Norma (matematyka) - Norm (mathematics)
W matematyce , A norma jest funkcja z rzeczywistym lub złożonej przestrzeni wektorowej do nieujemnych liczb rzeczywistych, które zachowuje się w określony sposób, jak odległość od pochodzenia : to dojeżdża ze skalowaniem, wypełnia formularz z nierówności trójkąta i jest zeru tylko w pochodzenie. W szczególności odległość euklidesowa wektora od początku jest normą, zwaną normą euklidesową lub 2-normą , którą można również zdefiniować jako pierwiastek kwadratowy iloczynu skalarnego wektora z samym sobą.
Pseudonorm lub seminorm spełnia dwie pierwsze właściwości normalnego, ale może być równa zero dla innych wektorów niż pochodzenia. Przestrzeń wektorowa o określonej normie nazywana jest unormowaną przestrzenią wektorową . W podobny sposób przestrzeń wektorowa z seminormą nazywana jest przestrzenią seminormowaną .
Definicja
Biorąc pod uwagę miejsca wektora na podpole F na liczbach zespolonych normą na to o wartościach rzeczywistych funkcji z następujących właściwości, gdzie Ranga ta zwykle wartość bezwzględną skalarnej :
- Subaddytywność / nierówność trójkąta : dla wszystkich
- Absolutna jednorodność : dla wszystkich i wszystkich skalarów
-
Pozytywna określoność /
Rozdzielenie punktów : dla wszystkich,jeślito
- Ponieważ własność (2) implikuje, że niektórzy autorzy zastępują własność (3) równoważnym warunkiem: dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy
Seminorm na to funkcja , która ma właściwości (1) i (2) tak, że w szczególności, każda norma również seminorm (a zatem również sublinear funkcjonalne ). Istnieją jednak półnormy, które nie są normami. Z właściwości (1) i (2) wynika, że if jest normą (lub ogólniej seminormą) then i ma również następującą własność:
- Nienegatywność : dla wszystkich
Niektórzy autorzy włączają nieujemność jako część definicji „normy”, chociaż nie jest to konieczne.
Normy równoważne
Załóżmy, że p i q są dwiema normami (lub półnormami) w przestrzeni wektorowej Wtedy p i q nazywamy równoważnymi , jeśli istnieją dwie stałe rzeczywiste c i C przy c > 0 takie, że dla każdego wektora
Notacja
Jeśli norma jest podana na przestrzeni wektorowej X , to norma wektora jest zwykle oznaczana przez umieszczenie jej w podwójnych pionowych liniach: Taki zapis jest czasami używany, jeśli p jest tylko półnormą. W przypadku długości wektora w przestrzeni euklidesowej (która jest przykładem normy, jak wyjaśniono poniżej ), rozpowszechniony jest również zapis z pojedynczymi pionowymi liniami.
W LaTeX i związanych język znaczników, podwójny pasek notacji normą jest wprowadzany za pomocą makra \|
, co czyni w podwójnej linii pionowej, w celu określenia linii równoległych , operatora równolegle i dodanie równoległej wprowadza się z i jest wyświetlany jako Chociaż patrząc podobne, te dwa nie należy mylić makr, ponieważ oznacza nawias i oznacza operator. Dlatego ich rozmiar i przestrzenie wokół nich nie są obliczane w ten sam sposób. Podobnie, pojedyncza kreska pionowa jest zakodowana tak, jak w przypadku użycia jako nawias i gdy jest używana jako operator.
\parallel
\|
\parallel
|
\mid
W Unicode reprezentacja znaku „podwójnej linii pionowej” to U+2016 ‖ DOUBLE VERTICAL LINE . Symbolu „podwójnej linii pionowej” nie należy mylić z symbolem „równoległym do”, U+2225 ∥ RÓWNOLEGŁY DO , który ma oznaczać linie równoległe i operatory równoległe. Nie należy również mylić podwójnej linii pionowej z U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK , mającym na celu oznaczenie bocznych kliknięć w językoznawstwie.
Pojedyncza linia pionowa | ma reprezentację Unicode U+007C | LINIA PIONOWA .
Przykłady
Każda (rzeczywista lub złożona) przestrzeń wektorowa przyjmuje normę: Jeśli jest bazą Hamela dla przestrzeni wektorowej X, to mapa o wartościach rzeczywistych, która wysyła x = Σ i ∈ I s i x i ∈ X (gdzie prawie wszystkie skalary s i wynoszą 0) do Σ i ∈ I | s ja | jest normą na X . Istnieje również wiele norm, które wykazują dodatkowe właściwości, które czynią je przydatnymi w konkretnych problemach.
Norma wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna
Każdy normą P na jednowymiarowej przestrzeni wektorowej X jest równoważne (do skalowania) z normą wartości bezwzględnej, co oznacza, że istnieje norma zabezpieczonego Izomorfizm przestrzeni wektorowej , gdzie jest albo czy i Norma-konserwujące środki ten Izomorfizm podaje wysyłając do wektora normy 1 , który istnieje, ponieważ taki wektor uzyskuje się przez pomnożenie dowolnego wektora niezerowego przez odwrotność jego normy.
norma euklidesowa
Na n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej intuicyjne pojęcie długości wektora x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) jest uchwycone wzorem
Jest to norma euklidesowa, która podaje zwykłą odległość od początku do punktu X — konsekwencja twierdzenia Pitagorasa . Ta operacja może być również określane jako „SRSS”, które jest skrótem dla y quare r oot z y UM s quares.
Norma euklidesowa jest zdecydowanie najczęściej stosowaną normą, ale istnieją inne normy w tej przestrzeni wektorowej, jak pokazano poniżej. Jednak wszystkie te normy są równoważne w tym sensie, że wszystkie definiują tę samą topologię.
Wewnętrzny produkt dwóch wektorów w przestrzeni euklidesowej wektor jest kropka produkt swoich współrzędnych wektorów nad ortonormalnych podstawie . Stąd normę euklidesową można zapisać bez współrzędnych jako
Norma euklidesowa jest również nazywana normą L 2 , ℓ 2 normą , 2-normą lub normą kwadratową ; zobacz przestrzeń L p . Definiuje funkcji odległości zwaną długość euklidesowa , l 2 odległości lub £ -l 2 na odległość .
Zbiór wektorów, w których normą euklidesową jest dana stała dodatnia, tworzy n- sferę .
Norma euklidesowa liczb zespolonych
Normą euklidesową liczby zespolonej jest jej wartość bezwzględna (nazywana również modułem ), jeśli płaszczyzna zespolona jest utożsamiana z płaszczyzną euklidesową To utożsamienie liczby zespolonej x + i y jako wektora na płaszczyźnie euklidesowej sprawia, że ilość (jak po raz pierwszy zasugerował Euler) norma euklidesowa związana z liczbą zespoloną.
Kwaterniony i oktonony
Istnieją dokładnie cztery algebry Euklidesa Hurwitza nad liczbami rzeczywistymi . Są liczb rzeczywistych liczb zespolonych z Quaternions i wreszcie octonions , przy czym wymiary tych przestrzeni ponad rzeczywistych Liczby 1 , 2 , 4 i 8 , odpowiednio. Jak omówiono wcześniej, normy kanoniczne dotyczące i są ich funkcjami wartości bezwzględnej .
Kanoniczna norma na od kwaterniony jest zdefiniowany przez
- Skończenie wymiarowe złożone przestrzenie unormowane
Na n- wymiarowej przestrzeni złożonej najczęstszą normą jest
W tym przypadku normą może być wyrażony jako pierwiastek kwadratowy z wewnętrznego produktu wektora i sobie;
Ten wzór jest ważny dla dowolnej wewnętrznej przestrzeni iloczynowej , w tym przestrzeni euklidesowych i złożonych. W przypadku przestrzeni złożonych iloczyn skalarny jest odpowiednikiem złożonego iloczynu skalarnego . Stąd wzór w tym przypadku można zapisać również za pomocą następującej notacji:
Norma taksówki lub norma Manhattan
Zbiór wektorów, których 1-norma jest daną stałą, tworzy powierzchnię poprzecznego politopu o wymiarze równym wymiarowi normy minus 1. Norma Taxicab jest również nazywana
normą . Odległość wywiedziona z tą normą jest nazywany odległość Manhattan lub ℓ 1 odległość .1-norma to po prostu suma wartości bezwzględnych kolumn.
W przeciwieństwie,
p - norma
Niech p ≥ 1 będzie liczbą rzeczywistą. P -norm (zwany również -norm) wektora jest
Ta definicja jest nadal interesująca dla 0 < p < 1 , ale wynikowa funkcja nie definiuje normy, ponieważ narusza nierówność trójkąta . To, co jest prawdą dla tego przypadku 0 < p < 1 , nawet w mierzalnym analogu, to to, że odpowiadająca mu klasa L p jest przestrzenią wektorową i prawdą jest również, że funkcja
Pochodna cząstkowa normy p jest dana przez
Pochodną względem x jest zatem
W szczególnym przypadku p = 2 staje się to
Norma maksymalna (szczególny przypadek: norma nieskończoności, norma jednolita lub norma naczelna)
Jeśli jest jakiś wektor taki, że wtedy:
Zbiór wektorów, których normą nieskończoności jest dana stała c , tworzy powierzchnię hipersześcianu o długości krawędzi 2 c .
Zerowa norma
W analizie prawdopodobieństwa i funkcjonalnej norma zerowa indukuje kompletną topologię metryczną dla przestrzeni funkcji mierzalnych i dla przestrzeni F sekwencji z F-normą Przez
F-norma rozumiemy pewną funkcję o wartościach rzeczywistych na F-przestrzeni z F-normą. Odległość d , tak że F -norm opisany powyżej nie jest normą w zwykłym znaczeniu, ponieważ brakuje mu żądane właściwości jednorodności.Odległość Hamminga wektora od zera
W geometrii metrycznej The dyskretnych metryki wykonuje jedną wartość dla różnych punktów i zera w inny sposób. W przypadku zastosowania współrzędnych do elementów przestrzeni wektorowej odległość dyskretna określa odległość Hamminga , co jest ważne w
teorii kodowania i informacji . W dziedzinie liczb rzeczywistych lub zespolonych odległość metryki dyskretnej od zera nie jest jednorodna w punkcie niezerowym; w rzeczywistości odległość od zera pozostaje jeden, ponieważ jego niezerowy argument zbliża się do zera. Jednak dyskretna odległość liczby od zera spełnia inne własności normy, a mianowicie nierówność trójkąta i dodatnią określoność. Po zastosowaniu komponentów do wektorów dyskretna odległość od zera zachowuje się jak niejednorodna „norma”, która zlicza liczbę niezerowych składników w swoim argumencie wektorowym; znowu, ta niejednorodna „norma” jest nieciągła.W przetwarzaniu sygnałów i danych statystycznych , David Donoho odniósł się do zera „ normy ” z cudzysłowie. Zgodnie z notacją Donoho, zerowa „norma” x jest po prostu liczbą niezerowych współrzędnych x lub odległością Hamminga wektora od zera. Kiedy ta „norma” jest zlokalizowana w ograniczonym zbiorze, jest to granica p -norm, gdy p zbliża się do 0. Oczywiście zerowa „norma” nie jest naprawdę normą, ponieważ nie jest dodatnia jednorodna . W rzeczywistości nie jest to nawet F-norma w opisanym powyżej sensie, ponieważ jest nieciągła, solidarnie, w stosunku do argumentu skalarnego w mnożeniu skalarno-wektorowym oraz względem jego argumentu wektorowego. Nadużywanie terminologię , niektórzy inżynierowie pominąć cudzysłowu Donoho i niewłaściwie zadzwonić pod numer-of-nonzeros funkcja L 0 normę, nawiązując do zapisu na przestrzeni Lebesgue'a z funkcji mierzalnych .
Nieskończone wymiary
Uogólnienie powyżej norm do nieskończonej liczby składników prowadzi do ℓ s i l s przestrzeni , z normami
dla sekwencji o wartościach zespolonych i funkcji na odpowiednio, które można dalej uogólniać (patrz miara Haara ).
Każdy produkt wewnętrzny w naturalny sposób wprowadza normę
Inne przykłady nieskończenie wymiarowych znormalizowanych przestrzeni wektorowych można znaleźć w artykule o przestrzeni Banacha .
Normy złożone
Inne normy można skonstruować łącząc powyższe; na przykład
Dla dowolnej normy i dowolnej iniektywnej transformacji liniowej A możemy zdefiniować nową normę x równą
W 3D jest to podobne, ale inne dla normy 1-norma ( oktaedry ) i norma maksymalna ( pryzmaty o podstawie równoległoboku).
Istnieją przykłady norm, które nie są definiowane przez formuły „entrywise”. Na przykład funkcjonał Minkowskiego w centralnie symetrycznym wypukłym ciele (wyśrodkowanym na zero) definiuje normę na (patrz § Klasyfikacja półnorm: absolutnie wypukłe zbiory absorbujące poniżej).
Wszystkie powyższe wzory dają również normy bez modyfikacji.
Istnieją również normy dotyczące przestrzeni macierzy (z wpisami rzeczywistymi lub złożonymi), tzw. normy macierzowe .
W algebrze abstrakcyjnej
Niech E będzie skończonym rozszerzeniem ciała k o nierozłącznym stopniu p μ , i niech k ma domknięcie algebraiczne K . Jeżeli różne zanurzeń z E są { σ j } j , a następnie Galois-theoretic normą elementu alfa ∈ E jest wartością W tej funkcji jest jednorodna stopnia [ e : k ] The Galois-theoretic norma jest normą w rozumieniu tego artykułu. Natomiast [ E : k ] -ty korzeń normy (zakładając, że pojęcie ma sens) jest normą.
Algebry kompozycji
Pojęcie normy w algebrach kompozycji jest nie udostępniać zwykłe właściwości normy, które mogą być ujemne lub zero Z ≠ kompozycji 0. Algebra ( , * N ) składa się z Algebra na polu A , w inwolucji * , oraz kwadratową formę, która jest nazywana „normą”.
Charakterystyczną cechą algebrach skład jest homomorfizm własność N : dla produktu wz dwóch elementów W i Z kompozycji algebraiczną ich spełnia normą W i O normą kompozycja Algebra jest kwadratem z normą omówiono powyżej. W tych przypadkach normą jest określona forma kwadratowa . W innych algebrach składowych normą jest izotropowa forma kwadratowa .
Nieruchomości
Dla każdej normy na przestrzeni wektorowej odwrotnej nierówność trójkąta posiada:
Dla norm L p mamy nierówność Höldera
Równorzędność
Pojęcie okręgu jednostkowego (zbiór wszystkich wektorów normy 1) jest różne w różnych normach: dla 1 normy okręgiem jednostkowym jest kwadrat , dla 2 normy (norma euklidesowa) jest to dobrze znany koło jednostkowe , natomiast dla normy nieskończoności jest to inny kwadrat. Dla każdej normy p jest to superelipsa z przystającymi osiami (patrz załączona ilustracja). Ze względu na definicję normy koło jednostkowe musi być wypukłe i centralnie symetryczne (dlatego np. kula jednostkowa może być prostokątem, ale nie może być trójkątem, a dla normy
p ).Jeśli chodzi o przestrzeń wektorową, seminorma definiuje topologię w przestrzeni, a jest to topologia Hausdorffa dokładnie wtedy, gdy seminorma może rozróżniać różne wektory, co ponownie jest równoważne z tym, że seminorma jest normą. Tak zdefiniowaną topologię (przez normę lub półnormę) można rozumieć zarówno w kategoriach ciągów, jak i zbiorów otwartych. Sekwencji wektorów mówi się, że
są zbieżne z normą jeśli jako równoważnie topologia obejmuje wszystkie zestawy, które mogą być reprezentowane jako związek otwartych kulek . Jeśli jest przestrzenią unormowaną, toNazywa się dwie normy i na przestrzeni wektorowejrównoważne, jeśli indukują tę samą topologię, co dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dodatnie liczby rzeczywisteCiDtakie, że dla wszystkich
W szczególności,
Normy równoważne definiują te same pojęcia ciągłości i zbieżności i z wielu powodów nie muszą być rozróżniane. Ściślej rzecz ujmując, jednolita struktura określona przez równoważne normy na przestrzeni wektorowej jest jednostajnie izomorficzna .
Klasyfikacja półnorm: absolutnie wypukłe zbiory pochłaniające
Wszystkie seminorms na polu wektorowym może być sklasyfikowane według
całkowicie wypukła absorbujący podzbiory A w każdej takiej podgrupa odpowiada w seminorm p nazywane jest miernik z A , określony jakoKażda lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa ma bazę lokalną składającą się ze zbiorów absolutnie wypukłych. Powszechnym sposobem konstruowania takiej podstawy jest użycie rodziny ( p ) z seminorms p że punkty oddziela : Zbiór wszystkich ograniczonych przecięcia zbiorów { P <1 / N } obraca przestrzeń w lokalnie wypukłej topologicznej wektora przestrzeni tak, że każde p jest ciągłe .
Taka metoda jest używana do projektowania słabych i słabych* topologii .
normalny przypadek:
- Załóżmy teraz , że ( p ) zawiera pojedyncze p : ponieważ ( p ) oddziela , p jest normą i jest jej otwartą
- Odwrotność jest zasługą Andrieja Kołmogorowa : każda lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona topologiczna przestrzeń wektorowa jest normalna . Dokładnie:
- Jeśli jest absolutnie wypukłym ograniczonym sąsiedztwem 0, miernika (więc to jest norma).
Zobacz też
- Norma asymetryczna – Uogólnienie pojęcia normy
- F-seminorma
- Norma Gowersa
- Odległość Mahalanobisa
- Wielkość (matematyka)
- Norma macierzowa – Norma na przestrzeni wektorowej macierzy
- Odległość Minkowskiego
- Funkcjonalny Minkowskiego
- Norma operatora – Miara „rozmiaru” operatorów liniowych
- Paranorma
- Relacja norm i metryk
- Półnorma
- Funkcja podliniowa
Bibliografia
Bibliografia
- Bourbaki, Nicolas (1987) (1981). Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elementy matematyczne . 2 . Przetłumaczone przez Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Khaleelulla, SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki do wykładu z matematyki . 936 . Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-11565-6.