Przestrzeń mierzalna - Metrizable space

W topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki , przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią topologiczną, która jest homeomorficzna z przestrzenią metryczną . Oznacza to, że przestrzeń topologiczna mówi się metryzowalny jeśli istnieje metryka takie, że topologia indukowana przez to twierdzenia Metrization są twierdzenia , że dają wystarczające warunki dla przestrzeni topologicznej być metryzowalna. ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ ${\ Displaystyle d: X \ razy X \ do [0, \ infty )}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {T}}.}$

Nieruchomości

Przestrzenie metryzowalne dziedziczą wszystkie właściwości topologiczne z przestrzeni metrycznych. Na przykład są to przestrzenie parazwarte Hausdorffa (a więc normalne i Tychonow ) i pierwsze policzalne . Nie można jednak powiedzieć, że niektóre właściwości metryki, takie jak kompletność, są dziedziczone. Dotyczy to również innych struktur powiązanych z metryką. Na przykład metryzowalna przestrzeń jednolita może mieć inny zestaw map skurczu niż przestrzeń metryczna, do której jest homeomorficzna.

Twierdzenia o metryzacji

Jednym z pierwszych powszechnie uznanych twierdzeń o metryzacji było: Twierdzenie o metryzacji Urysohna . Stwierdza to, że każdaregularna przestrzeńHausdorffapoliczalna jako druga jest metryzowalna. Tak więc, na przykład, każda druga policzalnarozmaitośćjest metryzowalna. (Uwaga historyczna: pokazana tu forma twierdzenia została w rzeczywistości udowodniona przezTychonoffaw 1926 roku.Urysohnwykazał w artykule opublikowanym pośmiertnie w 1925 roku, że każda policzalna normalna przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna). Odwrotność nie obowiązuje: istnieją przestrzenie metryczne, które nie są policzalne w sekundach, na przykład zbiór niepoliczalny wyposażony w metrykę dyskretną. Przestrzeń Metryzowalna Nagata-Smirnowa, opisane poniżej, zapewnia bardziej konkretne twierdzenie, gdzie rozmawiać będzie posiadał.

Kilka innych twierdzeń o metryzacji jest prostymi konsekwencjami twierdzenia Urysohna. Na przykład zwarta przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest policzalna przez sekundy.

Twierdzenie Urysohna można przedstawić następująco: Przestrzeń topologiczna jest separowalna i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna, Hausdorffa i policzalna przez sekundy. Przestrzeń Metryzowalna Nagata-Smirnova rozciąga się to do nierozdzielnych przypadku. Stwierdza, że ​​przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna, Hausdorffa i ma σ-lokalnie skończoną bazę. Baza σ-lokalnie skończona to baza będąca połączeniem przeliczalnie wielu lokalnie skończonych zbiorów zbiorów otwartych. Dla ściśle spokrewnionego twierdzenia zobacz twierdzenie Bing metrization .

Rozłączne metryzowalne przestrzenie można również scharakteryzować jako te przestrzenie, które są homeomorficzne z podprzestrzenią sześcianu Hilberta , czyli przeliczalnie nieskończonym iloczynem przedziału jednostkowego (z jego naturalną topologią podprzestrzeni od rzeczywistych) z samym sobą, obdarzonym topologią iloczynu . ${\ Displaystyle \ lbrack 0,1 \ rbrack ^ {\ mathbb {N}}}$

Mówi się, że przestrzeń jest lokalnie metryzowalna, jeśli każdy punkt ma metryzowalne sąsiedztwo . Smirnov udowodnił, że lokalnie metryzowalna przestrzeń jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffem i parakompaktową . W szczególności rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.

Przykłady

Grupa operatorów unitarnych na separowalnej przestrzeni Hilberta obdarzona silną topologią operatora jest metryzowalna (patrz Stwierdzenie II.1 w ). ${\ Displaystyle \ mathbb {U} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$

Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych

Przestrzenie inne niż normalne nie mogą być metryzowalne; ważne przykłady obejmują

• Topologia Zariski na algebraicznej odmiany lub na spektrum pierścienia stosowany w geometrii algebraicznej ,
• przestrzeń liniowo-topologiczna wszystkich funkcji od prawdziwej linii do siebie, z topologią zbieżności punktowej .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Rzeczywista linia z topologią dolnego limitu nie jest metryzowalna. Zwykła funkcja odległości nie jest metryką w tej przestrzeni, ponieważ określana przez nią topologia jest zwykłą topologią, a nie topologią dolnego limitu. Ta przestrzeń to Hausdorff, parakompaktowa i pierwsza policzalna.

Długa linia jest lokalnie metryzowalny ale nie metryzowalny; w pewnym sensie jest „za długi”.

Zobacz też

• Metryka apollińska  – rumuński matematyk i poeta
• Twierdzenie o metryzacji Binga  – Charakteryzuje, kiedy przestrzeń topologiczna jest metryzowalna
• Metryzowalna topologiczna przestrzeń wektorowa  – topologiczna przestrzeń wektorowa, której topologię można zdefiniować za pomocą metryki
• Przestrzeń Moore'a (topologia)
• Twierdzenie o metryzacji Nagaty-Smirnowa  – Charakteryzuje, kiedy przestrzeń topologiczna jest metryzowalna
• Jednorodność , własność przestrzeni topologicznej bycia homeomorficzną do przestrzeni jednolitej lub równoważnie topologia zdefiniowana przez rodzinę pseudometrii

Bibliografia

Ten artykuł zawiera materiał z Metrizable on PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .