Huai-Dong Cao - Huai-Dong Cao

Huai-Dong Cao
Tradycyjne chińskie 曹懷東
Chiński uproszczony 曹怀东

Huai-Dong Cao (ur. 8 listopada 1959 w Jiangsu ) jest chińsko-amerykańskim matematykiem. Jest profesorem matematyki A. Everetta Pitcher na Uniwersytecie Lehigh . Znany jest ze swojego wkładu badawczego w przepływ Ricciego , temat z dziedziny analizy geometrycznej .

Historia akademicka

Cao otrzymał tytuł BA

z Uniwersytetu Tsinghua w 1981 r.

i jego doktorat. z Princeton University w 1986 pod kierunkiem Shing-Tung Yau .

Cao jest byłym zastępcą dyrektora Instytutu Matematyki Czystej i Stosowanej (IPAM) na UCLA. Był profesorem wizytującym na MIT, Uniwersytecie Harvarda, Instytucie Isaaca Newtona, Instytucie Maxa-Plancka, IHES, ETH Zurich oraz Uniwersytecie w Pizie. Od 2003 roku jest redaktorem naczelnym Journal of Differential Geometry . Jego nagrody i wyróżnienia obejmują:

Wkłady matematyczne

Przepływ Kählera-Ricciego

W 1982 r. Richard S. Hamilton przedstawił przepływ Ricciego , udowadniając nowe, dramatyczne twierdzenie o geometrii trójwymiarowych rozmaitości . Cao, który właśnie rozpoczął pracę doktorską. pod kierunkiem Shing-Tung Yau , zaczął badać przepływ Ricciego w otoczeniu rozmaitości Kählera . W swoim doktoracie Teza, opublikowana w 1985 roku, wykazał, że szacunki Yau w rozwiązaniu hipotezy Calabiego można zmodyfikować do kontekstu przepływu Kählera-Ricciego, aby udowodnić twierdzenie o zbieżności podobne do oryginalnego wyniku Hamiltona. Stanowiło to również paraboliczną alternatywę dla metody ciągłości Yau w dowodzie hipotezy Calabiego, chociaż wiele prac technicznych w dowodach jest podobnych.

Praca Perelmana nad przepływem Ricciego

Po sugestii Yau, że przepływ Ricci mogłyby zostać wykorzystane do udowodnienia William Thurston „s geometryzację przypuszczenie , Hamilton rozwinął teorię w ciągu następnych dwóch dekad. W 2002 i 2003 roku Grisha Perelman wysłał dwa artykuły do arXiv, w których twierdził, że poprzez przepływ Ricciego przedstawił dowód hipotezy geometryzacyjnej. Dodatkowo zamieścił trzeci artykuł, w którym podał skrót do dowodu słynnej hipotezy Poincarégo , dla której wyniki w drugiej połowie drugiego artykułu były niepotrzebne. Artykuły Perelmana zostały natychmiast uznane za dające godne uwagi nowe wyniki w teorii przepływu Ricciego, chociaż wielu matematyków nie było w stanie w pełni zrozumieć szczegółów technicznych niektórych niezwykle złożonych lub zwięzłych sekcji w jego pracy.

Bruce Kleiner z Yale University i John Lott z University of Michigan zaczęli publikować w sieci adnotacje dwóch pierwszych artykułów Perelmana w 2003 roku, dodając je i modyfikując w ciągu następnych kilku lat. Wyniki tej pracy zostały opublikowane w czasopiśmie naukowym w 2008 roku. Cao współpracował z Xi-Ping Zhu z Uniwersytetu Zhongshan , publikując w 2006 roku ekspozycję prac Hamiltona i pierwszych dwóch artykułów Perelmana, wyjaśniając je w kontekście literatury matematycznej na temat analiza geometryczna . John Morgan z Columbia University i Gang Tian z Princeton University opublikowali w 2007 roku książkę na temat pierwszego i trzeciego artykułu Perelmana oraz pierwszej połowy drugiego artykułu; później opublikowali drugą książkę o drugiej połowie drugiej gazety Perelmana.

Streszczenie artykułu Cao i Zhu stwierdza:

W tym artykule przedstawiamy kompletny dowód hipotez Poincaré i geometryzacji. Praca ta opiera się na akumulacyjnych pracach wielu analityków geometrycznych w ciągu ostatnich trzydziestu lat. Dowód ten należy uznać za ukoronowanie teorii przepływu Ricciego Hamiltona-Perelmana.

z początkiem wstępu

W niniejszym artykule przedstawimy teorię przepływu Ricciego Hamiltona-Perelmana. Na tej podstawie przedstawimy pierwszy pisemny opis pełnego dowodu hipotezy Poincarégo i hipotezy geometryzacyjnej Thurstona. Podczas gdy cała praca jest skumulowanym wysiłkiem wielu analityków geometrycznych, głównymi wkładami są bez wątpienia Hamilton i Perelman.

Niektórzy obserwatorzy uważali, że Cao i Zhu zawyżali wartość swojego artykułu. Dodatkowo okazało się, że kilka stron artykułu Cao i Zhu było podobnych do tych z artykułu Kleinera i Lotta, co doprowadziło do oskarżeń o plagiat. Cao i Zhu powiedzieli, że w 2003 roku zrobili notatki na temat tego fragmentu pracy Perelmana z wczesnych postów Kleinera i Lotta, i że jako przypadkowe przeoczenie nie zdali sobie sprawy z źródła tych notatek, pisząc swój artykuł w 2005 roku. opublikowali poprawioną wersję swojego artykułu w arXiv w grudniu 2006 roku.

Gradientowe solitony Ricciego

Gradientu Ricci soliton składa się Riemanna kolektora ( M , g ) oraz funkcja f o M w taki sposób, Ric g + Hess g K jest stałą wielokrotnością g . W szczególnym przypadku, gdy M ma strukturę złożoną, g jest metryką Kählera , a gradient f jest holomorficznym polem wektorowym, mamy gradient solitonu Kählera-Ricciego . Soltony Ricciego są czasami uważane za uogólnienia metryk Einsteina , co odpowiada przypadkowi f = 0 . Znaczenie gradientowych solitonów Ricciego dla teorii przepływu Ricciego zostało po raz pierwszy uznane przez Hamiltona we wpływowym artykule z 1995 roku. W analizie Perelmana szczególnie ważne są gradientowe solitony Ricciego, w których stała wielokrotność jest dodatnia; są to tak zwane solitony Ricciego kurczące się gradientowo . Badanie Cao z 2010 roku dotyczące solitonów Ricciego było szeroko cytowane.

W 1996 Cao badał gradient solitonów Kählera-Ricciego pod kątem symetrii obrotowej, tak że równanie solitonowe Ricciego sprowadza się do analizy ODE . Wykazał, że dla każdego dodatniego n istnieje gradient solitonu Kählera -Ricciego na ℂ n, który jest obrotowo symetryczny, kompletny i dodatnio zakrzywiony. W przypadku, gdy n jest równe 1, odzyskuje się soliton cygar Hamiltona. Cao wykazał również istnienie gradientowych stałych solitonów Kählera-Ricciego na całkowitej przestrzeni wiązki kanonicznej nad złożoną przestrzenią rzutową, która jest kompletna i obrotowo symetryczna oraz nieujemnie zakrzywiona. Skonstruował zamknięte przykłady gradientów kurczących się solitonów Kählera-Ricciego na rzutowaniu pewnych wiązek liniowych nad złożoną przestrzenią rzutową; te przykłady zostały rozpatrzone niezależnie przez Norihito Koiso. Ansatz Cao i Koiso posunął się dalej we wpływowym artykule Michaiła Feldmana, Toma Ilmanena i Dana Knopfa, a przykłady Cao, Koiso i Feldmana-Ilmanena-Knopfa zostały ujednolicone i rozszerzone w 2011 roku przez Andrew Dancera i McKenzie Wanga.

Korzystając z argumentu Perelmana, Cao i Detang Zhou wykazali, że solitony Ricciego zmniejszające się całkowicie gradientowo mają charakter gaussowski , w tym sensie , że dla dowolnego punktu p z M funkcja f musi rosnąć kwadratowo z funkcją odległości do p . Dodatkowo objętość kul geodezyjnych wokół p może rosnąć co najwyżej wielomianowo wraz z ich promieniem. Szacunki te umożliwiają przeprowadzenie wielu analiz całkowych z całkowicie zmniejszającymi się gradientami solitonów Ricciego, w szczególności pozwalając na użycie e - f jako funkcji wagowej.

Najważniejsze publikacje

  • Cao, Huai Dong. Deformacja metryk Kählera do metryk Kählera-Einsteina na kompaktowych rozmaitościach Kählera. Wymyślać. Matematyka. 81 (1985), nr. 2, 359–372.
  • Cao, Huai-Dong. Istnienie gradientowych solitonów Kählera-Ricciego. Metody eliptyczne i paraboliczne w geometrii (Minneapolis, MN, 1994), 1-16, AK Peters, Wellesley, MA, 1996.
  • Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Kompletny dowód hipotez Poincarégo i geometryzacji — zastosowanie teorii Hamiltona-Perelmana przepływu Ricciego. Azjatycki J. Matematyka. 10 (2006), nr. 2, 165–492.
  • Cao, Huai-Dong. Ostatnie postępy w sprawie solitonów Ricciego. Ostatnie postępy w analizie geometrycznej, 1–38, Adv. Wykł. Matematyka. (ALM), 11, wewn. Press, Somerville, MA, 2010.
  • Cao, Huai-Dong; Zhou, Detang. O całkowitym skróceniu gradientu solitonów Ricciego. J. Geom różniczkowy. 85 (2010), nr. 2, 175–185.

Bibliografia

  1. ^ Hamilton, Richard S. Trzy rozmaitości z dodatnią krzywizną Ricciego. Journal of Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 255-306.
  2. ^ Yau, Szing Tung. O krzywiźnie Ricciego zwartej rozmaitości Kählera i złożonym równaniu Monge'a-Ampère'a. I. Kom. Czysta aplikacja Matematyka. 31 (1978), nr. 3, 339–411.
  3. ^ Perelman, Grisza. Wzór na entropię przepływu Ricciego i jego zastosowania geometryczne. arXiv : matematyka/0211159
  4. ^ Perelman, Grisza. Ricci przepływ z operacją na trzech rozgałęźnikach. arXiv : matematyka/0303109
  5. ^ Perelman, Grisza. Skończony czas ekstynkcji dla roztworów przepływu Ricciego na niektórych trójrozmaitościach. arXiv : matematyka/0307245
  6. ^ Kleiner, Bruce; Lott, John. Notatki o papierach Perelmana. Geom. Topol. 12 (2008), nr. 5, 2587–2855.
  7. ^ Morgan, Jan; Tian, ​​Gang. Przepływ Ricciego i hipoteza Poincarégo. Monografie matematyki gliny, 3. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. XLII+521 s. ISBN  978-0-8218-4328-4
  8. ^ Morgan, Jan; Tian, ​​Gang. Hipoteza geometryzacyjna. Monografie matematyki gliny, 5. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x + 291 s. ISBN  978-0-8218-5201-9
  9. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Errata do: „Kompletny dowód hipotez Poincarégo i geometryzacji — zastosowanie teorii przepływu Ricciego Hamiltona-Perelmana [Asian J. Math. 10 (2006), nr 2, 165–492]. Asian J. Math. 10 (2006), nr 4, 663.
  10. ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. Dowód hipotezy Poincarégo i hipotezy geometryzacyjnej Hamiltona-Perelmana. arXiv : matematyka/0612069
  11. ^ Hamilton, Richard S. Powstawanie osobliwości w przepływie Ricciego. Badania w geometrii różniczkowej, tom. II (Cambridge, MA, 1993), 7-136, wewn. Press, Cambridge, MA, 1995.
  12. ^ Koiso, Norihito. O rotacyjnie symetrycznym równaniu Hamiltona dla metryk Kählera-Einsteina. Ostatnie tematy z geometrii różniczkowej i analitycznej, 327-337, Adv. Stadnina. Pure Math., 18-I, Academic Press, Boston, MA, 1990.
  13. ^ Feldman, Michaił; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan. Obrotowo symetryczne kurczące się i rozszerzające się solitony gradientowe Kählera-Ricciego. J. Geom różniczkowy. 65 (2003), nr. 2, 169-209.
  14. ^ Tancerz, Andrew S.; Wang, McKenzie Y. O solitonach Ricciego o jednorodności jeden. Anny. Globalny Anal. Geom. 39 (2011), nr. 3, 259–292.