Siła między magnesami - Force between magnets

Magnesy wywierają na siebie siły i momenty, zgodnie z zasadami elektromagnetyzmu . Siły pola przyciągania magnesów są spowodowane mikroskopijnymi prądami elektrycznie naładowanych elektronów krążących wokół jąder i wewnętrznym magnetyzmem cząstek elementarnych (takich jak elektrony), które składają się na materiał. Oba są dość dobrze modelowane jako maleńkie pętle prądu zwane dipolami magnetycznymi, które wytwarzają własne pole magnetyczne i są pod wpływem zewnętrznych pól magnetycznych. Najbardziej elementarną siłą między magnesami jest oddziaływanie magnetyczne dipol-dipol . Jeśli znane są wszystkie dipole magnetyczne, które tworzą dwa magnesy, wówczas siłę wypadkową na obu magnesach można określić, sumując wszystkie te interakcje między dipolami pierwszego magnesu i drugiego magnesu.

Często wygodniejsze jest modelowanie siły między dwoma magnesami, jako wynikającej z sił między biegunami magnetycznymi, na których rozłożone są ładunki magnetyczne . Dodatni i ujemny ładunek magnetyczny jest zawsze połączony sznurem namagnesowanego materiału; izolowany ładunek magnetyczny nie istnieje. Model ten dobrze sprawdza się w przewidywaniu sił między prostymi magnesami, gdzie dostępne są dobre modele rozkładu ładunku magnetycznego.

Bieguny magnetyczne a prądy atomowe

Model magnetyczno-ładunkowy dla modelu H i model Ampère'a dla B dają identyczne pole poza magnesem. Wewnątrz są bardzo różne.

Pole magnesu to suma pól wszystkich namagnesowanych elementów objętości, które składają się z małych dipoli magnetycznych na poziomie atomowym. Bezpośrednie zsumowanie wszystkich tych pól dipolowych wymagałoby całkowania trójwymiarowego tylko po to, aby uzyskać pole jednego magnesu, co może być skomplikowane.

W przypadku namagnesowania jednorodnego problem można uprościć przynajmniej na dwa sposoby, korzystając z twierdzenia Stokesa . Po integracji wzdłuż kierunku magnesowania, wszystkie dipole wzdłuż linii integracji znoszą się nawzajem, z wyjątkiem powierzchni końcowej magnesu. Pole wyłania się wtedy tylko z tych (matematycznych) ładunków magnetycznych rozsianych po końcowych ściankach magnesu. Wręcz przeciwnie, podczas całkowania na namagnesowanym obszarze prostopadłym do kierunku namagnesowania, dipole w tym obszarze znoszą się nawzajem , z wyjątkiem zewnętrznej powierzchni magnesu, gdzie sumują się (matematycznie) do prądu pierścieniowego. Nazywa się to modelem Ampère. W obu modelach należy brać pod uwagę tylko dwuwymiarowe rozkłady na powierzchni magnesu, co jest prostsze niż pierwotny problem trójwymiarowy.

Model ładunku magnetycznego : W modelu ładunku magnetycznego wyobraża się, że powierzchnie biegunów magnesu trwałego pokryte są tak zwanym ładunkiem magnetycznym , cząstki bieguna północnego na biegunie północnym i cząstki bieguna południowego na biegunie południowym, które są źródło linii pola magnetycznego. Pole wywołane ładunkami magnetycznymi uzyskuje się zgodnie z prawem Coulomba z ładunkami magnetycznymi zamiast ładunków elektrycznych. Jeśli znany jest rozkład biegunów magnetycznych, wówczas model biegunowy podaje dokładny rozkład natężenia pola magnetycznego H zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz magnesu. Rozkład ładunku na powierzchni jest równomierny, jeśli magnes jest jednorodnie namagnesowany i ma płaskie powierzchnie końcowe (takie jak walec lub pryzmat).

Model Ampère : W modelu Ampère cała magnetyzacja jest spowodowana efektem mikroskopijnych lub atomowych, kołowo związanych prądów , zwanych również prądami Ampèriana w całym materiale. Efektem netto tych mikroskopijnych prądów związanych jest to, że magnes zachowywał się tak, jakby w pętlach w magnesie przepływał makroskopowy prąd elektryczny z polem magnetycznym normalnym do pętli. Pole spowodowane takimi prądami jest następnie uzyskiwane zgodnie z prawem Biota–Savarta . Model Ampère zapewnia prawidłową gęstość strumienia magnetycznego B zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz magnesu. Czasami trudno jest obliczyć prądy Ampèriana na powierzchni magnesu.

Magnetyczny moment dipolowy

Daleko od magnesu, jego pole magnetyczne jest prawie zawsze opisane (z dobrym przybliżeniem) przez pola dipolowego charakteryzuje się całkowitą moment dipolowy magnetyczny , m . Dzieje się tak niezależnie od kształtu magnesu, o ile moment magnetyczny jest niezerowy. Jedną z cech pola dipolowego jest to, że siła pola spada odwrotnie proporcjonalnie do sześcianu odległości od środka magnesu.

Moment magnetyczny magnesu jest więc miarą jego siły i orientacji. Pętla prądu elektrycznego , magnes sztabkowy , elektron , cząsteczka i planeta mają momenty magnetyczne. Dokładniej, termin moment magnetyczny zwykle odnosi się do magnetycznego momentu dipolowego układu , który wytwarza pierwszy człon w multipolowym rozszerzeniu ogólnego pola magnetycznego.

Zarówno moment obrotowy, jak i siła wywierana na magnes przez zewnętrzne pole magnetyczne są proporcjonalne do momentu magnetycznego tego magnesu. Moment magnetyczny jest wektorem : ma zarówno wielkość, jak i kierunek. Kierunek momentu magnetycznego wskazuje od południowego do północnego bieguna magnesu (wewnątrz magnesu). Na przykład kierunek momentu magnetycznego magnesu sztabkowego, takiego jak w kompasie, jest kierunkiem, w który wskazują bieguny północne.

W fizycznie poprawnym modelu Ampère'a magnetyczne momenty dipolowe są spowodowane nieskończenie małymi pętlami prądu. Dla wystarczająco małej pętli prądu I i pola powierzchni A dipolowy moment magnetyczny wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {m} = ja \ mathbf {A}}$,

gdzie kierunek m jest normalny do obszaru w kierunku wyznaczonym przy użyciu reguły prądu i prawej ręki . Jako takie, SI jednostka moment dipolowy magnetycznego amper  Miernik ² . Dokładniej, w celu uwzględnienia elektromagnesów z wielu zwojów jednostka momentu dipolowego magnetycznego jest amperozwój  metr ² .

W modelu ładunku magnetycznego, dipolowy moment magnetyczny wynika z dwóch równych i przeciwnych ładunków magnetycznych, które są oddzielone odległością d . W tym modelu m jest podobny do elektrycznego momentu dipolowego p ze względu na ładunki elektryczne:

${\ Displaystyle m = q_ {m} d \,}$,

gdzie q _m to „ładunek magnetyczny”. Kierunek magnetycznego momentu dipolowego wskazuje od ujemnego bieguna południowego do dodatniego bieguna północnego tego maleńkiego magnesu.

Siła magnetyczna spowodowana niejednorodnym polem magnetycznym

Góra: , siła na magnetycznych biegunach północnych. Dół: siła działająca na wyrównane dipole, takie jak cząstki żelaza.${\ Displaystyle \ mathbf {B} }$
${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} | \ mathbf {B} |}$

Magnesy są rysowane wzdłuż gradientu pola magnetycznego. Najprostszym tego przykładem jest przyciąganie przeciwnych biegunów dwóch magnesów. Każdy magnes wytwarza pole magnetyczne, które jest silniejsze w pobliżu biegunów. Jeśli przeciwległe bieguny dwóch oddzielnych magnesów są skierowane do siebie, każdy z magnesów jest przyciągany do silniejszego pola magnetycznego w pobliżu bieguna drugiego. Jeśli jednak bieguny są skierowane do siebie, są odpychane od większego pola magnetycznego.

Model ładunku magnetycznego przewiduje poprawną postać matematyczną tej siły i jest łatwiejszy do zrozumienia jakościowo. Bo jeśli magnes zostanie umieszczony w jednolitym polu magnetycznym, to oba bieguny będą odczuwać tę samą siłę magnetyczną, ale w przeciwnych kierunkach, ponieważ mają przeciwny ładunek magnetyczny. Ale kiedy magnes zostanie umieszczony w niejednorodnym polu, na przykład z powodu innego magnesu, biegun doświadczający dużego pola magnetycznego doświadczy dużej siły i na magnesie będzie działać siła wypadkowa. Jeśli magnes jest wyrównany z polem magnetycznym, co odpowiada dwóm magnesom zorientowanym w tym samym kierunku w pobliżu biegunów, zostanie on wciągnięty w większe pole magnetyczne. Jeśli jest przeciwnie ustawiony, tak jak w przypadku dwóch magnesów z podobnymi biegunami skierowanymi do siebie, magnes zostanie odepchnięty z obszaru o wyższym polu magnetycznym.

W modelu Ampère'a na dipol magnetyczny działa również siła spowodowana niejednorodnym polem magnetycznym, ale jest to spowodowane siłami Lorentza na pętlę prądową, która tworzy dipol magnetyczny. Siła uzyskana w przypadku modelu pętli prądowej wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ lewo (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B} \ prawej)}$,

gdzie gradient ∇ jest zmianą wielkości m  ·  B na jednostkę odległości, a kierunek jest kierunkiem maksymalnego wzrostu m  ·  B . Aby zrozumieć to równanie należy zauważyć, że iloczyn skalarny m  ·  B = mB cos ( θ ), gdzie m i B stanowią wielkości z m i B w wektorach i θ jest kątem między nimi. Jeśli m jest w tym samym kierunku co B, to iloczyn skalarny jest dodatni, a punkty gradientu „pod górę” przyciągają magnes do obszarów o wyższym polu B (ściślej większe m  ·  B ). B reprezentuje siłę i kierunek pola magnetycznego. To równanie jest ściśle ważne tylko dla magnesów o zerowej wielkości, ale często jest dobrym przybliżeniem dla niezbyt dużych magnesów. Siłę magnetyczną na większe magnesy określa się dzieląc je na mniejsze obszary mające własne m, a następnie sumując siły na każdym z tych obszarów.

Model z ładunkiem magnetycznym

Model ładunku magnetycznego zakłada, że ​​siły magnetyczne między magnesami są spowodowane ładunkami magnetycznymi w pobliżu biegunów. Model ten działa nawet blisko magnesu, gdy pole magnetyczne staje się bardziej skomplikowane i bardziej zależne od szczegółowego kształtu i namagnesowania magnesu niż tylko wkład dipola magnetycznego. Formalnie pole to może być wyrażone jako rozwinięcie multipolowe : pole dipolowe, plus pole kwadrupolowe , plus pole oktopolowe, itd. w modelu Ampère'a, ale może to być matematycznie bardzo kłopotliwe.

Obliczanie siły magnetycznej

Obliczenie siły przyciągania lub odpychania między dwoma magnesami jest w ogólnym przypadku operacją bardzo złożoną, ponieważ zależy od kształtu, namagnesowania, orientacji i separacji magnesów. Model ładunku magnetycznego zależy od pewnej wiedzy o tym, jak „ładunek magnetyczny” jest rozłożony na biegunach magnetycznych. Nawet wtedy jest naprawdę użyteczny tylko w prostych konfiguracjach. Na szczęście to ograniczenie obejmuje wiele przydatnych przypadków.

Siła między dwoma biegunami magnetycznymi

Jeśli oba bieguny są wystarczająco małe, aby można je było przedstawić jako pojedyncze punkty, można je uznać za punktowe ładunki magnetyczne. Klasycznie siła między dwoma biegunami magnetycznymi jest dana wzorem:

${\ Displaystyle F = {{\ mu q_ {m1} q_ {m2}} \ ponad {4 \ pi r ^ {2}}}}$

gdzie

F to siła (jednostka SI: niuton )

Q _{m 1} i Q _{m 2} są bezwzględne ładunku magnetycznego na biegunów magnetycznych (jednostki SI: amper - m )

μ jest przepuszczalnością środka pośredniczącego (jednostka SI: tesla metr na amper , henryk na metr lub niuton na amper do kwadratu)

r jest separacją (jednostka SI: metr).

Opis biegunów jest przydatny dla praktykujących magnetystów, którzy projektują magnesy w świecie rzeczywistym, ale rzeczywiste magnesy mają bardziej złożony rozkład biegunów niż pojedyncze północ i południe. Dlatego realizacja idei słupa nie jest prosta. W niektórych przypadkach bardziej przydatna będzie jedna z bardziej złożonych formuł podanych poniżej.

Siła między dwiema pobliskimi namagnesowanymi powierzchniami obszaru A

Siłę mechaniczną między dwiema pobliskimi namagnesowanymi powierzchniami można obliczyć za pomocą następującego równania. Równanie obowiązuje tylko w przypadkach, w których efekt frędzli jest znikomy, a objętość szczeliny powietrznej jest znacznie mniejsza niż namagnesowanego materiału, siła dla każdej namagnesowanej powierzchni wynosi:

${\ Displaystyle F = {\ Frac {\ mu _ {0}H ^ {2} A} {2}} = {\ Frac {B ^ {2} A} {2 \ mu _ {0}}}}$

gdzie:

A to powierzchnia każdej powierzchni, wm ²

H jest ich polem magnesującym w A/m.

μ ₀ jest przepuszczalnością przestrzeni równą 4π×10 ^-7  T·m/A

B jest gęstością strumienia w T

Wyprowadzenie tego równania jest analogiczne do siły między dwiema pobliskimi powierzchniami naładowanymi elektrycznie, która zakłada, że ​​pole pomiędzy płytami jest jednorodne.

Siła między dwoma magnesami sztabkowymi

Pole dwóch przyciągających cylindrycznych magnesów sztabkowych

Pole dwóch odpychających cylindrycznych magnesów sztabkowych

Siła między dwoma identycznymi cylindrycznymi magnesami sztabkowymi umieszczonymi na styku w dużej odległości wynosi w przybliżeniu: ${\ Displaystyle x \ gg R}$

${\ Displaystyle F \ Simeq \ lewo [{\ Frac {B_ {0} ^ {2} A ^ {2} \ lewo (L ^ {2} + R ^ {2} \ po prawej)} { \ pi \ mu _ {0}L^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}- {\frac {2}{(x+L)^{2}}}\prawo]}$

gdzie

B ₀ jest gęstością strumienia bardzo blisko każdego bieguna, w T,

A to powierzchnia każdego bieguna w m ² ,

L to długość każdego magnesu w m,

R jest promieniem każdego magnesu w m, a

x to odległość między dwoma magnesami, w m

${\displaystyle B_{0}\,=\,{\frac {\mu_{0}}{2}}M}$ wiąże gęstość strumienia na biegunie z namagnesowaniem magnesu.

Należy zauważyć, że te sformułowania zakładają punktowe rozkłady ładunków magnetycznych zamiast równomiernego rozkładu na końcowych ściankach, co jest dobrym przybliżeniem tylko przy stosunkowo dużych odległościach. W przypadku odległości pośrednich należy stosować metody numeryczne .

Siła między dwoma cylindrycznymi magnesami

Dokładna siła między dwoma współosiowymi cylindrycznymi magnesami prętowymi dla kilku współczynników kształtu.

Dla dwóch magnesów cylindrycznych o promieniu i długości , z wyrównanym dipolem magnetycznym, siła może być obliczona analitycznie za pomocą całek eliptycznych . W granicy siła może być przybliżona przez, ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle x \ gg R}$

${\ Displaystyle F (x) \ simeq {\ Frac {\ pi \ mu _ {0}} {4}} M ^ {2} R ^ {4} \ lewo [{\ Frac {1} {x ^ {2} }}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$

Gdzie jest namagnesowanie magnesów i jaka jest odległość między nimi. Dla małych wartości , wyniki są błędne, ponieważ siła staje się duża dla odległości bliskiej zeru. ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Jeśli magnes jest długi ( ), pomiar indukcji magnetycznej bardzo blisko magnesu jest z grubsza powiązany wzorem ${\ Displaystyle L \ gg R}$${\displaystyle B_{0}}$${\ Displaystyle M}$

${\displaystyle B_{0}\,=\,{\frac {\mu_{0}}{2}}M}$.

Efektywny magnetyczny moment dipolowy można zapisać jako

${\ Displaystyle m = MV}$

Gdzie jest objętość magnesu. Dla cylindra jest to , i ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V = \ pi R ^ {2} L}$

${\ Displaystyle M}$ jest polem namagnesowania dipola.

Gdy uzyskamy przybliżenie punktowe dipola, ${\ Displaystyle L \ ll x}$

${\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {3 \ pi \ mu _ {0}} {2}} M ^ {2} R ^ {4} L ^ {2} {\ Frac {1} {x ^ {4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}M^{2}V^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={ \frac {3\mu _{0}}{2\pi }}m_{1}m_{2}{\frac {1}{x^{4}}}}$

Co pasuje do wyrażenia siły między dwoma dipolami magnetycznymi.

Model Ampère

Francuski naukowiec André Marie Ampère odkrył, że magnetyzm wytwarzany przez magnesy trwałe i magnetyzm wytwarzany przez elektromagnesy są tym samym rodzajem magnetyzmu.

Z tego powodu siłę magnesu trwałego można wyrazić tak samo jak elektromagnesu.

Siła magnetyzmu elektromagnesu będącego płaską pętlą drutu, przez który przepływa prąd, mierzona w odległości dużej w porównaniu do wielkości pętli, jest proporcjonalna do tego prądu i jest proporcjonalna do powierzchni tej pętli .

W celu wyrażenia siły magnesu trwałego w taki sam sposób jak w przypadku elektromagnesu, uważa się, że magnes trwały zawiera małe pętle prądowe w całej swojej objętości, a następnie okazuje się, że siła magnetyczna tego magnesu jest proporcjonalna do prądu każdej pętli (w Amperach) i proporcjonalny do powierzchni każdej pętli (w metrach kwadratowych) i proporcjonalny do gęstości pętli prądowych w materiale (w jednostkach na metr sześcienny), czyli wymiar wytrzymałości magnetyzmu magnesu trwałego to Amper razy metr kwadratowy na metr sześcienny, to Amper na metr.

Dlatego amper na metr jest właściwą jednostką magnetyzmu, mimo że te małe pętle prądowe nie są tak naprawdę obecne w magnesie trwałym.

Ważność modelu Ampere'a oznacza, że ​​można myśleć o materiale magnetycznym tak, jakby składał się z pętli prądowych, a całkowity efekt jest sumą efektu każdej pętli prądowej, a więc efektu magnetycznego rzeczywistego magnesu można obliczyć jako sumę efektów magnetycznych maleńkich kawałków materiału magnetycznego, które znajdują się w dużej odległości w porównaniu z rozmiarem każdego kawałka.

Jest to bardzo przydatne do obliczania pola sił magnetycznych rzeczywistego magnesu; Polega ona na sumowaniu dużej ilości małych sił i nie powinieneś robić tego ręcznie, ale pozwól, aby komputer zrobił to za Ciebie; Wszystko, co program komputerowy musi wiedzieć, to siła między małymi magnesami, które znajdują się w dużej odległości od siebie.

W takich obliczeniach często zakłada się, że każdy (tego samego rozmiaru) mały kawałek materiału magnetycznego ma równie silny magnetyzm, ale nie zawsze jest to prawdą: magnes umieszczony w pobliżu innego magnesu może zmienić namagnesowanie tego innego magnesu. W przypadku magnesów trwałych jest to zwykle tylko niewielka zmiana, ale jeśli masz elektromagnes składający się z drutu owiniętego wokół żelaznego rdzenia i zbliżysz magnes trwały do ​​tego rdzenia, wówczas namagnesowanie tego rdzenia może się drastycznie zmienić (na przykład na przykład, jeśli w przewodzie nie ma prądu, elektromagnes nie byłby magnetyczny, ale gdy magnes trwały zostanie zbliżony, rdzeń elektromagnesu staje się magnetyczny).

Tak więc model Ampere nadaje się do obliczania pola siły magnetycznej magnesu trwałego, ale w przypadku elektromagnesów może być lepiej zastosować podejście z obwodem magnetycznym.

Magnetyczne oddziaływanie dipol-dipol

Jeśli dwa lub więcej magnesów, są wystarczająco małe i wystarczająco odległe, aby ich kształt i wielkość nie jest ważne, wówczas oba magnesy mogą być modelowane jako dipoli magnetycznych posiadające od magnetycznych momentów m ₁ i m ₂ . W przypadku równomiernie namagnesowanych magnesów kulistych model ten jest precyzyjny nawet przy skończonej wielkości i odległości, ponieważ zewnętrzne pole takich magnesów jest dokładnie polem dipolowym.

Pole magnetyczne dipola idealnego.

Pole magnetyczne dipola magnetycznego w zapisie wektorowym to:

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {m} \ mathbf {r}) = {\ Frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}}} \ lewo (3 (\ mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0} }{3}}\mathbf {m} \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$

gdzie

B to pole

r jest wektorem od pozycji dipola do pozycji, w której mierzone jest pole

r jest wartością bezwzględną r : odległość od dipola

${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {r}}}=\mathbf {r} /r}$jest wektorem jednostkowym równoległym do r ;

m jest (wektorowym) momentem dipolowym

μ ₀ to przepuszczalność wolnej przestrzeni

δ ³ to trójwymiarowa funkcja delta .

Jest to dokładnie pole dipola punktowego, dokładnie człon dipolowy w multipolowym rozwinięciu dowolnego pola i w przybliżeniu pole dowolnej konfiguracji dipolopodobnej na dużych odległościach.

Układy odniesienia do obliczania sił między dwoma dipolami

Siła między współosiowymi magnesami cylindrycznymi. Zgodnie z przybliżeniem dipolowym siła spada proporcjonalnie do dużej odległości z , co daje nachylenie -4 na wykresie log-log .${\ Displaystyle 1/z ^ {4}}$

Jeśli układ współrzędnych zostanie przesunięty, aby wyśrodkować go na m ₁ i obrócony tak, że oś z wskazuje w kierunku m _1, to poprzednie równanie upraszcza się do

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} B_ {z} (\ mathbf {R} ) i = {\ Frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} m_ {1} \ lewo ({\ Frac { 3\cos ^{2}\theta -1}{r^{3}}}\right)\\B_{x}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{ 4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos \theta \sin \theta }{r^{3}}}\right)\end{aligned}}}$,

gdzie zmienne r i θ mierzy się w ramce odniesienia z pochodzenia m ₁ i zorientowany w taki sposób, m ₁ jest pochodzenia skierowaną w kierunku osi z. Ta ramka nosi nazwę Współrzędne lokalne i jest pokazana na rysunku po prawej stronie.

Siła jednego dipola magnetycznego na drugi jest wyznaczana przez wykorzystanie pola magnetycznego pierwszego dipola podanego powyżej i określenie siły wywołanej polem magnetycznym na drugim dipolu za pomocą podanego powyżej równania siły. Używając notacji wektorowej, siła dipola magnetycznego m ₁ na dipol magnetyczny m ₂ wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {R} \ mathbf {m} _ {1} \ mathbf {m} _ {2}) = {\ Frac {3 \ mu _ {0}} {4 \pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2} \cdot \mathbf {m} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac { 5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {o } \Prawidłowy]}$

gdzie r jest wektorem odległości od momentu dipolowego m ₁ do momentu dipolowego m ₂ , gdzie r =|| r ||. Siła działająca na m ₁ w przeciwnym kierunku. Na przykład siła magnetyczna dla dwóch magnesów skierowanych w kierunku z i ustawionych na osi z i oddzielonych odległością z wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (z, m_ {1}, m_ {2}) = - {\ Frac {3 \ mu _ {0} m_ {1} m_ {2}} {2 \ pi z ^ { 4}}}}$, kierunek Z.

Ostateczne formuły są pokazane dalej. Wyrażane są w globalnym układzie współrzędnych,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F_ {r} (\ mathbf {r}, \ alfa, \ beta) i = - {\ Frac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ Frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\left[2\cos(\phi -\alpha )\cos(\phi -\beta )-\sin(\phi -\alpha ) \sin(\phi -\beta )\right]\\F_{\phi }(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\ pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\sin(2\phi -\alpha -\beta )\end{aligned}}}$

Uwagi

Bibliografia

Zobacz też

• Silnik magnetyczny