewnętrzną . Realizacji Cauchy- z A / I w normie indukowanego przez ten produkt jest wewnętrzna przestrzeń Hilberta, co oznaczamy H . ${\ Displaystyle \ langle a + ja, b + ja \ rangle: = \ rho (b ^ {*} a), \; a, b \ w A}$

2) Konstrukcja reprezentacji π

Określić gatunku czynnościowy A w A / , że przez Õ ( ) ( b + I ) = ab + I o A o A / I . Ten sam argument pokazujący, że I jest lewostronnym ideałem, również implikuje, że π ( a ) jest operatorem ograniczonym na A / I i dlatego może być unikalnie przedłużony do końca. Odkrywając definicję sprzężenia operatora w przestrzeni Hilberta, π okazuje się * -zachowawczy. Dowodzi to istnienia * -reprezentacji π.

3) Identyfikacja wektora cyklicznego ξ normy jednostkowej

Jeśli A ma multiplikatywną tożsamość 1, to jest natychmiastowe, że klasa równoważności ξ w przestrzeni GNS Hilberta H zawierającej 1 jest wektorem cyklicznym dla powyższej reprezentacji. Jeśli nie jest unital, wziąć w przybliżeniu tożsamości { e _X } o A . Ponieważ dodatnie funkcjonały liniowe są ograniczone, klasy równoważności siatki { e _λ } są zbieżne do pewnego wektora ξ w H , który jest wektorem cyklicznym dla π.

Jak wynika z definicji produktu wewnętrznej na GN Hilberta H że ρ stan może być odzyskiwane w postaci wektora stanu o H . To potwierdza twierdzenie.

Metoda użyta do uzyskania * -reprezentacji ze stanu A w dowodzie powyższego twierdzenia nazywa się konstrukcją GNS . Dla stanu C * -algebry A odpowiadająca reprezentacja GNS jest zasadniczo jednoznacznie określona przez warunek, jak widać w poniższym twierdzeniu. ${\ Displaystyle \ rho (a) = \ langle \ pi (a) \ xi, \ xi \ rangle}$

Twierdzenie. Mając stan ρ z A , niech π, π 'będzie * -reprezentacjami A na przestrzeniach Hilberta H , H', odpowiednio, z jednostkowymi normowymi wektorami cyklicznymi ξ ∈ H , ξ '∈ H' takimi, że dla wszystkich . Następnie π, π 'są ukształtowane jako równoważne * -representations czyli nie jest jednolitym operatora U od H do H' tak, że "(Õ a ) = Uπ ( a ), U * w całym A w A . Operator U , który implementuje jednolity równoważność odwzorowuje π ( ) ξ do π '( ) ξ' dla wszystkich A w A . ${\ Displaystyle \ rho (a) = \ langle \ pi (a) \ xi, \ xi \ rangle = \ langle \ pi '(a) \ xi', \ xi '\ rangle}$${\ displaystyle a \ in A}$

Znaczenie konstrukcji GNS

Konstrukcja GNS jest sercem dowodu twierdzenia Gelfanda – Naimarka charakteryzującego C * -algebry jako algebry operatorów. AC * -algebra ma wystarczająco wiele czystych stanów (patrz poniżej), aby bezpośrednia suma odpowiadających nieredukowalnych reprezentacji GNS była wierna .

Bezpośrednią suma odpowiednich GNS reprezentacji wszystkich państw nazywana jest uniwersalną reprezentację z A . Uniwersalna reprezentacja A zawiera każdą cykliczną reprezentację. Ponieważ każda * -reprezentacja jest bezpośrednią sumą cyklicznych reprezentacji, wynika z tego, że każda * -reprezentacja A jest bezpośrednim sumą pewnej sumy kopii reprezentacji uniwersalnej.

Jeśli Φ jest uniwersalnym przedstawieniem C * -algebra A , zamknięcie cp ( ) w słabym topologii operatora nazywana jest okrywającą Neumanna algebraiczne z A . Można go zidentyfikować za pomocą podwójnego podwójnego A ** .

Nieredukowalność

Istotny jest również związek między nieredukowalnymi * -reprezentacjami a skrajnymi punktami wypukłego zbioru stanów. Reprezentacja π na H jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma zamkniętych podprzestrzeni H, które są niezmienne dla wszystkich operatorów π ( x ) innych niż sam H i trywialna podprzestrzeń {0}.

Twierdzenie . Zbiór stanów C * -algebry A z elementem jednostkowym jest zwartym zbiorem wypukłym w topologii słaby *. Ogólnie (niezależnie od tego, czy A ma element jednostkowy, czy nie ), zbiór dodatnich funkcjonałów o normie ≤ 1 jest zwartym zbiorem wypukłym.

Oba te wyniki wynikają bezpośrednio z twierdzenia Banacha-Alaoglu .

W przypadku przemienności unitalnej, dla C * -algebry C ( X ) funkcji ciągłych na jakiejś zwartej X , twierdzenie Riesza – Markowa – Kakutaniego o reprezentacji mówi, że dodatnie funkcjonały normy ≤ 1 to dokładnie borelowskie miary dodatnie na X z całkowitą masa ≤ 1. Z twierdzenia Kerina-Milmana wynika, że stany ekstremalne są miarami punkt-masa Diraca.

Z drugiej strony reprezentacja C ( X ) jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednowymiarowa. Dlatego reprezentacja GNS C ( X ) odpowiadająca miary μ jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy μ jest stanem ekstremalnym. W rzeczywistości jest to prawdą ogólnie dla C * -algebr.

Twierdzenie . Niech A będzie C * -algebrą. Jeśli π jest * -reprezentacją A w przestrzeni Hilberta H z jednostkowym wektorem cyklicznym ξ, to π jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający stan f jest krańcowym punktem wypukłego zbioru dodatnich funkcjonałów liniowych na A o normie ≤ 1.

Aby udowodnić ten wynik, należy najpierw zauważyć, że reprezentacja jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy komutant π ( A ), oznaczony przez π ( A ) ', składa się ze skalarnych wielokrotności tożsamości.

Wszelkie dodatnie funkcjonały liniowe g na A zdominowane przez f mają postać

${\ Displaystyle g (x ^ {*} x) = \ langle \ pi (x) \ xi, \ pi (x) T_ {g} \, \ xi \ rangle}$

dla jakiegoś dodatniego operatora T _g w π ( A ) 'z 0 ≤ T ≤ 1 w kolejności operatorów. To jest wersja twierdzenia Radona – Nikodyma .

Dla takiego g można zapisać f jako sumę dodatnich funkcjonałów liniowych: f = g + g ' . Zatem π ​​jest jednostkowo równoważne podreprezentacji π _g ⊕ π _{g '} . To pokazuje, że π jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jakiekolwiek takie π _g jest jednostkowo równoważne π, tj. G jest skalarną wielokrotnością f , co potwierdza twierdzenie.

Stany ekstremalne są zwykle nazywane stanami czystymi . Zauważ, że stan jest stanem czystym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ekstremalny w wypukłym zbiorze stanów.

Twierdzenia powyżej dla C * -algebr są poprawne bardziej ogólnie w kontekście B * -algebr o przybliżonej tożsamości.

Uogólnienia

Stinespring faktoryzacji twierdzenie charakteryzujące całkowicie pozytywne mapy jest ważnym uogólnieniem konstrukcji GNS.

Historia

Artykuł Gelfanda i Naimarka na temat twierdzenia Gelfanda – Naimarka został opublikowany w 1943 r. Segal rozpoznał konstrukcję zawartą w tej pracy i przedstawił ją w wyostrzonej formie.

W swoim artykule z 1947 roku Segal wykazał, że dla każdego układu fizycznego, który można opisać algebrą operatorów w przestrzeni Hilberta, wystarczy rozważyć nieredukowalne reprezentacje C * -algebry. W teorii kwantów oznacza to, że C * -algebra jest generowana przez obserwable. Jak zauważył Segal, zostało to wykazane wcześniej przez Johna von Neumanna tylko dla konkretnego przypadku nierelatywistycznej teorii Schrödingera-Heisenberga.

Zobacz też

• Wektor cykliczny i rozdzielający

Bibliografia

• William Arveson , Zaproszenie do C * -Algebry , Springer-Verlag, 1981
• Kadison, Richard , Podstawy teorii algebr operatora, tom. I: Teoria elementarna , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN   978-0821808191 .
• Jacques Dixmier , Les C * -algèbres et leurs Représentations , Gauthier-Villars, 1969.
  Tłumaczenie angielskie: Dixmier, Jacques (1982). C * -algebry . Holandia Północna. ISBN   0-444-86391-5 .
• Thomas Timmermann, Zaproszenie do grup kwantowych i dualności: od algebr Hopfa do multiplikatywnych unitarnych i nie tylko , European Mathematical Society, 2008, ISBN   978-3-03719-043-2 - Dodatek 12.1, sekcja: Konstrukcja GNS (s. 371)
• Stefan Waldmann: O teorii reprezentacji kwantyzacji deformacji , w: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasburg, 31 maja - 2 czerwca 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN   978-3 -11-017247-8 , s. 107–134 - sekcja 4. Konstrukcja GNS (s. 113)
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily (2005). Geometryczne i algebraiczne metody topologiczne w mechanice kwantowej . World Scientific. ISBN   981-256-129-3 . CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )

Referencje w tekście