Sekwencyjnie kompaktowa przestrzeń - Sequentially compact space
W matematyce , A topologiczna przestrzeń X jest kolejno zwarty jeżeli każda sekwencja punktów w X ma zbieżną podciąg zbieżny w punkcie X .
Każda przestrzeń metryczna jest naturalnie przestrzenią topologiczną, a dla przestrzeni metrycznych pojęcia zwartości i zwartości sekwencyjnej są równoważne (jeśli przyjąć przeliczalny wybór ). Istnieją jednak sekwencyjnie zwarte przestrzenie topologiczne, które nie są zwarte, oraz zwarte przestrzenie topologiczne, które nie są sekwencyjnie zwarte.
Przykłady i właściwości
Przestrzeń wszystkich liczb rzeczywistych o standardowej topologii nie jest sekwencyjnie zwarta; ciąg ( s n ) podany przez s n = n dla wszystkich liczb naturalnych n jest ciągiem, który nie ma zbieżnego podciągu.
Jeśli przestrzeń jest przestrzenią metryczną , jest sekwencyjnie kompaktowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest kompaktowa . Pierwszy niezliczona porządkowa z topologią zamówienia jest przykładem kolejno zwartej przestrzeni topologicznej, która nie jest zwarta. Produkt z kopii zamkniętej przedział jednostkowy jest przykładem zwartej przestrzeni, która nie jest sekwencyjnie kompaktowy.
Powiązane pojęcia
Przestrzeń topologiczna X nazywana jest punktem granicznym zwartym, jeśli każdy nieskończony podzbiór zbioru X ma punkt graniczny w X , i przeliczalnie zwartą, jeśli każda przeliczalna otwarta pokrywa ma skończoną podpokrycie. W przestrzeni metrycznej pojęcia zwartości sekwencyjnej, zwartości punktu granicznego, zwartości przeliczalnej i zwartości są równoważne (jeśli przyjąć aksjomat wyboru ).
W przestrzeni sekwencyjnej (Hausdorffa) zwartość sekwencyjna jest równoważna zwartości policzalnej.
Istnieje również pojęcie jednopunktowego zagęszczenia sekwencyjnego — chodzi o to, że wszystkie niezbieżne sekwencje powinny zbiegać się do dodatkowego punktu.
Zobacz też
- Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa – ciąg ograniczony w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej ma zbieżny podciąg
- Przestrzeń Frécheta-Urysohna
- Sekwencja obejmująca mapy
- Przestrzeń sekwencyjna – Przestrzeń topologiczna, którą można scharakteryzować za pomocą sekwencji
Uwagi
Bibliografia
- Munkres, James (1999). Topologia (wyd. 2). Sala urzędnicza . Numer ISBN 0-13-181629-2.
- Steen, Lynn A. i Seebach, J. Arthur Jr .; Kontrprzykłady w topologii , Holt, Rinehart i Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Willard, Stephen (2004). Ogólna topologia . Publikacje Dovera. Numer ISBN 0-486-43479-6.
 |
Ten artykuł dotyczący topologii jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją . |