Przeliczalnie kompaktowa przestrzeń - Countably compact space

(1) (2):${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ Załóżmy, że (1) zachodzi, a A jest nieskończonym podzbiorem X bez punktu akumulacji. Biorąc podzbiór A, jeśli to konieczne, możemy założyć, że A jest policzalne. Każdy ma otwartą sąsiedztwo takiego, że jest skończony (może być pusty), ponieważ x jest nie punkt ω-akumulacja. Dla każdego skończonego podzbioru F z A określ . Każdy jest podzbiorem jednego z , więc okładka X . Ponieważ jest ich policzalnie wiele, tworzą policzalną otwartą okładkę X . Ale każde przecięcie A w skończonym podzbiorze (mianowicie F ), więc skończenie wiele z nich nie może objąć A , nie mówiąc już o X . Ta sprzeczność dowodzi (2). ${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle x\wX}$${\ Displaystyle O_ {x}}$${\ Displaystyle O_ {x} \ czapka A}$${\ Displaystyle O_ {F} = \ filiżanka \ {O_ {x}: O_ {x} \ czapka A = F \}}$${\ Displaystyle O_ {x}}$${\ Displaystyle O_ {F}}$${\ Displaystyle O_ {F}}$${\ Displaystyle O_ {F}}$${\ Displaystyle O_ {F}}$

(2) (3):${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ Załóżmy, że (2) zachodzi i niech będzie ciągiem w X . Jeśli ciąg ma wartość x, która występuje nieskończenie wiele razy, ta wartość jest punktem akumulacji ciągu. W przeciwnym razie każda wartość w ciągu występuje tylko skończenie wiele razy, a zbiór jest nieskończony, a więc ma punkt kumulacji ω x . Że x jest wtedy punktem akumulacji ciągu, co można łatwo sprawdzić. ${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ Displaystyle A = \ {x_ {n}: n \ w \ mathbb {N} \}}$

(3) (1):${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$ Załóżmy, że (3) posiada i jest policzalną otwartą okładką bez skończonej okładki. Następnie dla każdego możemy wybrać punkt, który nie znajduje się w . Sekwencja ma punkt akumulacji x i że x jest w niektórych . Ale wtedy jest sąsiedztwo x, które nie zawiera żadnego z , więc x nie jest mimo wszystko punktem skupienia ciągu. Ta sprzeczność dowodzi (1). ${\ Displaystyle \ {O_ {n}: n \ w \ mathbb {N} \}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x_ {n} \ w X}$${\ Displaystyle \ filiżanka _ {i = 1} ^ {n} O_ {i}}$${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ Displaystyle O_ {k}}$${\ Displaystyle O_ {k}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n>k}$

(4) (1):${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$ Warunki (1) i (4) są łatwo postrzegane jako równoważne, biorąc dopełnienia.