Przypuszczenie Weila dotyczące liczb Tamagawy - Weil's conjecture on Tamagawa numbers

W matematyce , przypuszczenie Weil na liczbach Tamagawa jest stwierdzenie, że liczba Tamagawa z po prostu podłączony prosty grupy algebraicznej określonym nad polem jest numer 1. W tym przypadku, po prostu podłączone oznacza „nie posiadające odpowiedniej algebraicznych przykrycie” w algebraicznej grupie sens teorii , co nie zawsze jest celem topologów .

Historia

Weil  ( 1959 ) obliczył liczbę Tamagawy w wielu przypadkach klasycznych grup i zauważył, że jest to liczba całkowita we wszystkich rozważanych przypadkach i że jest równa 1 w przypadkach, gdy grupa jest po prostu połączona. Pierwsza obserwacja nie dotyczy wszystkich grup: Ono (1963) znalazł przykłady, w których liczby Tamagawy nie są liczbami całkowitymi. Drugie spostrzeżenie, że liczby Tamagawy po prostu połączonych grup półprostych wydają się wynosić 1, stało się znane jako przypuszczenie Weila.

Robert Langlands (1966) wprowadził metody analizy harmonicznej , aby pokazać to dla grup Chevalley . KF Lai (1980) rozszerzył klasę znanych przypadków o grupy redukcyjne quasisplit . Kottwitz (1988), okazały się dla każdego spełniających zasady Hasse , który w tym czasie był znany dla każdego bez e 8 czynników. VI Czernousow (1989) usunął to ograniczenie, udowadniając zasadę Hassego dla odpornego przypadku E 8 (patrz silne przybliżenie w grupach algebraicznych ), kończąc w ten sposób dowód hipotezy Weila. W 2011 roku Jacob Lurie i Dennis Gaitsgory ogłosili dowód na hipotezę dla grup algebraicznych nad ciałami funkcyjnymi nad ciałami skończonymi.

Aplikacje

Ono (1965) użył hipotezy Weila do obliczenia liczb Tamagawy wszystkich półprostych grup algebraicznych.

W przypadku grup spinowych hipoteza implikuje znany wzór masowy Smitha-Minkowskiego-Siegela .

Zobacz też

Bibliografia

  • „Liczba Tamagawa” , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  • Chernousov, VI (1989), „The Hasse rule for groups of type E8”, Soviet Math. Dokl. , 39 : 592-596, MR   1014762
  • Kottwitz, Robert E. (1988), „Tamagawa numbers”, Ann. matematyki. , 2, Annals of Mathematics, 127 (3): 629–646, doi : 10.2307 / 2007007 , JSTOR   2007007 , MR   0942522 .
  • Lai, KF (1980), „Tamagawa number of reductive algebraic groups” , Compositio Mathematica , 41 (2): 153–188, MR   0581580
  • Langlands, RP (1966), „The volume of the basic domain for some ithmetical subgroups of Chevalley groups”, Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups , Proc. Natl. Sympos. Pure Math., Providence, RI: Amer. Matematyka. Soc., S. 143–148, MR   0213362
  • Ono, Takashi (1963), „On the Tamagawa number of algebraic tori”, Annals of Mathematics , Second Series, 78 (1): 47–73, doi : 10.2307 / 1970502 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970502 , MR   0156851
  • Ono, Takashi (1965), „O względnej teorii liczb Tamagawy”, Annals of Mathematics , Second Series, 82 (1): 88–111, doi : 10.2307 / 1970563 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970563 , MR   0177991
  • Tamagawa, Tsuneo (1966), „Adèles”, Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups , Proc. Natl. Sympos. Pure Math., IX , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 113–121, MR   0212025
  • Voskresenskii, VE (1991), Algebraic Groups and their Birational Invariants , tłumaczenie AMS
  • Weil, André (1959), Exp. Nr 186, Adèles et groupes algébriques , Séminaire Bourbaki, 5 , s. 249–257
  • Weil, André (1982) [1961], Adeles and algebraic groups , Progress in Mathematics, 23 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-3-7643-3092-7 , MR   0670072
  • Lurie, Jacob (2014), Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality

Dalsza lektura