Długość fali termicznej de Broglie - Thermal de Broglie wavelength

W fizyce The cieplnej de Broglie fali ( czasami również oznaczony ) jest mniej więcej średnią de Broglie fali cząstek w atmosferze gazu idealnego w określonej temperaturze. Możemy przyjąć, że średni odstęp międzycząsteczkowy w gazie wynosi w przybliżeniu $($ $V$ $/$ $N$ $)$ $1/3,$ gdzie $V$ jest objętością, a $N$ jest liczbą cząstek. Gdy termiczna długość fali de Broglie jest znacznie mniejsza niż odległość między cząsteczkami, gaz można uznać za klasyczny lub gaz Maxwella-Boltzmanna . Z drugiej strony, gdy termiczna długość fali de Broglie jest rzędu lub większa niż odległość między cząsteczkami , efekty kwantowe będą dominować i gaz musi być traktowany jako gaz Fermiego lub gaz Bosego , w zależności od natury cząstek gazu. . Temperatura krytyczna jest punktem przejściowym między tymi dwoma reżimami iw tej temperaturze krytycznej długość fali termicznej będzie w przybliżeniu równa odległości między cząstkami. Oznacza to, że kwantowa natura gazu będzie oczywista dla ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$

\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th}}^{3}}}\leq 1\,{\rm {lub}}\ \ lewo ({\frac {V }{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }

tj. gdy odległość między cząstkami jest mniejsza niż termiczna długość fali de Broglie; w tym przypadku gaz będzie zgodny ze statystykami Bosego-Einsteina lub Fermiego-Diraca , w zależności od tego, co jest właściwe. Tak jest na przykład w przypadku elektronów w typowym metalu przy T = 300 K , gdzie gaz elektronowy jest zgodny ze statystyką Fermiego-Diraca , lub w kondensacie Bosego-Einsteina . Z drugiej strony za

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ Frac {V} {N \ lambda _ {\ operatorname {th}} ^ {3}}} \ gg 1 \ , {\ rm {lub}} \ \ lewo ({\ Frac {V }{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }}

tj. gdy odległość między cząstkami jest znacznie większa niż termiczna długość fali de Broglie, gaz będzie zgodny ze statystyką Maxwella-Boltzmanna . Tak jest w przypadku gazów cząsteczkowych lub atomowych w temperaturze pokojowej oraz neutronów termicznych wytwarzanych przez źródło neutronów .

Masywne cząstki

W przypadku masywnych, nieoddziałujących cząstek, termiczną długość fali de Broglie można wyprowadzić z obliczenia funkcji podziału . Zakładając jednowymiarowe pudełko o długości $L$ , funkcja podziału (wykorzystująca stany energetyczne cząstki 1D w pudełku ) jest

${\ Displaystyle Z = \ suma _ {n} e ^ {-E_ {n} / k_ {\ operatorname {B}} T} = \ suma _ {n} e ^ {-h ^ {2} n ^ {2 }/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}.}$

Ponieważ poziomy energii są bardzo blisko siebie, możemy przybliżyć tę sumę jako całkę:

${\ Displaystyle Z = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-h ^ {2} n ^ {2} / 8 ml ^ {2} k_ {\ operatorname {B}} T} dn = {\ sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}. }$

Stąd,

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {th}} = {\ Frac {h} {\ sqrt {2 \ pi mk_ {\ operatorname {B}} T}}}}$

gdzie jest stałą Plancka , $m$ jest masą cząsteczki gazu, jest stałą Boltzmanna , a $T$ jest temperaturą gazu. Można to również wyrazić za pomocą zredukowanej stałej Plancka jako ${\ Displaystyle h}$ $k_{\mathrm {B}}$ ${\ Displaystyle \ hbar = {\ Frac {h} {2 \ pi}}}$

{\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}} = {\ sqrt {\ Frac {2 \ pi \ hbar ^ {2}} {mk_ {\ operatorname {B}} T}}}.}

Cząstki bezmasowe

W przypadku cząstek bezmasowych (lub wysoce relatywistycznych ) długość fali termicznej jest definiowana jako

{\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}} = {\ Frac {hc} {2 \ pi ^ {1/3} k_ {\ operatorname {B}} T}} = {\ Frac {\ pi ^ { 2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}},}

gdzie c jest prędkością światła. Podobnie jak długość fali termicznej dla masywnych cząstek, jest ona rzędu średniej długości fali cząstek w gazie i określa punkt krytyczny, w którym zaczynają dominować efekty kwantowe. Na przykład, gdy obserwuje się fal długich, widmo ciała czarnego promieniowania klasyczne prawo Rayleigha-dżinsy może być stosowany, ale gdy obserwowane długości fali zbliżyć się fali termicznej fotonów w chłodnicy ciała czarnego kwantowa prawo Plancka muszą być stosowane .

Ogólna definicja

Można wprowadzić ogólną definicję długości fali termicznej dla gazu doskonałego o cząstkach, które mają arbitralną zależność potęgową między energią i pędem (zależność dyspersji), w dowolnej liczbie wymiarów. Jeśli $n$ jest liczbą wymiarów, a zależność między energią ( $E$ ) a pędem ( $p$ ) jest dana wzorem

{\ Displaystyle E = ap ^ {s}}

(gdzie $a$ i $s$ są stałymi), to długość fali cieplnej jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}} = {\ Frac {h} {\ sqrt {\ pi}}} \ lewo ({\ Frac {a} {k_ {\ operatorname {B}} T}} \right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},}

gdzie Γ jest funkcją Gamma . W szczególności dla gazu 3-D ( $n = 3$ ) o masywnych lub bezmasowych cząstkach mamy $E = p 2 /2 m (a = 1/2 m, s = 2)$ i $E = pc (a = c, s = 1)$ , odpowiednio, dając wyrażenia wymienione w poprzednich sekcjach. Zauważ, że dla masywnych nierelatywistycznych cząstek ( s = 2), wyrażenie nie zależy od n . To wyjaśnia, dlaczego wyprowadzenie jednowymiarowe powyżej zgadza się z przypadkiem trójwymiarowym.

Przykłady

Niektóre przykłady termicznej długości fali de Broglie przy 298 K podano poniżej.

Gatunek	Masa (kg)	${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {th}}}$ (m)
Elektron	9.1094E-31	4.3179E-9
Foton	0	1.6483E-5
H ₂	3.3474E-27	7.1228E-11
O ₂	5.3135E-26	1.7878E-11

Bibliografia

^ ^B Charles Kittel; Herberta Kroemera (1980). Fizyka Cieplna (2 wyd.). WH Freemana. P. 73 . Numer ISBN 978-0716710882.
^ Schroeder Daniel (2000). Wprowadzenie do fizyki cieplnej . Stany Zjednoczone: Addison Wesley Longman. s. 253 . Numer ISBN 0-201-38027-7.
^ Yan, Zijun (2000). „Ogólna długość fali cieplnej i jej zastosowania” . Europejski Czasopismo Fizyki . 21 (6): 625–631. doi : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . ISSN 0143-0807 . Pobrano 2021-08-17 .

Vu-Quoc, L., Configuration integral (mechanika statystyczna) , 2008. ta witryna wiki nie działa; zobacz ten artykuł w archiwum internetowym w dniu 28 kwietnia 2012 .

[Kittel-1] B Charles Kittel; Herberta Kroemera (1980). Fizyka Cieplna (2 wyd.). WH Freemana. P. 73 . Numer ISBN 978-0716710882.

[2] Schroeder Daniel (2000). Wprowadzenie do fizyki cieplnej . Stany Zjednoczone: Addison Wesley Longman. s. 253 . Numer ISBN 0-201-38027-7.

[3] Yan, Zijun (2000). „Ogólna długość fali cieplnej i jej zastosowania” . Europejski Czasopismo Fizyki . 21 (6): 625–631. doi : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . ISSN 0143-0807 . Pobrano 2021-08-17 .

Languages

In other projects