Uzupełniona krata - Complemented lattice
W matematycznej dyscypliny teorii kolejności , A uzupełnione kratownica jest A ograniczonym, krata (z co najmniej elementem 0 i największą elementu 1), w którym każdy element ma dopełniacza , tj elementu b spełniających w ∨ b = 1 i ∧ b = 0. Uzupełnienia nie muszą być niepowtarzalne.
Stosunkowo uzupełnione kratownica jest kraty tak, że każdy przedział [ c , d ] traktować jako ograniczonego kratę w sobie, jest uzupełnione kraty.
Orthocomplementation na uzupełniona kraty jest inwolucji to order-cofania i odwzorowuje każdy element do uzupełnienia. Ortodopełniona krata spełniająca słabą postać prawa modularnego nazywana jest kratą ortomodularną .
W sieciach rozdzielczych dopełnienia są wyjątkowe. Każda uzupełniona siatka rozdzielcza ma unikalną ortokomplementację i jest w rzeczywistości algebrą Boole'a .
Definicja i podstawowe właściwości
Uzupełnione kratownica jest A ograniczonym, krata (z co najmniej elementem 0 i największą elementu 1), w którym każdy element ma dopełniacza , tj elementu b tak, że
- ∨ b = 1 i ∧ b = 0.
Ogólnie rzecz biorąc, element może mieć więcej niż jedno uzupełnienie. Jednak w (ograniczonej) sieci rozdzielczej każdy element będzie miał co najwyżej jedno uzupełnienie. Krata, w której każdy element ma dokładnie jedno uzupełnienie, nazywana jest kratą unikatowo uzupełnioną
Krata z tą właściwością, że każdy przedział (postrzegany jako podsieć) jest uzupełniana, nazywana jest siecią względnie uzupełnioną . Innymi słowy, sieć względnie uzupełniona charakteryzuje się tą własnością, że dla każdego elementu a w przedziale [ c , d ] istnieje element b taki, że
- ∨ b = d i ∧ b = c .
Taki element b nazywamy dopełnieniem a względem przedziału.
Sieć dystrybucyjna jest uzupełniana wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczona i względnie uzupełniona. Krata podprzestrzeni o miejsca wektora dostarczyć przykład uzupełnione siatki, które nie są na ogół rozdzielcze.
Ortokomplementacja
Orthocomplementation na ograniczonym kraty jest funkcją, która odwzorowuje każdy element A do „orthocomplement” a ⊥ w taki sposób, że następujące aksjomaty są spełnione:
- Prawo uzupełniające
- ⊥ ∨ = 1 ⊥ ∧ = 0.
- Prawo inwolucji
- ⊥⊥ = .
- Odwracanie kolejności
- jeśli ≤ b następnie b ⊥ ≤ ⊥ .
Orthocomplemented kratownica lub ortholattice jest ograniczonym kraty wyposażona orthocomplementation. Krata podprzestrzeni wewnętrznej przestrzeni iloczynowej i operacja dopełnienia ortogonalnego stanowią przykład sieci ortodopełnionej, która w ogólności nie jest rozdzielcza.
- Niektóre uzupełnione kraty
W siatce pięciokąta N 5 węzeł po prawej stronie ma dwa dopełnienia.
Diament kratownica M 3 przyznaje żadnego orthocomplementation.
Krata M 4 dopuszcza 3 ortokomplementacje.
Sześciokątna siatka umożliwia unikalną ortokomplementację, ale nie jest ona jednoznacznie uzupełniona.
Algebry Boole'a są szczególnym przypadkiem siatek ortodopełnianych, które z kolei są szczególnym przypadkiem siatek komplementarnych (z dodatkową strukturą). W ortholattices są najczęściej stosowane w logice kwantowej , gdzie zamknięte podprzestrzenie o rozłącznej przestrzeni Hilberta reprezentowania propozycje kwantowej i zachowują się jak w orthocomplemented kraty.
Kraty ortodopełnione, takie jak algebry Boole'a, spełniają prawa de Morgana :
- ( a ∨ b ) ⊥ = a ⊥ ∧ b ⊥
- ( a ∧ b ) ⊥ = a ⊥ ∨ b ⊥ .
Kraty ortomodularne
Krata nazywana jest modularną, jeśli dla wszystkich elementów a , b i c implikacja
- jeśli a ≤ c , to a ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c
trzyma. To jest słabsze niż dystrybucja ; np wyżej przedstawiono kraty M 3 ma konstrukcję modułową, ale nie rozdzielcze. Naturalnym dalszym osłabieniem tego warunku dla sieci ortokomplementowanych, koniecznym dla zastosowań w logice kwantowej, jest wymaganie tego tylko w szczególnym przypadku b = a ⊥ . Ortomodularnych krata jest więc zdefiniowany jako orthocomplemented kraty, że dla dowolnych dwóch elementów implikację
- jeśli a ≤ c , to a ∨ ( a ⊥ ∧ c ) = c
trzyma.
Kraty tej postaci mają kluczowe znaczenie dla badań nad logiką kwantową , ponieważ są one częścią axiomisation w przestrzeni Hilberta preparatu z mechaniki kwantowej . Garrett Birkhoff i John von Neumann zauważyli, że rachunek zdań w logice kwantowej jest „formalnie nie do odróżnienia od rachunku podprzestrzeni liniowych [przestrzeni Hilberta] w odniesieniu do iloczynów zbiorów , sum liniowych i dopełnień ortogonalnych” odpowiadających rolom i , lub a nie w sieciach logicznych. Ta uwaga wzbudziła zainteresowanie zamkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Hilberta, które tworzą sieć ortomodularną.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Birkhoff, Garrett (1961). Teoria sieci . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
- Gratzer, George (1971). Teoria sieci: pierwsze koncepcje i kraty rozdzielcze . WH Freeman i Spółka. Numer ISBN 978-0-7167-0442-3.
- Gratzer, George (1978). Ogólna teoria sieci . Bazylea, Szwajcaria: Birkhäuser. Numer ISBN 978-0-12-295750-5.
- Rutherford, Daniel Edwin (1965). Wprowadzenie do teorii sieci . Olivera i Boyda.
Zewnętrzne linki
|