Koło Forda - Ford circle
W matematyce , A koło Ford jest okrąg o środku w i promienia , gdzie jest frakcja nierozkładalny IE i są względnie pierwsze całkowitymi . Każdy okrąg Forda jest styczny do osi poziomej, a dowolne dwa okręgi Forda są styczne lub rozłączne od siebie.
Historia
Okręgi Forda są szczególnym przypadkiem wzajemnie stycznych okręgów; linia bazowa może być traktowana jako okrąg o nieskończonym promieniu. Układy wzajemnie stycznych okręgów badał Apoloniusz z Perge , od którego nazwano problem Apoloniusza i uszczelki apollińskiej . W XVII wieku René Descartes odkrył twierdzenie Kartezjusza , związek między odwrotnościami promieni wzajemnie stycznych okręgów.
Kręgi Forda pojawiają się również w Sangaku (łamigłówkach geometrycznych) japońskiej matematyki . Typowy problem, który został przedstawiony na tabliczce z 1824 roku w prefekturze Gunma , dotyczy relacji trzech dotykających się kręgów ze wspólną tangensą . Biorąc pod uwagę rozmiar dwóch zewnętrznych dużych okręgów, jaki jest rozmiar małego okręgu między nimi? Odpowiedź jest odpowiednikiem koła Forda:
Kręgi Forda zostały nazwane na cześć amerykańskiego matematyka Lestera R. Forda seniora , który napisał o nich w 1938 roku.
Nieruchomości
Okrąg Forda powiązany z ułamkiem jest oznaczony przez lub Istnieje koło Forda związane z każdą liczbą wymierną . Ponadto linia jest liczona jako okrąg Forda - można ją traktować jako okrąg Forda związany z nieskończonością , tak jest w przypadku
Dwa różne okręgi Forda są rozłączne lub styczne do siebie. Żadne dwa wnętrza okręgów Forda nie przecinają się, mimo że istnieje okrąg Forda styczny do osi x w każdym jego punkcie o wymiernych współrzędnych. Jeśli jest między 0 a 1, okręgi Forda, do których są styczne, można opisać różnie jako
- kręgi, w których
- okręgi związane z ułamkami, które są sąsiadami w jakiejś sekwencji Fareya , lub
- okręgi, w których znajduje się następny większy lub następny mniejszy przodek w drzewie Sterna-Brocota lub gdzie znajduje się następny większy lub następny mniejszy przodek .
Jeśli i są dwoma stycznymi okręgami Forda, wówczas okrąg przechodzący przez i (współrzędne x środków okręgów Forda) i który jest prostopadły do -osi (której środek znajduje się na osi x) również przechodzi przez punkt, w którym oba okręgi są do siebie styczne.
Okręgi Forda można również traktować jako krzywe na płaszczyźnie złożonej . Modułowy grupę przekształceń płaszczyzny zespolonej odwzorowuje Ford koła do innych kręgów Forda.
Okręgi Forda to podzbiór okręgów w uszczelce apollińskiej generowanych przez linie i oraz okrąg
Interpretując górną połowę płaszczyzny zespolonej jako model płaszczyzny hiperbolicznej (model półpłaszczyzny Poincarégo ), okręgi Forda można interpretować jako horocykle . W geometrii hiperbolicznej przystające są dowolne dwa horocykle . Kiedy te horocycles są ograniczone przez apeirogons one płytek hiperboliczny samolot z zamówień 3 apeirogonal kafli .
Ostatnim pytaniem egzaminu 2015A AMC jest znalezienie sumy odwrotności obwodów kół Forda.
Całkowita powierzchnia okręgów Forda
Istnieje związek między obszarze Ford okręgi, funkcja totient Eulera z funkcją zeta Riemanna i stała apéry'ego Ponieważ żadne dwa okręgi przecinają się Ford, wynika natychmiast, że łącznej powierzchni kręgów Ford
jest mniejsza niż 1. W rzeczywistości całkowita powierzchnia tych okręgów Forda jest określona jako zbieżna suma, którą można oszacować. Z definicji obszar ten jest
Upraszczając to wyrażenie daje
gdzie ostatnia równość odzwierciedla funkcję generującą Dirichleta dla funkcji totalnej Eulera Ponieważ ostatecznie się to stanie
Należy zauważyć, że zgodnie z konwencją poprzednie obliczenia wykluczyły okrąg o promieniu odpowiadający ułamkowi . Obejmuje pełne koło dla , którego połowa leży poza przedziałem jednostkowym, stąd suma jest nadal ułamkiem kwadratu jednostkowego pokrytego okręgami Forda.
Kule Forda (3D)
Pojęcie okręgów Forda można uogólnić od liczb wymiernych do wymiernych Gaussa , dając sfery Forda. W tej konstrukcji liczby zespolone są osadzone jako płaszczyzna w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , a dla każdego racjonalnego punktu Gaussa na tej płaszczyźnie konstruuje się sferę styczną do płaszczyzny w tym punkcie. Dla racjonalnej Gaussa przedstawiony w najniższych warunkach jak średnica tej dziedzinie powinno być w którym oznacza sprzężoną liczbę zespoloną o . Powstałe sfery są styczne dla par Gaussa wymiernych i z , a w przeciwnym razie nie przecinają się wzajemnie.
Zobacz też
- Uszczelka apollińska - fraktal z nieskończonymi wzajemnie stycznymi okręgami w okręgu zamiast na linii
- Łańcuch Steinera
- Łańcuch Pappus
Bibliografia
Zewnętrzne linki
- Touching Circles Forda w miejscu cięcia węzła
- Weisstein, Eric W. „Ford Circle” . MathWorld .
- Bonahon, Francis . „Śmieszne frakcje i kręgi Forda” (film na YouTube) . Brady Haran . Źródło 9 czerwca 2015 r .