Kohomologia Galois - Galois cohomology

W matematyce , Galois cohomology jest badanie kohomologiami grupowej z modułów Galois , który jest stosowanie homologicznej algebry do modułów dla grup Galois . Grupa Galois G powiązana z rozszerzeniem pola L / K działa w naturalny sposób na niektóre grupy abelowe , na przykład te skonstruowane bezpośrednio z L , ale także poprzez inne reprezentacje Galois, które można wyprowadzić bardziej abstrakcyjnymi sposobami. Kohomologia Galois wyjaśnia sposób, w jaki przyjmowanie elementów niezmienniczych Galois nie jest dokładnym funktorem .

Historia

Obecna teoria kohomologii Galois powstała około 1950 roku, kiedy zdano sobie sprawę, że kohomologia Galois idealnych grup klas w algebraicznej teorii liczb była jednym ze sposobów sformułowania teorii pola klas , w czasie gdy była w trakcie pozbycia się połączeń z Funkcje L . Kohomologia Galois nie zakłada, że ​​grupy Galois są grupami abelowymi, więc była to teoria nieabelowa . Została sformułowana abstrakcyjnie jako teoria tworzenia klas . Dwa wydarzenia lat 60. zmieniły sytuację. Po pierwsze, kohomologia Galois pojawiła się jako podstawowa warstwa teorii kohomologii étale (z grubsza rzecz biorąc, teoria w odniesieniu do schematów zerowych). Po drugie, nieabelowa teoria pola została wprowadzona jako część filozofii Langlandsa .

Najwcześniejsze wyniki identyfikowalne jako kohomologia Galois były znane już dawno w algebraicznej teorii liczb i arytmetyce krzywych eliptycznych . Normalnym trybie tw powoduje, że pierwsza grupa kohomologie w dodatku grupę o L zniknie; jest to wynik ogólnych rozszerzeń pola, ale był znany w jakiejś formie Richardowi Dedekindowi . Odpowiedni wynik dla grupy multiplikatywnej jest znany jako Twierdzenie Hilberta 90 i był znany przed 1900 rokiem. Teoria Kummera była kolejną tak wczesną częścią teorii, podając opis homomorfizmu łączącego pochodzącego z m- tej potęgi mapy .

W rzeczywistości przez pewien czas multiplikatywny przypadek 1- kocyklu dla grup, które niekoniecznie są cykliczne, został sformułowany jako rozpuszczalność równań Noether , nazwanych na cześć Emmy Noether ; pojawiają się pod tą nazwą w ujęciu teorii Galois przez Emila Artina i mogły być folklorem w latach dwudziestych. Przypadek 2-kocykli dla grupy multiplikatywnej to przypadek grupy Brauera , a implikacje wydają się być dobrze znane algebraistom w latach 30. XX wieku.

W innym kierunku, torsorów , były już zawarte w nieskończonych argumentach Fermata o krzywych eliptycznych . Liczne bezpośrednie Obliczenia przeprowadzono, a dowodem Mordell'a-Weil twierdzenie musiał przejść przez pewien zastępczą z skończoności dowód dla konkretnego H ¹ grupy. „Skręcony” charakter obiektów nad ciałami, które nie są algebraicznie domknięte , które nie są izomorficzne, ale stają się takie po domknięciu algebraicznym , był również znany w wielu przypadkach w połączeniu z innymi grupami algebraicznymi (np. formy kwadratowe , proste algebry , Severi-Brauer odmian ), w latach 30., zanim pojawiła się ogólna teoria.

Potrzeby teorii liczb zostały w szczególności wyrażone przez wymóg kontrolowania zasady lokalno -globalnej dla kohomologii Galois. Zostało to sformułowane za pomocą wyników teorii pola klas, takich jak twierdzenie Hassego o normach . W przypadku krzywych eliptycznych doprowadziło do kluczowej definicji grupy Tate-Shafarevich w grupie Selmer , który jest przeszkoda dla sukcesu zasadzie lokalnej globalnej. Pomimo ogromnego znaczenia, na przykład w hipotezie Bircha i Swinnertona-Dyera , bardzo trudno było nad nią zapanować, dopóki wyniki Karla Rubina nie pozwoliły wykazać w niektórych przypadkach, że jest skończony (wynik powszechnie uważany, ponieważ jego przypuszczalny porządek został przewidziany przez wzór funkcji L).

Innym ważnym rozwinięciem teorii, również z udziałem Johna Tate'a, był wynik dualizmu Tate-Poitou .

Technicznie rzecz biorąc, G może być grupą nieskończoną , w takim przypadku definicje muszą być dostosowane, aby umożliwić tylko ciągłe łańcuchy.

Bibliografia

• Serre, Jean-Pierre (2002), cohomology Galois , Springer Monographs in Mathematics , przekład z francuskiego przez Patricka Iona , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, MR  1867431 , Zbl  1004.12003, przekład Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
• Milne, James S. (2006), twierdzenia o dualności arytmetycznej (2nd ed.), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6, MR  2261462 , Zbl  1127.14001
• Neukirch, Jürgen ; Schmidta, Aleksandra; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196 , Zbl  0948.11001