Numer Tamagawy - Tamagawa number

W matematyce , liczba Tamagawa z półprosty grupy algebraicznej zdefiniowanej przez globalnego pola k jest miarą , gdzie jest Adele pierścień z k . Numery Tamagawy zostały wprowadzone przez Tamagawę  ( 1966 ) i nazwane jego imieniem przez Weila  ( 1959 ).

Tsuneo Tamagawa obserwacji jest to, że wychodząc z niezmiennym postaci różniczkowej Ohm na G , określonej przez K , środek zaangażowany był dobrze określony : podczas ω można zastąpić cω z c niezerowej elementu , The wzorze produkt do wyceny w k odzwierciedla niezależność od c miary ilorazu, dla miary produktu skonstruowanej z ω na każdym efektywnym czynniku. Obliczanie liczb Tamagawy dla grup półprostych zawiera ważne części klasycznej kwadratowej teorii form .

Definicja

Niech k będzie ciałem globalnym, A jego pierścieniem adel, a G półprostą grupą algebraiczną zdefiniowaną nad k .

Wybierz miary Haara na uzupełnieniach k v z k takie, że O v ma objętość 1 dla wszystkich, ale skończenie wielu miejsc v . Następnie indukują one miarę Haara na A , którą dalej zakładamy, że jest znormalizowana tak, że A / k ma objętość 1 w odniesieniu do indukowanej miary ilorazu.

Miara Tamagawy na adelicznej grupie algebraicznej G ( A ) jest teraz zdefiniowana w następujący sposób. Skręć w lewo niezmienny n -a- omów na G ( k ) zdefiniowany powyżej k , gdzie n jest wymiar od G . To, wraz z powyższymi wyborami miary Haara na k v , indukuje miary Haara na G ( k v ) dla wszystkich miejsc v . Ponieważ G jest półproste, iloczyn tych miar daje miarę Haara na G ( A ) , zwaną miarą Tamagawy . Miara Tamagawy nie zależy od wyboru ω ani od wyboru miar na k v , ponieważ pomnożenie ω przez element k * mnoży miarę Haara na G ( A ) przez 1, używając formuły produktu do wycen .

Liczba Tamagawy τ ( G ) jest zdefiniowana jako miara Tamagawy G ( A )/ G ( k ) .

Przypuszczenie Weila na temat liczb Tamagawy

Zobacz także: przypuszczenie Weila na temat liczb Tamagawy

Hipoteza Weila na temat liczb Tamagawy mówi, że liczba Tamagawy τ ( G ) prostej grupy algebraicznej zdefiniowanej nad polem liczbowym jest po prostu spójna (tzn. nie posiadająca odpowiedniego pokrycia algebraicznego ). Weil  ( 1959 ) obliczył liczbę Tamagawy w wielu przypadkach klasycznych grup i zaobserwował, że jest to liczba całkowita we wszystkich rozważanych przypadkach i że jest równa 1 w przypadkach, gdy grupa jest po prostu połączona. Ono (1963) znalazł przykłady, w których liczby Tamagawy nie są liczbami całkowitymi, ale przypuszczenie o liczbie Tamagawy po prostu połączonych grup zostało ogólnie udowodnione w kilku pracach, których kulminacją była praca Kottwitza  ( 1988 ) oraz analogia nad polami funkcyjnymi nad skończonymi pola Lurie i Gaitsgory w 2011 roku.

Zobacz też

Bibliografia

  • „Liczba Tamagawa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
  • Kottwitz, Robert E. (1988), „Liczby Tamagawa”, Ann. Matematyki. , 2, Roczniki Matematyki, 127 (3): 629-646, doi : 10.2307/2007007 , JSTOR  2007007 , MR  0942522.
  • Ono, Takashi (1963), „O liczbie Tamagawy tori algebraicznych”, Annals of Mathematics , Druga seria, 78 (1): 47-73, doi : 10.2307/1970502 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970502 , MR  0156851
  • Ono, Takashi (1965), „O względnej teorii liczb Tamagawy”, Annals of Mathematics , Druga Seria, 82 (1): 88-111, doi : 10.2307/1970563 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970563 , MR  0177991
  • Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Grupy algebraiczne i nieciągłe podgrupy , Proc. Sympoz. Pure Math., IX , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 113-121, MR  0212025
  • Weil, André (1959), Exp. nr 186, Adèles et groupes algébriques , Séminaire Bourbaki, 5 , s. 249-257
  • Weil, André (1982) [1961], Adele i grupy algebraiczne , Progress in Mathematics, 23 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, MR  0670072
  • Lurie, Jacob (2014), Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality

Dalsza lektura

  1. ^ Lurie 2014 .