Urelement - Urelement
W teorii mnogości gałąź matematyki , urelement lub element ur (z niemieckiego przedrostka ur- , „pierwotny”) jest przedmiotem, który nie jest zbiorem , ale może być elementem zbioru. Jest również określany jako atom lub osoba .
Teoria
Istnieje kilka różnych, ale zasadniczo równoważnych sposobów traktowania relacji w teorii pierwszego rzędu .
Jednym ze sposobów jest praca w teorii pierwszego rzędu z dwoma rodzajami, zbiorami i urelacjami, przy czym a ∈ b jest zdefiniowane tylko wtedy, gdy b jest zbiorem. W tym przypadku, jeśli U jest niepowiązane, nie ma sensu mówić , chociaż jest to całkowicie uzasadnione.
Innym sposobem jest do pracy w jednym posortowane teorii z jednoargumentowego związku stosowanego do odróżnienia zestawy i urelements. Ponieważ niepuste zbiory zawierają elementy członkowskie, podczas gdy urelacje nie, relacja jednoargumentowa jest potrzebna tylko do odróżnienia pustego zbioru od relacji. Zauważ, że w tym przypadku aksjomat ekstensjonalności musi być sformułowany tak, aby odnosił się tylko do obiektów, które nie są relacjami.
Sytuacja ta jest analogiczna do traktowania teorii zbiorów i klas . Rzeczywiście, urelacje są w pewnym sensie dwojakie do odpowiednich klas : nie mogą one mieć członków, podczas gdy właściwe klasy nie mogą być członkami. Inaczej mówiąc, urelements są obiektami minimalnymi, podczas gdy odpowiednie klasy są obiektami maksymalnymi ze względu na relację przynależności (która oczywiście nie jest relacją porządku, więc analogii tej nie należy brać dosłownie).
Relacje w teorii mnogości
Zermelo teorii mnogości z 1908 włączonych urelements, a więc jest to wersja my teraz nazywamy ZFA lub ZFCA (tj ZFA z aksjomatu wyboru ). Szybko zdano sobie sprawę, że w kontekście tej i ściśle powiązanych aksjomatycznych teorii mnogości , zależności te nie były potrzebne, ponieważ można je łatwo modelować w teorii mnogości bez tych powiązań. Tak więc standardowe wykłady kanonicznych aksjomatycznych teorii zbiorów ZF i ZFC nie wspominają o związkach. (Wyjątek można znaleźć w Suppes.) Aksjomatyzacje teorii mnogości, które odwołują się do urelacji, obejmują teorię mnogości Kripkego – Plateka z urelacjami oraz wariant teorii mnogości von Neumanna – Bernays – Gödela opisanej przez Mendelsona. W teorii typów obiekt typu 0 można nazwać relacją; stąd nazwa „atom”.
Dodanie urelements do systemu New Foundations (NF) w celu produkcji NFU ma zaskakujące konsekwencje. W szczególności Jensen udowodnił spójność NFU w stosunku do arytmetyki Peano ; w międzyczasie spójność NF w stosunku do czegokolwiek pozostaje otwartym problemem, w oczekiwaniu na weryfikację dowodu Holmesa na jego spójność w stosunku do ZF. Co więcej, NFU pozostaje względnie spójne, gdy zostanie uzupełnione o aksjomat nieskończoności i aksjomat z wyboru . Tymczasem zaprzeczeniem aksjomatu wyboru jest, co ciekawe, twierdzenie NF. Holmes (1998) przyjmuje te fakty jako dowód, że NFU jest bardziej skuteczną podstawą matematyki niż NF. Holmes dalej argumentuje, że teoria mnogości jest bardziej naturalna z powiązaniami niż bez, ponieważ możemy przyjąć za związki obiekty dowolnej teorii lub fizycznego wszechświata . W skończonej teorii mnogości urelacje są odwzorowywane na najniższe składowe zjawiska docelowego, takie jak atomowe składniki obiektu fizycznego lub członków organizacji.
Atomy Quine
Alternatywnym podejściem do urelements jest traktowanie ich, a nie jako typu obiektów innych niż zbiory, jako szczególnego typu zbioru. Atomy Quine'a (nazwane na cześć Willarda Van Ormana Quine'a ) to zbiory, które zawierają tylko siebie, to znaczy zbiory spełniające formułę x = { x }.
Atomy Quine'a nie mogą istnieć w systemach teorii mnogości, które zawierają aksjomat regularności , ale mogą istnieć w nieuzasadnionej teorii mnogości . Teoria zbiorów ZF z usuniętym aksjomatem regularności nie może udowodnić istnienia jakichkolwiek nieuzasadnionych zbiorów (chyba że jest niespójna, w takim przypadku będzie to dowolne stwierdzenie ), ale jest zgodna z istnieniem atomów Quine'a. Aksjomat antypodstawowy Aczela sugeruje, że istnieje unikalny atom Quine'a. Inne nieuzasadnione teorie mogą dopuszczać wiele różnych atomów Quine'a; na przeciwległym końcu spektrum znajduje się aksjomat superwszechświata Boffy, z którego wynika, że odrębne atomy Quine'a tworzą odpowiednią klasę .
Atomy Quine'a pojawiają się również w New Foundations Quine'a , co pozwala na istnienie więcej niż jednego takiego zestawu.
Atomy Quine'a to jedyne zbiory zwane przez Petera Aczela zbiorami zwrotnymi , chociaż inni autorzy, np. Jon Barwise i Lawrence Moss, używają tego ostatniego terminu do oznaczenia większej klasy zbiorów o własności x ∈ x .