Zestaw amorficzny - Amorphous set

W teorii zbiorów An amorficzny zestaw jest nieskończona zestawu , który nie jest rozłączne Związek dwóch nieskończonych podzbiorów .

Istnienie

Zbiory amorficzne nie mogą istnieć, jeśli założymy aksjomat wyboru . Fraenkel skonstruował model permutacyjny Zermelo-Fraenkla z atomami, w którym zbiór atomów jest zbiorem amorficznym. Po wstępnych pracach Cohena nad forsowaniem w 1963 roku uzyskano dowody zgodności zbiorów amorficznych z Zermelo-Fraenkelem .

Dodatkowe właściwości

Każdy zbiór amorficzny jest Dedekind-finite , co oznacza, że ​​nie ma bijekcji na własny podzbiór. Aby to zobaczyć, załóżmy, że jest to zbiór, który ma bijekcję na odpowiedni podzbiór. Dla każdej liczby naturalnej definiujemy jako zbiór elementów, które należą do obrazu składu -krotnego f z samą sobą, ale nie do obrazu składu -krotnego. Wtedy każdy jest niepusty, więc połączenie zbiorów z parzystymi indeksami byłoby zbiorem nieskończonym, którego dopełnienie w jest również nieskończone, co pokazuje, że nie może być amorficzny. Jednak odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa: jest to spójne, że istnieją nieskończone zbiory skończone Dedekind, które nie są amorficzne. ${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle (i+1)}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Żaden zestaw amorficzny nie może być uporządkowany liniowo . Ponieważ obraz zbioru amorficznego sam w sobie jest albo amorficzny, albo skończony, wynika z tego, że każda funkcja od zbioru amorficznego do zbioru uporządkowanego liniowo ma tylko skończony obraz.

Cofinite filtr na amorficzną zestawu jest Ultrafiltr . Dzieje się tak, ponieważ dopełnienie każdego nieskończonego podzbioru nie może być nieskończone, więc każdy podzbiór jest albo skończony, albo koskończony.

Wariacje

Jeśli jest podziałem zbioru amorficznego na skończone podzbiory, to musi istnieć dokładnie jedna liczba całkowita, taka, która ma nieskończenie wiele podzbiorów o rozmiarze ; ponieważ jeśli każdy rozmiar był używany nieskończenie wiele razy lub jeśli więcej niż jeden rozmiar był używany nieskończenie wiele razy, informacje te można wykorzystać do zgrubienia podziału i podzielenia go na dwa nieskończone podzbiory. Jeśli zbiór amorficzny ma dodatkową właściwość, że dla każdego podziału , , to nazywamy go ściśle amorficznym lub silnie amorficznym , a jeśli istnieje skończone ograniczenie górne, to zbiór ten nazywamy amorficznym ograniczonym . Jest to zgodne z ZF, że zbiory amorficzne istnieją i są wszystkie ograniczone, lub że istnieją i wszystkie są nieograniczone. ${\ Displaystyle \ Pi}$${\displaystyle n(\pi)}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\displaystyle n(\pi)=1}$${\displaystyle n(\pi)}$

Bibliografia