Arystotelesowska realistyczna filozofia matematyki - Aristotelian realist philosophy of mathematics

W filozofii matematyki , arystotelesowskiej realizm utrzymuje, że badania takie jak matematyka właściwości symetrii , ciągłości i porządku , które można dosłownie realizowanego w świecie fizycznym (lub w inny świat może istnieć). Kontrastuje z platonizmem, twierdząc, że przedmioty matematyki, takie jak liczby, nie istnieją w „abstrakcyjnym” świecie, ale mogą być fizycznie zrealizowane. Kontrastuje z nominalizmem i fikcjonalizmem twierdzenie, że matematyka nie dotyczy samych nazw czy metod wnioskowania lub obliczeń, ale pewnych rzeczywistych aspektów świata.

Realiści arystotelesowscy kładą nacisk na matematykę stosowaną, zwłaszcza modelowanie matematyczne , a nie na czystą matematykę, jako na najistotniejsze z filozoficznego punktu widzenia. Marc Lange twierdzi, że „realizm arystotelesowski pozwala, by fakty matematyczne były wyjaśniającymi w wyraźnie matematycznych wyjaśnieniach” w nauce, ponieważ same fakty matematyczne dotyczą świata fizycznego. Paul Thagard opisuje arystotelesowski realizm jako „obecną filozofię matematyki, która najlepiej pasuje do tego, co wiadomo o umysłach i nauce”.

Historia

Chociaż Arystoteles nie pisał zbyt wiele o filozofii matematyki, jego różne uwagi na ten temat wykazują spójne spojrzenie na przedmiot zarówno jako abstrakcje, jak i zastosowanie do realnego świata przestrzeni i liczenia. Aż do XVIII wieku najbardziej rozpowszechnioną filozofią matematyki był pogląd Arystotelesa, że ​​jest to „nauka o ilości ”, z ilością podzieloną na ciągłą (badaną geometrią ) i dyskretną (badaną przez arytmetykę).

Arystotelesowskie podejścia do filozofii matematyki były rzadkie w XX wieku, ale zostały przywrócone przez Penelope Maddy w Realism in Mathematics (1990) i wielu autorów od 2000 roku, takich jak James Franklin , Anne Newstead, Donald Gillies i inni.

Liczby i zestawy

Arystotelesowskie poglądy na liczby ( kardynalne lub liczebne) zaczynają się od obserwacji Arystotelesa, że ​​liczba stosu lub zbioru odnosi się do wybranej jednostki lub miary: „liczba” oznacza mnogość mierzoną i mnogość miar ... miara musi zawsze być jakąś identyczną rzeczą przewidywalną dla wszystkich rzeczy, które mierzy, np. jeśli rzeczami są konie, miarą jest „koń”. Glenn Kessler rozwija to w pogląd, że liczba jest relacją między stosem a powszechnikiem, który dzieli ją na jednostki; na przykład liczba 4 realizowana jest w relacji między kupą papug a uniwersalnym „byciem papugą”, które dzieli kupę na tak wiele papug.

Według Arystotelesa stosunki nie są ściśle związane z liczbami kardynalnymi. Są to relacje między wielkościami, takimi jak wysokość. Stosunek dwóch wysokości może być taki sam jak stosunek dwóch mas lub dwóch przedziałów czasowych.

Arystotelesowie uważają zarówno zbiory, jak i liczby za ucieleśnione w świecie fizycznym (a nie jako byty platońskie). Maddy twierdziła, że ​​kiedy otwiera się karton z jajkami, postrzegany jest zestaw trzech jaj (czyli matematyczna jednostka realizowana w świecie fizycznym). Jednak nie każdy dyskurs matematyczny musi być interpretowany realistycznie; na przykład Arystotelesowie mogą uważać zbiór pusty i zero za fikcje i ewentualnie wyższe nieskończoności.

Właściwości strukturalne

Schemat 7 mostów Królewca
Siedem mostów Królewca, badane przez Euler

Arystotelesowie uważają nienumeryczne właściwości strukturalne, takie jak symetria, ciągłość i porządek, za równie ważne jak liczby. Takie właściwości są realizowane w rzeczywistości fizycznej i są przedmiotem części matematyki. Na przykład teoria grup klasyfikuje różne rodzaje symetrii, podczas gdy rachunek różniczkowy bada zmienność ciągłą. Udowodnione wyniki dotyczące takich struktur mogą bezpośrednio odnosić się do rzeczywistości fizycznej. Na przykład Euler udowodnił, że przez siedem mostów Królewca nie można przejść raz i tylko raz .

Epistemologia

Ponieważ właściwości matematyczne są realizowane w świecie fizycznym, można je bezpośrednio postrzegać. Na przykład ludzie łatwo dostrzegają symetrię twarzy .

Arystotelesowie przypisują także rolę abstrakcji i idealizacji w myśleniu matematycznym. Pogląd ten nawiązuje do twierdzenia Arystotelesa w jego Fizyce, że umysł „wyodrębnia” w myśli właściwości, które bada w matematyce, biorąc pod uwagę ponadczasowe właściwości ciał niezależnie od świata zmian (Fizyka II.2.193b31-35).

Na wyższych poziomach matematyki Arystotelesowie postępują zgodnie z teorią Arystotelesowskiej analityki a posteriori , zgodnie z którą dowód zdania matematycznego idealnie pozwala czytelnikowi zrozumieć, dlaczego zdanie musi być prawdziwe.

Zastrzeżenia wobec realizmu arystotelesowskiego

Problemem dla realizmu arystotelesowskiego jest to, jak podać wyższe nieskończoności , które mogą nie być urzeczywistnione lub możliwe do zrealizowania w świecie fizycznym. Mark Balaguer pisze:

„Teoria mnogości jest oddana istnieniu zbiorów nieskończonych, które są tak ogromne, że po prostu przewyższają nieskończone zbiory różnych ogrodów, jak zbiór wszystkich liczb naturalnych. obiekty fizyczne."

Arystotelesowie odpowiadają, że nauki mogą zajmować się uniwersaliami niezegzemplifikowanymi; na przykład nauka o kolorze może radzić sobie z odcieniem niebieskiego, który akurat nie występuje na żadnym rzeczywistym przedmiocie. Wymaga to jednak zaprzeczenia zasadzie konkretyzacji , którą wyznaje większość Arystotelesów, która głosi, że konkretyzuje się wszystkie prawdziwe własności. Jednym z arystotelesowskich filozofów matematyki, który zaprzecza zasadzie konkretyzacji na podstawie rozróżnienia Fregego na sens i odniesienie, jest Donald Gillies . Użył tego podejścia do opracowania metody radzenia sobie z bardzo dużymi kardynałami pozaskończonymi z arystotelesowskiego punktu widzenia.

Innym zarzutem wobec arystotelizmu jest to, że matematyka zajmuje się idealizacją świata fizycznego, a nie samym światem fizycznym. Sam Arystoteles był świadomy argumentu, że geometry badają idealne koła, ale obręcze w prawdziwym świecie nie są idealnymi kołami, więc wydaje się, że matematyka musi badać jakiś niefizyczny (platoński) świat. Arystotelesi odpowiadają, że matematyka stosowana badała raczej przybliżenia niż idealizacje i że w rezultacie współczesna matematyka może badać złożone kształty i inne struktury matematyczne rzeczywistych rzeczy.

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki