Przestrzeń konfiguracji (matematyka) - Configuration space (mathematics)

Przestrzeń konfiguracyjna wszystkich nieuporządkowanych par punktów na okręgu to pasek Möbiusa .

W matematyce , A przestrzeń konfiguracji ma konstrukcję ściśle związane z przestrzeni stanów lub przestrzeni fazy fizyki. W fizyce są one używane do opisania stanu całego układu jako pojedynczego punktu w wielowymiarowej przestrzeni. W matematyce służą do opisu przypisania zbioru punktów do pozycji w przestrzeni topologicznej . Mówiąc dokładniej, przestrzenie konfiguracyjne w matematyce są szczególnymi przykładami przestrzeni konfiguracyjnych w fizyce w szczególnym przypadku kilku niekolidujących ze sobą cząstek.

Definicja

Na przestrzeni topologicznej The n ^p (zamówić) przestrzeń konfiguracji X jest zbiór N - krotki parami różnych punktach : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X): = \ prod ^ {n} X \ smallsetminus \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in X ^ {n} \ mid x_ {i} = x_ {j} \ {\ text {dla niektórych}} i \ neq j \}.}$

Przestrzeń ta jest zwykle wyposażona w topologię podprzestrzeni od włączenia do . To jest czasami oznaczany , lub . ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X)}$${\ displaystyle X ^ {n}}$${\ Displaystyle F (X, n)}$${\ Displaystyle F ^ {n} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {n} (X)}$

Istnieje naturalna akcja z grupy symetrycznej na punktach podane przez ${\ Displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S_ {n} \ razy \ operatorname {Conf} _ {n} (X) & \ longrightarrow \ operatorname {Conf} _ {n} (X) \\ (\ sigma, x) & \ longmapsto \ sigma (x) = (x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma (2)}, \ ldots, x _ {\ sigma (n)}). \ end {aligned}}}$

To działanie powoduje powstanie n- ^tej nieuporządkowanej przestrzeni konfiguracyjnej X ,

${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (X): = \ operatorname {Conf} _ {n} (X) / S_ {n},}$

która jest przestrzenią orbity tego działania. Intuicja jest taka, że ​​ta akcja „zapomina nazwy punktów”. Nieuporządkowanego przestrzeń konfiguracji czasami oznaczany , lub . Zbiór nieuporządkowanych przestrzeni konfiguracyjnych stanowi przestrzeń Ran i ma naturalną topologię. ${\ Displaystyle {\ mathcal {UC}} ^ {n} (X)}$${\ Displaystyle B_ {n} (X)}$${\ Displaystyle C_ {n} (X)}$${\ displaystyle n}$

Alternatywne sformułowania

Dla przestrzeni topologicznej i skończonego zbioru , przestrzeń konfiguracji X z cząstkami oznaczonymi przez S wynosi ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {S} (X): = \ {f \ mid f \ colon S \ hookrightarrow X {\ text {jest iniekcyjna}} \}.}$

Dla , zdefiniuj . Wtedy n- ^ta przestrzeń konfiguracyjna X jest i jest po prostu oznaczona . ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbf {n}: = \ {1,2, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {\ mathbf {n}} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (X)}$

Przykłady

• Przestrzeń uporządkowanej konfiguracji dwóch punktów w jest homeomorficzna względem iloczynu 3-przestrzeni euklidesowej z okręgiem, tj . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {2} (\ mathbf {R} ^ {2}) \ cong \ mathbf {R} ^ {3} \ razy S ^ {1}}$
• Bardziej ogólnie, przestrzeń konfiguracji dwóch punktów w jest równoważna homotopii kuli . ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$
• Przestrzeń konfiguracja punktów jest przestrzeń klasyfikowanie z th grupy oplotem (patrz poniżej ). ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ displaystyle n}$

Połączenie z grupami oplotów

N -strand grupa oplot na połączony topologicznej przestrzeni X jest

${\ Displaystyle B_ {n} (X): = \ pi _ {1} (\ operatorname {UConf} _ {n} (X)),}$

podstawowym grupa z n ^-tego nieuporządkowanej przestrzeni konfiguracji X . Grupa n- nici czystego warkocza na X to

${\ displaystyle P_ {n} (X): = \ pi _ {1} (\ operatorname {Conf} _ {n} (X)).}$

Pierwszymi badanymi grupami warkoczy były grupy warkoczy Artin . Chociaż powyższa definicja nie jest tą, którą podał Emil Artin , Adolf Hurwitz zdefiniował implicite grupy warkoczy Artina jako podstawowe grupy przestrzeni konfiguracyjnych płaszczyzny zespolonej znacznie wcześniej niż definicja Artina (w 1891 r.). ${\ Displaystyle B_ {n} \ cong \ pi _ {1} (\ nazwa operatora {UConf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2}))}$

Z tej definicji oraz z faktu, że i są to przestrzenie typu Eilenberg – MacLane , wynika, że ​​nieuporządkowana przestrzeń konfiguracyjna płaszczyzny jest przestrzenią klasyfikacyjną dla grupy plecionek Artin i jest przestrzenią klasyfikacyjną dla czystej grupy oplotów Artin, gdy obie są traktowane jako odrębne grupy . ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$${\ Displaystyle K (\ pi, 1)}$${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbf {R} ^ {2})}$

Przestrzenie konfiguracyjne rozmaitości

Jeśli pierwotna przestrzeń jest rozmaitością , to jej uporządkowane przestrzenie konfiguracyjne są otwartymi podprzestrzeniami mocy, a zatem same są rozmaitościami. Przestrzeń konfiguracji różnych punktów nieuporządkowanych jest również rozmaitością, podczas gdy przestrzeń konfiguracji niekoniecznie odrębnych punktów nieuporządkowanych jest orbifoldem . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Przestrzeń konfiguracyjna jest rodzajem przestrzeni klasyfikacyjnej lub (drobnej) przestrzeni modułów . W szczególności istnieje wiązka uniwersalna, która jest podzbiorem wiązki trywialnej i która ma tę właściwość, że światłowód nad każdym punktem jest podzbiorem n elementów sklasyfikowanych przez  p . ${\ Displaystyle \ pi \ dwukropek E_ {n} \ do C_ {n}}$${\ Displaystyle C_ {n} \ razy X \ do C_ {n}}$${\ displaystyle p \ w C_ {n}}$${\ displaystyle X}$

Niezmienność homotopii

Typ homotopii przestrzeni konfiguracyjnych nie jest niezmiennikiem homotopii . Na przykład, spacje nie są równoważne homotopii dla dowolnych dwóch różnych wartości : jest puste dla , nie jest połączone dla , jest przestrzenią typu Eilenberga-MacLane'a i jest po prostu połączone dla . ${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {m.})}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathrm {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {0})}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {2})}$${\ Displaystyle K (\ pi, 1)}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {m.})}$${\ Displaystyle m \ geq 3}$

Kiedyś otwarte było pytanie, czy istnieją przykłady zwartych rozmaitości, które były równoważne homotopii, ale miały przestrzenie konfiguracyjne równoważne homotopii: taki przykład znaleźli dopiero w 2005 r. Riccardo Longoni i Paolo Salvatore. Ich przykładem są dwie trójwymiarowe przestrzenie soczewek i przestrzenie konfiguracyjne co najmniej dwóch punktów w nich. To, że te przestrzenie konfiguracyjne nie są odpowiednikami homotopii, zostało wykryte przez produkty Massey w ich odpowiednich uniwersalnych pokrywach. Niezmienność homotopii dla przestrzeni konfiguracyjnych prostych połączonych, zamkniętych kolektorów pozostaje ogólnie otwarta i udowodniono, że utrzymuje się nad polem podstawowym . Udowodniono również rzeczywistą niezmienniczość homotopii prostych połączonych rozmaitości zwartych z po prostu połączoną granicą wymiaru co najmniej 4. ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

Przestrzenie konfiguracyjne wykresów

Niektóre wyniki są specyficzne dla przestrzeni konfiguracyjnych wykresów . Ten problem może być związany z robotyką i planowaniem ruchu: można sobie wyobrazić umieszczenie kilku robotów na torach i próbę kierowania nimi w różne pozycje bez kolizji. Ścieżki odpowiadają (krawędziom) wykresu, roboty odpowiadają cząsteczkom, a pomyślna nawigacja odpowiada ścieżce w przestrzeni konfiguracyjnej tego wykresu.

Dla dowolnego wykresu , czy przestrzeń typu Eilenberga-MacLane'a i silna deformacja cofa się do kompleksu CW o wymiarach , gdzie jest liczba wierzchołków stopnia co najmniej 3. Ponadto, a odkształcenie cofa się do niedodatnio zakrzywionych sześciennych kompleksów o większość . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ Gamma)}$${\ Displaystyle K (\ pi, 1)}$${\ Displaystyle b (\ Gamma)}$${\ Displaystyle b (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ Gamma)}$ ${\ Displaystyle \ min (n, b (\ Gamma))}$

Przestrzenie konfiguracyjne połączeń mechanicznych

Definiuje się również przestrzeń konfiguracyjną połączenia mechanicznego, a wykres stanowi podstawę jego geometrii. Powszechnie przyjmuje się, że taki wykres jest skonstruowany jako połączenie sztywnych prętów i zawiasów. Przestrzeń konfiguracyjną takiego połączenia definiuje się jako całość wszystkich jego dopuszczalnych pozycji w przestrzeni euklidesowej wyposażonej w odpowiednią metrykę. Przestrzeń konfiguracyjna ogólnego łącznika jest gładką rozgałęzieniem, na przykład dla trywialnego płaskiego łącznika wykonanego ze sztywnych prętów połączonych obrotowymi przegubami, przestrzenią konfiguracyjną jest n-torus . Najprostszy punkt osobliwości w takich przestrzeniach konfiguracyjnych jest iloczynem stożka na jednorodnej kwadratowej hiperpowierzchni utworzonej przez przestrzeń euklidesową. Taki punkt osobliwości pojawia się w przypadku połączeń, które można podzielić na dwa podpowiązania, tak że ich odpowiednie punkty końcowe ścieżek przecinają się w sposób nie poprzeczny, na przykład połączenie, które można ustawić w linii (tj. Całkowicie złożyć w linię). ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle T ^ {n}}$

Zobacz też

• Przestrzeń konfiguracji (fizyka)
• Przestrzeń stanów (fizyka)

Bibliografia