Zagęszczanie kamienia i Czech - Stone–Čech compactification

W matematycznej dyscyplinie topologii ogólnej , kompaktowanie Stone-Čecha (lub kompaktowanie Čecha-Stone ) jest techniką konstruowania uniwersalnej mapy z przestrzeni topologicznej X do zwartej przestrzeni Hausdorffa βX . Zagęszczenie Stone-Čecha βX przestrzeni topologicznej X jest największą, najbardziej ogólną zwartą przestrzenią Hausdorffa „wygenerowaną” przez X , w tym sensie, że każda ciągła mapa od X do zwartej przestrzeni Hausdorffa rozkłada się przez βX (w unikalny sposób). Jeśli X jest przestrzenią Tychonowa, to odwzorowanie od X do jego obrazu w βX jest homeomorfizmem , więc X można traktować jako (gęstą) podprzestrzeń βX ; co drugi zwarta przestrzeń Hausdorffa, która zawiera gęsto X jest ilorazem z βX . Dla ogólnych przestrzeni topologicznych X , odwzorowanie od X do βX nie musi być iniektywne.

Forma aksjomatu wyboru jest wymagana, aby udowodnić, że każda przestrzeń topologiczna ma zagęszczenie Stone–Čech. Nawet dla dość prostych przestrzeni X , dostępny konkretny opis βX często pozostaje nieuchwytny. W szczególności, dowody, że βX  \  X jest niepuste, nie dają wyraźnego opisu żadnego konkretnego punktu w βX  \  X .

Zagęszczanie Stone–Čech występuje pośrednio w pracy Andrieja Nikołajewicza Tychonowa  ( 1930 ) i zostało wyraźnie podane przez Marshalla Stone'a  ( 1937 ) i Eduarda Čecha  ( 1937 ).

Historia

Andriej Nikołajewicz Tichonow wprowadził całkowicie regularne przestrzenie w 1930 roku, aby uniknąć patologicznej sytuacji przestrzeni Hausdorffa, których jedynymi ciągłymi funkcjami o wartościach rzeczywistych są stałe mapy.

W tym samym artykule z 1930 roku, w którym Tychonoff zdefiniował całkowicie regularne przestrzenie, udowodnił również, że każda przestrzeń Tychonoffa (tj. przestrzeń całkowicie regularna Hausdorffa ) ma zagęszczenie Hausdorffa (w tym samym artykule udowodnił również twierdzenie Tychonoffa ). W 1937 roku Čech rozszerzył technikę Tychonoffa i wprowadził notację β X dla tego zagęszczenia. Stone również skonstruował β X w artykule z 1937 roku, chociaż używał zupełnie innej metody. Pomimo tego, że artykuł Tychonoffa jest pierwszą pracą na temat zagęszczenia Stone–Čech i pomimo tego, że do artykułu Tychonoffa odwołują się zarówno Stone, jak i Čech, nazwisko Tychonoffa rzadko kojarzy się z β X .

Własność powszechna i funkcjonalność

Zagęszczenie Stone-Čecha przestrzeni topologicznej X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa βX razem z ciągłym odwzorowaniem i _X  : X → βX ma następującą uniwersalną własność : dowolne ciągłe odwzorowanie f  : X → K , gdzie K jest zwartą przestrzenią Hausdorffa , rozciąga się jednoznacznie na ciągłe odwzorowanie βf  : βX → K , tj. ( βf ) i _X = f .

Jak zwykle w przypadku właściwości uniwersalnych, ta uniwersalna właściwość charakteryzuje βX aż do homeomorfizmu .

Jak zaznaczono w § Konstrukcje poniżej, można udowodnić (posługując się aksjomatem wyboru), że takie zagęszczenie Stone–Čecha i _X  : X → βX istnieje dla każdej przestrzeni topologicznej X . Ponadto obraz i _X ( X ) jest gęsty w βX .

Niektórzy autorzy dodają założenie, że początkową przestrzenią X jest Tychonoff (lub nawet lokalnie zwarty Hausdorff), z następujących powodów:

• Mapa od X do jego obrazu w βX jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy X jest Tychonowem.
• Mapa od X do jej obrazu w βX jest homeomorfizmem otwartej podprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy X jest lokalnie zwartą Hausdorffem.

Konstrukcję Stone–Čech można wykonać dla bardziej ogólnych przestrzeni X , ale w tym przypadku przekształcenie X → βX nie musi być homeomorfizmem obrazu X (a czasami nawet nie jest iniektywnym).

Jak zwykle dla uniwersalnych konstrukcji jak tego, marki i usługi na przedłużenie p do funktor z góry (The kategoria przestrzeni topologicznych ) do Chaus (kategorii zwartych przestrzeni Hausdorffa). Co więcej, jeśli pozwolimy, aby U był funktorem inkluzji z CHaus do Top , odwzorowania od βX do K (dla K w CHaus ) odpowiadają bijektywnie odwzorowaniom od X do UK (rozważając ich ograniczenie do X i używając uniwersalnej własności βX ). tj

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , UK ),

Oznacza to, że β jest pozostawione sprzężonego z U . Oznacza to, że Chaus jest refleksyjny podkategorii od początku z reflektorem beta .

Przykłady

Jeśli X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, to pokrywa się z jej zagęszczeniem Stone-Čech. Większość innych zagęszczeń Stone-Čech nie ma konkretnych opisów i jest wyjątkowo nieporęczna. Wyjątki obejmują:

Zagęszczenie Stone-Čech pierwszej niepoliczalnej liczby porządkowej , z topologią porządku , to liczba porządkowa . Zagęszczenie Stone–Čech usuniętej deski Tychonowa to deska Tychonowa. ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\displaystyle \omega_{1}+1}$

Konstrukcje

Budowa z użyciem produktów

Jedną z prób skonstruowania zagęszczenia X Stone-Čecha jest przyjęcie domknięcia obrazu X in

${\ Displaystyle \ prod \ nolimity _ {f: X \ do K} K}$

gdzie produkt znajduje się nad wszystkimi mapami od X do zwartych przestrzeni Hausdorffa K . Według twierdzenia Tychonowa ten iloczyn przestrzeni zwartych jest zwarty, a zatem domknięcie X w tej przestrzeni jest również zwarte. Działa to intuicyjnie, ale zawodzi z przyczyn technicznych, ponieważ zbiór wszystkich takich map jest odpowiednią klasą, a nie zbiorem. Istnieje kilka sposobów na zmodyfikowanie tego pomysłu, aby działał; na przykład, można ograniczyć zwarte przestrzenie Hausdorffa K tak, aby miały bazowy zbiór P ( P ( X )) ( zbiór potęg zbioru potęgowego X ), który jest wystarczająco duży, aby miał kardynalność co najmniej równą liczności każdego zwartego Przestrzeń Hausdorffa, do której można odwzorować X za pomocą gęstego obrazu.

Budowa z wykorzystaniem przedziału jednostkowego

Jednym ze sposobów skonstruowania βX jest niech C będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych od X do [0, 1] i rozważymy odwzorowanie, gdzie ${\ Displaystyle e: X \ do [0,1] ^ {C}}$

${\displaystyle e(x):f\mapsto f(x)}$

Może to być postrzegane jako ciągła mapa na jego obrazie, jeśli [0, 1] ^C ma przypisaną topologię produktu . Z twierdzenia Tychonowa mamy, że [0, 1] ^C jest zwarte, ponieważ [0, 1] jest. W konsekwencji zamknięcie X w [0, 1] ^C jest zagęszczeniem X .

W rzeczywistości to zamknięcie jest zagęszczeniem Stone-Čech. Aby to zweryfikować, wystarczy sprawdzić, czy domknięcie spełnia odpowiednią własność uniwersalną. Robimy to najpierw dla K = [0, 1], gdzie pożądane rozszerzenie f  : X → [0, 1] jest po prostu rzutem na współrzędną f w [0, 1] ^C . Aby następnie uzyskać to dla ogólnego zwartego K Hausdorffa , używamy powyższego, aby zauważyć, że K można osadzić w jakimś sześcianie, rozszerzyć każdą z funkcji współrzędnych, a następnie wziąć iloczyn tych rozszerzeń.

Specjalną właściwością przedziału jednostkowego potrzebnego do działania tej konstrukcji jest to, że jest ona kogeneratorem kategorii zwartych przestrzeni Hausdorffa: oznacza to, że jeśli A i B są zwartymi przestrzeniami Hausdorffa, a f i g są odrębnymi odwzorowaniami od A do B , to istnieje odwzorowanie h  : B → [0, 1] takie, że hf i hg są różne. W tej konstrukcji można zastosować dowolny inny kogenerator (lub zespół kogeneracyjny).

Budowa z użyciem ultrafiltrów

Alternatywnie, jeżeli jest dyskretne , to można skonstruować jako zbiór wszystkich ultrafiltry na z elementami odpowiadające głównych ultrafiltry . Topologia na zestawie ultrafiltrów, znana jako${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ beta X}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$ Topologia kamienia , jest generowana przez zbiory postacidlapodzbioru${\ Displaystyle \ {F: U \ w F \}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X.}$

Znowu zweryfikować własność uniwersalną: Dla z kompaktowym Hausdorff i filtrze do ultrafiltracji na mamy bazę ULTRAFILTER na tym odwzorowanie styczne z ta posiada unikalny granicę, ponieważ jest kompaktowy Hausdorffa, powiedzieć i zdefiniować ten może zostać zweryfikowana być ciągła rozbudowa${\displaystyle f:X\do K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f (F)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle F.}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ beta f (F) = x.}$${\displaystyle fa.}$

Równoważnie, można przyjąć przestrzeń kamień z pełnej algebry Boole'a wszystkich podzbiorów jako zwartego kamienny Čech. To jest naprawdę ta sama konstrukcja, ponieważ przestrzeń Stone'a tej algebry Boole'a jest zbiorem ultrafiltrów (lub równoważnych ideałów pierwszych lub homomorfizmów do dwuelementowej algebry Boole'a) algebry Boole'a, która jest taka sama jak zbiór ultrafiltrów na${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

Konstrukcję można uogólnić na dowolne przestrzenie Tychonowa, stosując maksymalne filtry zbiorów zerowych zamiast ultrafiltrów. (Filtry zestawów zamkniętych wystarczą, jeśli przestrzeń jest normalna .)

Konstruowanie z użyciem C*-algebr

Zagęszczenie Stone-Čech jest naturalnie homeomorficzne z widmem C _b ( X ). Tutaj C _b ( X ) oznacza C*-algebrę wszystkich ciągłych ograniczonych funkcji o wartościach zespolonych na X z sup-normą. Zauważ, że C _b ( X ) jest kanonicznie izomorficzny z algebrą mnożników C ₀ ( X ).

Zagęszczanie liczb naturalnych Stone–Čech

W przypadku, gdy X jest lokalnie zwarty , np. N lub R , obraz X tworzy otwarty podzbiór βX , a właściwie dowolnego zagęszczenia (jest to również warunek konieczny, ponieważ otwarty podzbiór zwartej przestrzeni Hausdorffa jest lokalnie kompaktowy). W tym przypadku często bada się resztę przestrzeni, βX  \  X . Jest to zamknięty podzbiór βX , a więc jest zwarty. Rozważamy N z jego dyskretną topologią i zapisujemy β N  \  N = N * (ale nie wydaje się to być standardową notacją dla ogólnego X ).

Jak wyjaśniono powyżej, można zobaczyć β N jako zbiór ultrafiltry z N , z topologią generowanego przez zestawów formy na U podzbiór N . Zbiór N odpowiada zbiorowi głównych ultrafiltrów , a zbiór N * zbiorowi ultrafiltrów swobodnych . ${\ Displaystyle \ {F: U \ w F \}}$

Badanie β N , aw szczególności N *, jest głównym obszarem współczesnej topologii mnogościowej . Głównymi wynikami, które to uzasadniają, są twierdzenia Parovićenko , charakteryzujące zasadniczo jego zachowanie przy założeniu hipotezy continuum .

Stanowią one:

• Co najwyżej każda zwarta przestrzeń wagowa Hausdorffa (patrz liczba Aleph ) jest ciągłym obrazem N * (nie wymaga to hipotezy continuum, ale jest mniej interesujące w przypadku jej braku).${\displaystyle \aleph_{1}}$
• Jeśli hipoteza continuum jest słuszna , to N * jest unikalną przestrzenią Parovićenko , aż do izomorfizmu.

Zostały one pierwotnie udowodnione przez rozważenie algebr Boole'a i zastosowanie dualizmu Stone'a .

Jan van Mill opisał β N jako „trójgłowego potwora” — trzy głowy to uśmiechnięta i przyjazna głowa (zachowanie przy założeniu hipotezy kontinuum), brzydka głowa niezależności, która nieustannie próbuje cię zmylić (określając, co zachowanie jest możliwe w różnych modelach teorii mnogości), a trzecia głowa jest najmniejsza ze wszystkich (co można udowodnić w ZFC ). Stosunkowo niedawno zaobserwowano, że ta charakterystyka nie jest całkiem poprawna — w rzeczywistości istnieje czwarta głowa β N , w której aksjomaty wymuszające i aksjomaty typu Ramseya dają własności β N prawie diametralnie przeciwne do tych w hipotezie continuum, dając bardzo niewiele map z N * rzeczywiście. Przykładami tych aksjomatów są kombinacje aksjomatu Martina i otwartego aksjomatu kolorowania, które na przykład dowodzą, że ( N *) ² ≠ N *, podczas gdy hipoteza continuum implikuje coś przeciwnego.

Zastosowanie: przestrzeń dualna przestrzeni ograniczonych ciągów liczb rzeczywistych

Zagęszczenie Stone-Čecha β N można wykorzystać do scharakteryzowania ( przestrzeń Banacha wszystkich ciągów ograniczonych w polu skalarnym R lub C , z normą najwyższą ) i jej przestrzeń dualną . ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Biorąc pod uwagę ograniczone sekwencję istnieje zamknięty piłka B w pola skalarnego, który zawiera obraz . a jest wtedy funkcją od N do B . Ponieważ N jest dyskretne, a B jest zwarte, a Hausdorffa, a jest ciągłe. Zgodnie z uniwersalną własnością istnieje unikalne rozszerzenie βa  : β N → B . To rozszerzenie nie zależy od kuli B, którą rozważamy. ${\ Displaystyle a \ w \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Zdefiniowaliśmy mapę rozszerzeń z przestrzeni ograniczonych ciągów o wartościach skalarnych do przestrzeni funkcji ciągłych nad β N .

${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N}) \ do C (\ beta \ mathbf {N})}$

Ta mapa jest bijektywna, ponieważ każda funkcja w C ( β N ) musi być ograniczona, a następnie może być ograniczona do ograniczonej sekwencji skalarnej.

Jeśli dalej rozważymy obie przestrzenie z supnormą, mapa rozszerzenia staje się izometrią. Rzeczywiście, jeśli w powyższej konstrukcji przyjmiemy najmniejszą możliwą kulę B , zobaczymy, że supnorma ciągu rozszerzonego nie rośnie (chociaż obraz funkcji rozszerzonej może być większy).

W ten sposób można zidentyfikować z C ( β N ). To pozwala nam użyć twierdzenia Riesza o reprezentacji i stwierdzić, że dualna przestrzeń może być utożsamiana z przestrzenią skończonych miar borelowskich na β N . ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Na koniec należy zauważyć, że ta technika uogólnia na przestrzeń L ^∞ dowolnej przestrzeni miary X . Jednak zamiast po prostu uwzględniać przestrzeń βX ultrafiltrów na X , właściwym sposobem uogólnienia tej konstrukcji jest rozważenie przestrzeni Stone Y algebry miary X : przestrzenie C ( Y ) i L ^∞ ( X ) są izomorficzne jako C*-algebry, o ile X spełnia rozsądny warunek skończoności (że każdy zbiór miary dodatniej zawiera podzbiór miary skończonej dodatniej).

Operacja monoidów na zagęszczeniu Stone–Čech naturalnych

Liczby naturalne przy dodawaniu tworzą monoid . Okazuje się, że operacja ta może zostać rozszerzona (na ogół na więcej niż jeden sposób, ale wyłącznie pod dodatkowym warunkiem) do β N , zamieniając tę ​​przestrzeń również w monoid, choć raczej zaskakująco nieprzemienną.

Dla dowolnego podzbioru A , z N i dodatniej liczby całkowitej n w N , definiujemy

${\ Displaystyle An = \ {k \ w \ mathbf {N} \ średni k + n \ w A \}.}$

Biorąc pod uwagę dwa ultrafiltry F i G na N , ich sumę definiujemy przez

${\ Displaystyle F + G = {\ Big \ {} A \ subseteq \ mathbf {N} \ mid \ {n \ w \ mathbf {N} \ mid An \ w F \} \ w G {\ Big \}} ;}$

można sprawdzić, czy jest to ponownie ultrafiltr, i że operacja + jest asocjacyjna (ale nie przemienna) na β N i rozszerza dodawanie na N ; 0 służy jako element neutralny dla operacji + na β N . Operacja jest również prawo-ciągła, w tym sensie, że dla każdego ultrafiltra F , mapa

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ beta \ mathbf {N} \ do \ beta \ mathbf {N} \ \ G \ mapsto F + G \ koniec {przypadki}}}$

jest ciągły.

Bardziej ogólnie, jeśli S jest półgrupą o dyskretnej topologii, działanie S może zostać rozszerzone do βS , otrzymując operację prawo-ciągłą asocjacyjną.

Zobacz też

• Kompaktyfikacja (matematyka)  – Osadzanie przestrzeni topologicznej w przestrzeni zwartej jako gęsty podzbiór
• Koronowy zestaw przestrzeni, dopełnienie jej wizerunku w zagęszczeniu Stone-Čech.
• Filtry w topologii  — zastosowanie filtrów do opisania i scharakteryzowania wszystkich podstawowych pojęć topologicznych i wyników.
• Zagęszczanie jednopunktowe
• Zagęszczanie Wallmana

Uwagi

Bibliografia

• Čech, Eduard (1937), "Na przestrzeniach dwuzwartych", Annals of Mathematics , 38 (4): 823-844, doi : 10.2307/1968839 , hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwarz, Jacob T. (1988). Operatory liniowe część I: ogólna teoria (red. Wiley Classics). John Wiley & Synowie. P. 276.
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998), Algebra w zagęszczeniu Stone-Cech. Teoria i zastosowania , de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 (2 poprawione i rozszerzone 2012 ed.), Berlin: Walter de Gruyter & Co., s. xiv+485 s., doi : 10.1515/9783110809220 , ISBN 978-3-11-015420-7, MR  1642231
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], "Zagęszczanie Stone-Čech" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Tarcze, Allen (1987), "Lata temu", Inteligencja matematyczna , 9 (2): 61-63, doi : 10.1007/BF03025901 , S2CID  189886579
• Stone, Marshall H. (1937), "Zastosowania teorii pierścieni Boole'a do ogólnej topologii", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375-481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), „Über die topologicsche Erweiterung von Räumen”, Mathematische Annalen , 102 : 544-561, doi : 10.1007/BF01782364 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124737286

Zewnętrzne linki

• Zagęszczanie kamienia-Čecha w Planet Math
• Dror Bar-Natan, ultrafiltry, zwartość i zagęszczenie Stone-Čech