Podejdź do przestrzeni - Approach space

W topologii , gałęzi matematyki , obowiązuje podejście są uogólnieniem przestrzeni metrycznych , w oparciu o punkt- ustalonych odległościach, zamiast point-to-point dystansach. Zostały one wprowadzone przez Roberta Lowena w 1989 roku w serii artykułów poświęconych teorii podejść w latach 1988-1995.

Definicja

Biorąc pod uwagę przestrzeń metryczną ( X , d ), lub bardziej ogólnie, rozszerzoną pseudo quasymetryczną (która będzie tutaj w skrócie ∞pq-metryka ), można zdefiniować indukowaną mapę d : X × P ( X ) → [0, ∞] by d ( x , A ) = inf { d ( x , a ): a ∈ A }. Mając na uwadze ten przykład, odległość na X jest zdefiniowana jako mapa X × P ( X ) → [0, ∞] spełniająca wszystkie x w X i A , B ⊆ X ,

  1. d ( x , { x }) = 0,
  2. d ( x , Ø) = ∞,
  3. d ( x , A ∪ B ) = min ( d ( x , A ), d ( x , B )),
  4. Dla wszystkich 0 ≤ ε ≤ ∞, d ( x , A ) ≤ d ( x , A (ε) ) + ε,

gdzie definiujemy A (ε) = { x  : d ( x , A ) ≤ ε}.

( Konwencja " pustego nieskończoności jest dodatnią nieskończonością" jest jak nullary przecięcie jest konwencją wszystkim ).

Przestrzeń podejście określa się parę ( X ,  d ), gdzie d jest funkcją odległości od X . Każda przestrzeń podejścia ma topologię , nadaną przez traktowanie A  →  A (0) jako operatora zamknięcia Kuratowskiego .

Odpowiednimi mapami między przestrzeniami podejść są skurcze . Mapa f ( x ,  d ) → ( Y ,  e ) jest skurcz, jeżeli E ( F ( x ), f [ ]) ≤ d ( x , ) dla wszystkich x ∈ X i ⊆ X .

Przykłady

Każda ∞pq-przestrzeń metryczna ( X , d ) może być zdystansowana do ( X ,  d ), jak opisano na początku definicji.

Dla danego zbioru X The dyskretnych odległość jest podane przez D ( x , A ) = 0, jeżeli x ∈ A i D ( x , A ) = ∞ jeśli x ∉ . Wywołane topologii jest dyskretna topologii .

Biorąc pod uwagę zbiór X , niedyskretna odległość jest określona przez d ( x , A ) = 0, jeśli A jest niepusty, id ( x , A ) = ∞, jeśli A jest puste. Topologia indukowana jest topologią niedyskretną.

Biorąc pod uwagę topologii przestrzeni X , A topologiczna odległość jest podane przez D ( x , A ) = 0, jeżeli x ∈ i D ( x , A ) = ∞ inaczej. Topologia indukowana jest topologią oryginalną. W rzeczywistości jedynymi dwuwartościowymi odległościami są odległości topologiczne.

Niech P = [0, ∞] będzie rozszerzonymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi . Niech d + ( x , ) = max ( x - sup , 0) dla x ∈ P i A ⊆ P . Biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń podejścia ( X ,  d ), mapy (dla każdego A ⊆ X ) d (., A ): ( X , d ) → ( P , d + ) są skurczami.  

Na P niech e ( x , A ) = inf {| x - a | : a ∈ A } dla x <∞, niech e (∞, A ) = 0, jeśli A jest nieograniczone, i niech e (∞, A ) = ∞, jeśli A jest ograniczone. Wtedy ( P ,  e ) jest przestrzenią podejść. Topologicznie P jest jednopunktową zwartością [0, ∞). Zauważ, że e wydłuża zwykłą odległość euklidesową. Nie można tego zrobić za pomocą zwykłej metryki euklidesowej.

Niech β N będzie zwartością liczb całkowitych Stone – Čech . Punkt U ∈ p N jest ultrafiltr o N . Podzbiór A ⊆ β N indukuje filtr F ( A ) = ∩ { U  : U ∈ A }. Niech b ( U , A ) = sup {inf {| n - j | : n ∈ X , j ∈ E }: X ∈ U , E ∈ F ( A )}. Następnie (β N ,  b ) jest przestrzeń podejście, które rozciąga się na zwykłą odległość euklidesową N . W przeciwieństwie do tego β N nie podlega metryzowaniu.

Równoważne definicje

Lowen zaoferował co najmniej siedem równoważnych formuł. Dwa z nich są poniżej.

Niech XPQ ( X ) oznacza zbiór danych dotyczących XPQ- X . Podrodzina G XPQ ( X ) nazywana jest miernikiem, jeśli

  1. 0 ∈ G , gdzie 0 to zerowa metryka, to znaczy 0 ( x , y ) = 0 dla wszystkich x , y ,
  2. e ≤ d ∈ G implikuje e ∈ G ,
  3. d , e ∈ G implikuje max ( d , e ) ∈ G („max” jest tutaj punktowym maksimum ),
  4. Dla wszystkich d ∈ XPQ ( X ), jeśli dla wszystkich x ∈ X , ε> 0, N <∞ istnieje e ∈ G takie, że min ( d ( x , y ), N ) ≤ e ( x , y ) + ε wszystkie Y , wówczas d ∈ G .

Jeśli G jest miernikiem X , a następnie dni ( x , A ) = sup { E ( x , z )} e ∈  G } jest funkcją odległości od X . Z drugiej strony, ze względu na odległość funkcji d o X , zbiór e ∈ XPQ ( X ) tak, że e ≤ d jest miernikiem X . Te dwie operacje są do siebie odwrotne.

Skurcz f : ( X ,  d ) → ( Y ,  e ) jest, w kategoriach powiązanych mierników odpowiednio G i H , taką mapą, że dla wszystkich d ∈ H , d ( f (.), F (.)) ∈ G .

Wieża o X jest zestaw MAP A → A [ε] o A ⊆ X , ε ≥ 0, dla wszystkich spełniających A , B ⊆ X i A, ε ≥ 0

  1. A ⊆ A [ε] ,
  2. Ø [ε] = Ø,
  3. ( A  ∪  B ) [ε] = A [ε]  ∪  B [ε] ,
  4. A [ε] [δ] ⊆ A [ε + δ] ,
  5. A [ε] = ∩ δ> ε   A [δ] .

Biorąc pod uwagę odległość d , skojarzone A → A (ε) to wieża. I odwrotnie, biorąc pod uwagę wieżę, mapa d ( x , A ) = inf {ε: x ∈ A [ε] } jest odległością, a te dwie operacje są do siebie odwrotnością.

Skurcz f :( X ,  d ) → ( Y ,  e ) jest, w kategoriach powiązanych wież, taką mapą, że dla wszystkich ε ≥ 0, f [ A [ε] ] ⊆ f [ A ] [ε] .

Właściwości kategorialne

Główne zainteresowanie przestrzeniami podejść i ich skurczami polega na tym, że tworzą one kategorię o dobrych właściwościach, a jednocześnie są ilościowe, podobnie jak przestrzenie metryczne. Można wziąć dowolne iloczyny , koprodukty i ilorazy, a wyniki odpowiednio uogólniają odpowiednie wyniki dla topologii. Można nawet "zdystansować" tak źle niemetryczne przestrzenie, jak β N , zwartość liczb całkowitych Stone – Čech .

Pewne hiperprzestrzenie, przestrzenie miar i probabilistyczne przestrzenie metryczne okazują się być w naturalny sposób wyposażone w dystans. Zastosowano również teorię aproksymacji .

Bibliografia

  • Lowen, Robert (1997). Przestrzenie podejścia: brakujące ogniwo w triadzie topologia-jednorodność-metryka . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press . ISBN   0-19-850030-0 . Zbl   0891.54001 .
  • Lowen, Robert (2015). Analiza wskaźników: teoria podejścia w pracy . Skoczek.

Linki zewnętrzne