Model półpłaszczyzny Poincaré - Poincaré half-plane model

W geometrii nieeuklidesowej model półpłaszczyzny Poincarégo jest górną półpłaszczyzną , oznaczoną poniżej jako H , wraz z metryką , metryką Poincarégo , co czyni go modelem dwuwymiarowej geometrii hiperbolicznej . ${\ Displaystyle \ {(x, y) | y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \}}$

Równoważnie model półpłaszczyzny Poincarégo jest czasami opisywany jako złożona płaszczyzna, w której część urojona ( wspomniana powyżej współrzędna y ) jest dodatnia.

Model półpłaszczyzny Poincarégo został nazwany na cześć Henri Poincaré , ale pochodzi od Eugenio Beltramiego , który go użył wraz z modelem Kleina i modelem dysku Poincaré (od Bernharda Riemanna ), aby pokazać, że geometria hiperboliczna była równoznaczna z geometrią euklidesową .

Model ten jest konformalny, co oznacza, że ​​kąty zmierzone w punkcie są takie same w modelu, jak w rzeczywistej płaszczyźnie hiperbolicznej.

Cayley przekształcić zapewnia izometrię pomiędzy modelem półpłaszczyźnie i modelu dysku Poincaré.

Model ten można uogólnić w celu modelowania wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej poprzez zastąpienie liczby rzeczywistej x wektorem w n- wymiarowej euklidesowej przestrzeni wektorowej. ${\ displaystyle n + 1}$

Metryczny

Metryczny modelu na półpłaszczyźnie, jest: ${\ displaystyle \ {\ langle x, y \ rangle | y> 0 \},}$

${\ Displaystyle (ds) ^ {2} = {\ Frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}} {y ^ {2}}}}$

gdzie s mierzy długość wzdłuż (prawdopodobnie zakrzywionej) linii. Te odcinki w płaszczyźnie hiperbolicznej ( geodezyjne dla tego współczynnika tensora, czyli krzywe, które minimalizują odległości) są przedstawione w tym modelu przez kołowymi prostopadła do x -osiowy (połowa kół, których początek znajduje się na x -osiowy) i proste promienie pionowe prostopadłe do osi x .

Obliczanie odległości

Ogólnie odległość między dwoma punktami mierzonymi w tej metryki wzdłuż takiej geodezyjnej wynosi:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {dyst} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) & = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {2y_ {1} y_ {2}}} \ right) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}} {y_ {1} y_ {2}}}} \\ & = 2 \ ln {\ frac {{\ sqrt {{ (x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2}}} + {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ { 1})} ^ {2} + {(y_ {2} + y_ {1})} ^ {2}}}} {2 {\ sqrt {y_ {1} y_ {2}}}}}, \ end {aligned}}}$

gdzie arcosh i arsinh są odwrotnymi funkcjami hiperbolicznymi

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {arsinh} {x} & = \ ln \ lewo (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ prawej), \\\ operatorname {arcosh} { x} & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) && x \ geq 1. \ end {aligned}}}$

Niektóre przypadki specjalne można uprościć:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, y_ {1} \ rangle, \ langle x, y_ {2} \ rangle) = \ lewo | \ ln {\ Frac {y_ {2}} {y_ {1 }}} \ right | = | \ ln (y_ {2}) - \ ln (y_ {1}) |}$ .

${\ displaystyle \ operatorname {dist} \ left (\ langle x_ {1}, y \ rangle, \ langle x_ {2}, y \ rangle \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac { (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2}} {2y ^ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {| x_ {2} -x_ {1 } |} {2y}} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x, r \ rangle, \ langle x \ pm r \ sin \ phi, r \ cos \ phi \ rangle) = \ operatorname {arsinh} \ left (\ tan \ phi \ right) = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {\ cos \ phi}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ phi} {\ cos \ phi} }\dobrze)}$

Innym sposobem obliczenia odległości między dwoma punktami znajdującymi się na (euklidesowym) półokręgu jest:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (AB) = \ left | \ ln \ left ({\ frac {| BA _ {\ infty} || AB _ {\ infty} |} {| AA _ {\ infty} || BB_ { \ infty} |}} \ right) \ right |.}$

gdzie są punkty, w których półokręgi stykają się z linią graniczną i jest długością euklidesową odcinka linii łączącego punkty P i Q w modelu. ${\ displaystyle A _ {\ infty}, B _ {\ infty}}$${\ displaystyle | PQ |}$

Specjalne punkty i krzywe

• Idealne punkty (punkty w nieskończoności) w modelu półpłaszczyzny Poincarégo są dwojakiego rodzaju:

• punkty na osi x i
• jeden urojony punkt, w którym jest idealny punkt, do którego zbiegają się wszystkie proste prostopadłe do osi x . ${\ displaystyle y = \ infty}$

• Linie proste , geodezyjne (najkrótsza ścieżka między zawartymi w niej punktami) są modelowane przez:

• półokręgi, których początek znajduje się na osi x
• proste pionowe promienie prostopadłe do osi x

• Koło (krzywe w równej odległości od punktu centralnego) o środku i promieniu jest modelowane przez: ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle r}$

okrąg ze środkiem i promieniem ${\ Displaystyle (x, y \ cosh (r))}$${\ Displaystyle y \ sinh (r)}$

• Hypercycle (a równoodległej od linii prostej, jego oś) są modelowane przez:

• łuk kołowy, który przecina oś x w tych samych dwóch idealnych punktach co półkole, które modeluje swoją oś, ale pod kątem ostrym lub rozwartym
• prostą, która przecina oś x w tym samym punkcie, co linia pionowa, która modeluje jej oś, ale pod kątem ostrym lub rozwartym .

• Horocycle (krzywa których normalne asymptotycznie zbiegają się w tym samym kierunku, środkowy) jest modelowane przez:

• okrąg styczny do osi x (ale z wyłączeniem idealnego punktu przecięcia, którym jest jej środek)
• prosta równoległa do osi x , w tym przypadku środek jest idealnym punktem w . ${\ displaystyle y = \ infty}$

Streszczenie euklidesowe

Okrąg euklidesowy ze środkiem i promieniem przedstawia: ${\ displaystyle (x_ {e}, y_ {e})}$${\ displaystyle r_ {e}}$

• kiedy okrąg znajduje się całkowicie w półpłaszczyźnie, hiperboliczny okrąg ze środkiem

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {e}, {\ sqrt {y_ {e} ^ {2} -r_ {e} ^ {2}}} \ prawej)}$

i promień

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo ({\ Frac {y_ {e} + r_ {e}} {y_ {e} -r_ {e}}} \ prawej).}$

• kiedy okrąg znajduje się całkowicie wewnątrz półpłaszczyzny i dotyka granicy, horocykl wyśrodkowany wokół idealnego punktu ${\ displaystyle (x_ {e}, 0)}$
• kiedy okrąg przecina prostopadłą granicę z linią hiperboliczną ${\ displaystyle (y_ {e} = 0)}$
• kiedy okrąg przecina nieortogonalną granicę hipercyklu.

Konstrukcje kompasowe i prostoliniowe

Oto, jak można użyć konstrukcji kompasu i prostej w modelu, aby uzyskać efekt podstawowych konstrukcji w płaszczyźnie hiperbolicznej . Na przykład, jak skonstruować półkole w półpłaszczyźnie euklidesowej, która modeluje linię na płaszczyźnie hiperbolicznej przechodzącą przez dwa podane punkty.

Tworzenie linii przechodzącej przez dwa istniejące punkty

Narysuj odcinek linii między dwoma punktami. Skonstruuj prostopadłą dwusieczną segmentu linii. Znajdź punkt przecięcia z osią x . Narysuj okrąg wokół przecięcia, które przechodzi przez podane punkty. Usuń część znajdującą się na osi x lub poniżej .

Lub w szczególnym przypadku, gdy dwa podane punkty leżą na linii pionowej, narysuj tę linię pionową przez dwa punkty i usuń część, która znajduje się na lub poniżej osi x .

Tworzenie okręgu przechodzącego przez jeden punkt ze środkiem w innym punkcie

• Jeśli te dwa punkty nie znajdują się na linii pionowej:

Narysuj linię promieniową (półkole) między dwoma podanymi punktami, tak jak w poprzednim przypadku. Skonstruuj styczną do tej prostej w punkcie innym niż centralny. Upuść prostopadłość od podanego punktu środkowego do osi x . Znajdź przecięcie tych dwóch linii, aby uzyskać środek koła modelu. Narysuj okrąg modelu wokół tego nowego środka i przechodząc przez dany punkt niecentralny.

• Jeśli dwa podane punkty leżą na linii pionowej, a dany środek znajduje się nad drugim podanym punktem:

Narysuj okrąg wokół punktu przecięcia się linii pionowej i osi x przechodzącej przez dany punkt centralny. Narysuj poziomą linię przechodzącą przez punkt inny niż centralny. Skonstruuj styczną do okręgu na jego przecięciu z tą poziomą linią.

Punkt środkowy między przecięciem stycznej z linią pionową a podanym punktem niecentralnym jest środkiem koła modelu. Narysuj okrąg modelu wokół tego nowego środka i przechodząc przez dany punkt niecentralny.

• Jeśli dwa podane punkty leżą na linii pionowej, a dany środek znajduje się poniżej drugiego danego punktu:

Narysuj okrąg wokół punktu przecięcia się linii pionowej i osi x przechodzącej przez dany punkt centralny. Narysuj linię styczną do okręgu, który przechodzi przez dany punkt niecentralny. Narysuj linię poziomą przechodzącą przez ten punkt styczności i znajdź punkt przecięcia z linią pionową.

Punkt środkowy między tym przecięciem a danym punktem niecentralnym jest środkiem okręgu modelu. Narysuj okrąg modelu wokół tego nowego środka i przechodząc przez dany punkt niecentralny.

Biorąc pod uwagę okrąg, znajdź jego (hiperboliczny) środek

Upuść prostopadłe p od euklidesowego środka koła do osi x .

Niech punkt q będzie przecięciem tej prostej i osi x .

Narysuj linię styczną do okręgu przechodzącego przez q .

Narysuj półkole h ze środkiem q przechodzącym przez punkt, w którym spotykają się styczna i okrąg.

Centrum (hiperboliczne) to punkt, w którym przecinają się h i p .

Inne konstrukcje

• Tworzenie punktu będącego przecięciem dwóch istniejących linii, jeśli się przecinają:

Znajdź przecięcie dwóch podanych półkoli (lub linii pionowych).

• Tworzenie jednego lub dwóch punktów na przecięciu prostej i okręgu (jeśli się przecinają):

Znajdź przecięcie danego półkola (lub linii pionowej) z podanym okręgiem.

• Tworzenie jednego lub dwóch punktów na przecięciu dwóch okręgów (jeśli się przecinają):

Znajdź przecięcie dwóch podanych okręgów.

Grupy symetrii

Rzutowa grupę liniową PGL (2 C ) działa w dziedzinie Riemanna przez transformacje MöBIUS . Podgrupą, która odwzorowuje górną półpłaszczyznę, H , na samą siebie, jest PSL (2, R ), transformaty z rzeczywistymi współczynnikami, które działają przejściowo i izometrycznie na górnej półpłaszczyźnie, czyniąc ją jednorodną przestrzenią .

Istnieją cztery blisko spokrewnione grupy Liego, które działają w górnej półpłaszczyźnie poprzez ułamkowe transformacje liniowe i zachowują hiperboliczną odległość.

• Specjalny liniową grupę SL (2, R ) , które składa się z zestawu 2 x 2 matryc rzeczywiste pozycje których wyznacznikiem równe +1. Zwróć uwagę, że wiele tekstów (w tym Wikipedia) często mówi SL (2, R ), kiedy naprawdę mają na myśli PSL (2, R ).
• Grupa S * L (2, R ) składająca się ze zbioru macierzy 2 × 2 z wpisami rzeczywistymi, których wyznacznik jest równy +1 lub −1. Zauważ, że SL (2, R ) jest podgrupą tej grupy.
• Rzutowa specjalny liniową grupę PSL (2, R ) = SL (2, R ) / {± I }, składający się z macierzy w SL (2, R ) modulo plus lub minus macierzą jednostkową.
• Grupa PS ^* L (2, R ) = S ^* L (2, R ) / {± I } = PGL (2, R ) jest ponownie grupą rzutową i znowu modulo plus lub minus macierz tożsamości. PSL (2, R ) jest zawarty jako indeks-dwa normalne podgrupy, drugi coset jest zbiorem macierzy 2 × 2 z wpisami rzeczywistymi, których wyznacznik jest równy −1, modulo plus lub minus identyczność.

Związek tych grup z modelem Poincaré jest następujący:

• Grupa wszystkich izometrycznych z H , czasami określane jako Isom ( H ) jest izomorficzny PS ^* l (2, R ). Obejmuje to zarówno izometrię zachowującą, jak i odwracającą orientację. Mapa odwracania orientacji (mapa lustrzana) to . ${\ displaystyle z \ rightarrow - {\ overline {z}}}$
• Grupa izometrii H zachowujących orientację , czasami oznaczana jako Isom ⁺ ( H ), jest izomorficzna z PSL (2, R ).

Ważnymi podgrupami grupy izometrii są grupy Fuchsa .

Często spotyka się również grupę modułową SL (2, Z ). Ta grupa jest ważna z dwóch powodów. Po pierwsze, jest to grupa symetrii kwadratowej siatki punktów 2x2 . Zatem funkcje okresowe na siatce kwadratowej, takie jak formy modułowe i funkcje eliptyczne , odziedziczą w ten sposób symetrię SL (2, Z ) z siatki. Po drugie, SL (2, Z ) jest oczywiście podgrupą SL (2, R ), a zatem ma wbudowane zachowanie hiperboliczne. W szczególności SL (2, Z ) można zastosować do mozaikowania płaszczyzny hiperbolicznej na komórki o równej powierzchni (Poincaré).

Symetria izometryczna

Działanie grupę o rzutowej specjalnej grupy liniowego na jest określona ${\ Displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ koniec {pmatrix}} \ cdot Z = {\ Frac {az + b} {cz + d}} = {\ Frac {(ac | z | ^ {2} + bd + (ad + bc) \ Re (z)) + i (ad-bc) \ Im (z)} {| cz + d | ^ {2}}}.}$

Zauważ, że akcja jest przechodnia : dla każdego istnieje taka, że . Jest również wierny w tym, że jeśli dla wszystkich, to g = e . ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle gz_ {1} = z_ {2}}$${\ displaystyle gz = z}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H},}$

Stabilizator lub izotropowość podgrupa elementu jest zestaw , który pozostawia z niezmienione gz = oo . Stabilizatorem i jest grupa rotacyjna${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle g \ in {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle {\ rm {SO}} (2) = \ lewo. \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} \ cos \ theta i \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \\ \ end {pmatrix}} \ right | \ theta \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Ponieważ dowolny element jest odwzorowywany na i przez jakiś element , oznacza to, że podgrupa izotropii dowolnego z jest izomorficzna do SO (2). Zatem . Alternatywnie, wiązka wektorów stycznych o długości jednostki w górnej półpłaszczyźnie, nazywana wiązką stycznych jednostkowych , jest izomorficzna z . ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} = {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R}) / {\ rm {SO}} (2)}$${\ Displaystyle {\ rm {PSL}} (2, \ mathbb {R})}$

Górna półpłaszczyzna jest mozaikowana w swobodne regularne zbiory przez grupę modułową ${\ Displaystyle {\ rm {SL}} (2, \ mathbb {Z}).}$

Geodezja

Geodezja dla tego metrycznego tensora to łuki kołowe prostopadłe do osi rzeczywistej (półokręgi, których początek znajduje się na osi rzeczywistej) i proste pionowe linie kończące się na osi rzeczywistej.

Geodezyjna prędkość jednostkowa idąca pionowo w górę, przez punkt i jest określona przez

${\ Displaystyle \ gamma (t) = {\ początek {pmatrix} e ^ {t / 2} i 0 \\ 0 i e ^ {- t / 2} \\\ koniec {pmatrix}} \ cdot i = czyli ^ {t} .}$

Ponieważ PSL (2, R ) działa przejściowo przez izometrie górnej półpłaszczyzny, ta geodezyjna jest odwzorowywana na inne geodezyjne poprzez działanie PSL (2, R ). Zatem ogólna wartość geodezyjna prędkości jednostki jest określona przez

${\ Displaystyle \ gamma (t) = {\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ koniec {pmatrix}} {\ początek {pmatrix} e ^ {t / 2} i 0 \\ 0 i e ^ {- t / 2 } \\\ end {pmatrix}} \ cdot i = {\ frac {aie ^ {t} + b} {cie ^ {t} + d}}.}$

Stanowi to podstawowy opis przepływu geodezyjnego na wiązce stycznej o długości jednostki (wiązka złożonej linii ) w górnej półpłaszczyźnie. Zaczynając od tego modelu, można uzyskać przepływ na dowolnych powierzchniach Riemanna , jak opisano w artykule na temat przepływu Anosowa .

Model w trzech wymiarach

Metryczny modelu na wpół przestrzeni

${\ Displaystyle \ {\ langle x, y, z \ rangle | z> 0 \} \,}$

jest dany przez

${\ Displaystyle (ds) ^ {2} = {\ Frac {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} + (dz) ^ {2}} {Z ^ {2}}} \,}$

gdzie s mierzy długość wzdłuż prawdopodobnie zakrzywionej linii. Te odcinki w hiperbolicznej przestrzeni ( geodezyjne tej metryki tensora czyli krzywe, które minimalizują odległości) są przedstawione w tym modelu przez kołowymi prostopadłym do z = 0 -plane (połowa kół, których początek znajduje się przy z = 0 - płaszczyzna) i proste pionowe promienie prostopadłe do płaszczyzny z = 0 .

Odległość między dwoma punktami w tej metryki mierzona wzdłuż takiej geodezyjnej jest:

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1}, z_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {( z_ {2} -z_ {1})} ^ {2}} {2z_ {1} z_ {2}}} \ right) = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {{(x_ {2} -x_ {1})} ^ {2} + {(y_ {2} -y_ {1})} ^ {2} + {(z_ {2} -z_ {1})} ^ {2} }} {2 {\ sqrt {z_ {1} z_ {2}}}}} \ right) \ ,.}$

Model w n wymiarach

Model ten można uogólnić w celu modelowania wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej poprzez zastąpienie liczby rzeczywistej x wektorem w n- wymiarowej euklidesowej przestrzeni wektorowej. ${\ displaystyle n + 1}$

Zobacz też

Bibliografia

Uwagi

Źródła