Rozszerzenie Galois - Galois extension

W matematyce , A przedłużenie Galois jest algebraiczna rozszerzenie ciała E / M , który jest normalny i oddzielić ; lub równoważnie E / C jest algebraiczne i pola ustalona przez grupę automorfizm Aut ( E / F ) jest właśnie podstawą pole F . Znaczenie bycia rozszerzeniem Galois polega na tym, że rozszerzenie ma grupę Galois i jest zgodne z podstawowym twierdzeniem teorii Galois .

Wynik Emila Artina pozwala skonstruować rozszerzenia Galois w następujący sposób: Jeśli E jest danym ciałem, a G jest skończoną grupą automorfizmów E o stałym ciele F , to E / F jest rozszerzeniem Galois.

Charakterystyka rozszerzeń Galois

Ważne twierdzenie Emila Artina mówi, że dla skończonego rozszerzenia każde z poniższych zdań jest równoważne zdaniu, które jest Galois: ${\displaystyle E/F}$${\ Displaystyle E/F}$

• ${\ Displaystyle E/F}$jest rozszerzeniem normalnym i rozszerzeniem rozdzielnym .
• ${\ Displaystyle E}$jest podział na pola o rozłącznie wielomianu ze współczynników${\ Displaystyle F.}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F]}$to znaczy liczba automorfizmów jest równa stopniowi rozszerzenia.

Inne równoważne oświadczenia to:

• Każdy nieredukowalny wielomian in z co najmniej jednym pierwiastkiem in rozszczepia się i jest rozdzielny.${\displaystyle F[x]}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],}$ to znaczy liczba automorfizmów jest co najmniej stopniem rozszerzenia.
• ${\ Displaystyle F}$ jest stałym polem podgrupy ${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (E).}$
• ${\ Displaystyle F}$ jest stałym polem ${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (E/F).}$
• Istnieje zależność jeden do jednego między podpólami i podgrupami${\ Displaystyle E/F}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (E/F).}$

Przykłady

Istnieją dwa podstawowe sposoby tworzenia przykładów rozszerzeń Galois.

• Weź dowolne pole , dowolną podgrupę i niech będzie polem stałym.${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Aut} (E)}$${\ Displaystyle F}$
• Weźmy dowolne ciało , dowolny rozłączny wielomian w , i niech będzie jego ciałem dzielącym .${\ Displaystyle F}$${\displaystyle F[x]}$${\ Displaystyle E}$

Przylegający do pola liczbą wymierną pierwiastek kwadratowy z 2 daje Rozszerzenie Galois, a przylegający do pierwiastka sześciennego 2 daje rozszerzenie non-Galois. Oba te rozszerzenia są rozłączne, ponieważ mają charakterystyczne zero . Pierwszym z nich jest pole podziału ; drugie ma normalne zamknięcie, które zawiera złożone sześcienne pierwiastki jedności , a więc nie jest polem dzielącym. W rzeczywistości nie ma on automorfizmu innego niż tożsamość, ponieważ zawiera się w liczbach rzeczywistych i ma tylko jeden prawdziwy pierwiastek. Więcej szczegółowych przykładów można znaleźć na stronie poświęconej fundamentalnemu twierdzeniu teorii Galois . ${\ Displaystyle x ^ {2}-2}$${\ Displaystyle x ^ {3}-2}$

Algebraiczne zamknięcie z dowolnej dziedzinie jest Galois w ciągu tylko wtedy, gdy jest to idealne pole . ${\ Displaystyle {\ bar {K}}}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

Uwagi

Cytaty

Bibliografia

Dalsza lektura