Przepływ Ricciego - Ricci flow

W zakresie matematycznym różnicowego geometrii The przepływu Ricci ( / r ı tʃ I / , wł  [rittʃi] ), czasem określane również jako przepływ Ricci Hamiltona , pewna częściowa równanie różniczkowe dla Riemanna metryki . Często mówi się, że jest to analogiczne do dyfuzji ciepła i równania ciepła , ze względu na formalne podobieństwa w matematycznej strukturze równania; jednak wykazuje wiele zjawisk nieobecnych w badaniu równania ciepła. Wiele wyników dla przepływu Ricci zostały również pokazane dla średniego przepływu krzywizny z hiperpowierzchni .

Przepływ Ricciego, nazwany tak ze względu na obecność tensora Ricciego w swojej definicji, został wprowadzony przez Richarda S. Hamiltona , który użył go do udowodnienia trójwymiarowego twierdzenia o kuli ( Hamilton 1982 ). Następujące Shing Tunga Yau sugestię, zgodnie z którym osobliwości roztworów przepływu Ricci może zidentyfikować danych topologicznych przewidywane przez William Thurston jest geometryzację przypuszczeń , Hamilton produkowane liczbę wyników w 1990, które były skierowane do jego rozmiar. W latach 2002 i 2003 Grigori Perelman przedstawił szereg nowych wyników dotyczących przepływu Ricciego, w tym nowy wariant niektórych technicznych aspektów metody Hamiltona ( Perelman 2002 , Perelman 2003a ). Został odznaczony medalem Fieldsa w 2006 roku za wkład w przepływ Ricci, którego odmówił przyjęcia.

Prace Hamiltona i Perelmana są obecnie powszechnie uważane za dowód hipotezy Thurstona, w tym jako szczególny przypadek hipotezy Poincarégo , która była dobrze znanym otwartym problemem w dziedzinie topologii geometrycznej od 1904 roku. Jednak wiele metod Perelmana polegać na wielu wysoce technicznych wynikach z wielu różnych podpól w geometrii różniczkowej, tak że pełny dowód hipotezy Thurstona pozostaje zrozumiały tylko dla bardzo małej liczby matematyków. Dowód hipotezy Poincarégo, dla której istnieją argumenty skrótowe ze względu na Perelmana oraz Tobiasa Coldinga i Williama Minicozziego , jest znacznie szerzej rozumiany ( Perelman 2003b , Colding i Minicozzi 2005 ). Jest uważany za jeden z największych sukcesów matematycznej dziedziny analizy geometrycznej .

Simon Brendle i Richard Schoen rozszerzyli później twierdzenie Hamiltona o sferze do wyższych wymiarów, udowadniając jako szczególny przypadek hipotezę o sferze różniczkowej z geometrii Riemanna , która była otwarta od ponad pięćdziesięciu lat ( Brendle i Schoen 2009 ).

Definicja matematyczna

Na gładkiej rozmaitości M gładka metryka riemannowska g automatycznie wyznacza tensor Ricciego Ric ^g . Dla każdego elementu p z M , g _p jest (z definicji) dodatnio określonym iloczynem skalarnym na przestrzeni stycznej T _p M w p ; jeśli dana jednoparametrowa rodzina metryk riemannowskich g _t , można wtedy rozważyć pochodną∂/tg _t , oceniane przy określonej wartości t , aby przypisać każdemu p symetryczną postać dwuliniową na T _p M . Od Ricci tensora metrycznego a także riemannowska przypisuje każdej p symetryczna forma dwuliniowa na T _p M następująca definicja ma sens.

• Ze względu na gładką kolektora M i otwartą rzeczywisty odstęp ( , b ), A "przepływu Ricci" przypisuje każdej t ∈ ( , b ) ± Riemanna metryki g _T w M , tak że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} g_ {t} = -2 \ operatorname {Ric} ^ {g_ {t}}.}$

Ricci napinacz jest często traktowane jako wartości średniej przekrojów krzywizn lub w postaci algebraicznej śladu do krzywizny tensora Riemanna . Jednak dla analizy przepływu Ricciego niezwykle istotne jest, że tensor Ricciego można zdefiniować we współrzędnych lokalnych za pomocą wzoru algebraicznego obejmującego pierwszą i drugą pochodną tensora metrycznego. Specyficzny charakter tego wzoru stanowi podstawę istnienia Ricci płynie; odpowiedni wynik znajduje się w następnej sekcji.

Niech k będzie liczbą niezerową. Mając przepływ Ricciego g _t na przedziale ( a , b ), rozważ G _t = g _kt dla t pomiędzyza/k i b/k. Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} G_ {t} = -2 k \ operatorname {Ric} ^ {G_ {t}}.}$

Tak więc, przy tej bardzo trywialnej zmianie parametrów, liczbę -2 występującą w definicji przepływu Ricciego można zastąpić dowolną inną liczbą niezerową. Z tego powodu użycie -2 można traktować jako arbitralną konwencję, aczkolwiek taką, za którą podąża w zasadzie każdy artykuł i wykład na temat przepływu Ricciego. Jedyną istotną różnicą jest to, że gdyby -2 zostało zastąpione liczbą dodatnią, wówczas twierdzenie o istnieniu omawiane w następnej sekcji stałoby się twierdzeniem, które wytwarza przepływ Ricciego, który porusza się do tyłu (a nie do przodu) w wartościach parametrów z danych początkowych.

Parametr t jest zwykle nazywany „czasem”, chociaż jest to część standardowej terminologii matematycznej w dziedzinie równań różniczkowych cząstkowych , a nie terminologia mająca znaczenie fizyczne. W rzeczywistości, w standardowej interpretacji teoretycznej pola kwantowego przepływu Ricciego w kategoriach grupy renormalizacji , parametr t odpowiada raczej długości lub energii niż czasowi.

Znormalizowany przepływ Ricciego

Załóżmy, że M jest zwartą, gładką rozmaitością i niech g _t będzie przepływem Ricciego dla t ∈( a , b ). Zdefiniuj Ψ:( a , b )→(0,∞) tak, aby każda z metryk riemannowskich Ψ(t) g _t miała objętość 1; jest to możliwe, ponieważ M jest kompaktowy. (Ogólnie rzecz biorąc, byłoby to możliwe, gdyby każda metryka riemannowska g _t miała skończoną objętość.) Następnie zdefiniuj F :( a , b )→(0,∞) przez

${\ Displaystyle F (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ psi (\ sigma) \ d \ sigma.}$

Ponieważ Ψ ma wartość dodatnią, F jest bijekcją na obrazie (0, S ). Teraz metryki riemannowskie G _s =Ψ( F ⁻¹ ( s )) g _{F ⁻¹ ( s )} , zdefiniowane dla parametrów s ∈(0, S ), spełniają

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy s}} G_ {s} = -2 \ operatorname {Ric} ^ {G_ {s}} + {\ Frac {2} {n}} {\ Frac { \int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s} .}$

Nazywa się to „znormalizowanym równaniem przepływu Ricciego”. Tak więc, przy wyraźnie określonej zmianie skali re i przeparametryzacji wartości parametrów, przepływ Ricciego można przekształcić w znormalizowany przepływ Ricciego. Powodem tego jest to, że główne twierdzenia o zbieżności dla przepływu Ricciego można wygodnie wyrazić w postaci znormalizowanego przepływu Ricciego. Jednak nie jest to konieczne i dla praktycznie wszystkich celów wystarczy rozważyć przepływ Ricciego w jego standardowej formie.

Istnienie i wyjątkowość

Niech będzie gładką zamkniętą rozmaitością i niech g ₀ będzie dowolną gładką metryką Riemanna na . Korzystając z twierdzenia Nasha-Mosera o funkcji uwikłanej , Hamilton (1982) wykazał następujące twierdzenie o istnieniu: ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

• Istnieje liczba dodatnia T i przepływ Ricciego g _t sparametryzowany przez t ∈ (0, T ) taki, że g _t zbiega się do g ₀ w topologii C ^∞, gdy t zmniejsza się do 0.

Pokazał następujące twierdzenie o jednoznaczności:

• Jeśli i są dwoma przepływami Ricciego jak w powyższym twierdzeniu o istnieniu, to dla wszystkich${\ Displaystyle \ {g_ {t}: t \ w (0, T) \}}$${\ Displaystyle \ {{\ widetilde {g}} _ {t}: t \ w (0, {\ widetilde {T}}) \}}$${\ Displaystyle g_ {t} = {\ widetilde {g}} _ {t}}$${\ Displaystyle t \ w (0, \ min \ {T {\ widetilde {T}} \}).}$

Twierdzenie o istnieniu dostarcza jednoparametrowej rodziny gładkich metryk riemannowskich. W rzeczywistości każda taka jednoparametrowa rodzina również płynnie zależy od parametru. Dokładnie, mówi to, że w odniesieniu do dowolnego gładkiego wykresu współrzędnych ( U ,φ) na M , funkcja jest gładka dla dowolnego i , j =1,..., n . ${\ Displaystyle g_ {ij}: U \ razy (0, T) \ do \ mathbb {R}}$

Dennis DeTurck następnie przedstawił dowód powyższych wyników, w którym zamiast tego używa twierdzenia Banacha o funkcji uwikłanej. Jego praca jest zasadniczo prostsza wersja riemannowska Yvonne Choquet-G. Bruhat „s znany dowód i interpretacji dobrego posedness dla równań Einsteina w geometrii lorentzowskiej.

W wyniku Hamiltona istnienie i wyjątkowość twierdzenie, gdy podane dane ( M , g ₀ ), można mówić jednoznacznie o tym Ricci przepływu na M ze wstępnych danych g ₀ , i można wybrać T wziąć na swojej maksymalnej możliwej wartości, który może być nieskończony. Zasada praktycznie wszystkie główne aplikacje Ricci płynąć, zwłaszcza w dowodzie Hipoteza Poincarégo i geometryzację przypuszczeń, jest to, że jako t zbliża tę wartość maksymalną, zachowania metryk g _t może ujawnić i odzwierciedlają głębokie informacji o M .

Twierdzenia o zbieżności

Pełne przedstawienie następujących twierdzeń o zbieżności podano w Andrews & Hopper (2011) i Brendle (2010) .

Niech ( M , g ₀ ) będzie gładko zamkniętą rozmaitością Riemanna. Pod dowolnym z następujących trzech warunków:

• M jest dwuwymiarowy
• M jest trójwymiarowe, a g ₀ ma dodatnią krzywiznę Ricciego
• M ma wymiar większy niż trzy, a metryka produktu na ( M , g ₀ ) × ℝ ma dodatnią krzywiznę izotropową

znormalizowany przepływ Ricciego z danymi początkowymi g ₀ istnieje przez cały czas dodatni i zbiega się płynnie, gdy t zmierza do nieskończoności, do metryki o stałej krzywiźnie.

Wynik trójwymiarowy zawdzięczamy Hamiltonowi (1982) . Dowód Hamiltona, zainspirowany i luźno wzorowany na epokowym artykule Jamesa Eellsa i Josepha Sampsona z 1964 roku na temat zbieżności harmonicznej mapy przepływu ciepła , zawierał wiele nowych cech, takich jak rozszerzenie zasady maksimum na ustawienie symetrycznych 2-tensorów. Jego artykuł (wraz z artykułem Eellsa-Sampsona) należy do najczęściej cytowanych w dziedzinie geometrii różniczkowej. Ekspozycja jego wyników znajduje się w Chow, Lu & Ni (2006 , rozdział 3).

W odniesieniu do sprawdzania, dwuwymiarowy przypadku jest odpowiednio traktowana jako zbiór trzech różnych wyników, po jednym dla każdego z tych przypadków, w których charakterystyka Eulera z M jest dodatnią zero lub ujemne. Jak wykazał Hamilton (1988) , przypadek ujemny jest obsługiwany przez zasadę maksimum, podczas gdy przypadek zerowy jest obsługiwany przez estymacje całkowe; przypadek dodatni jest bardziej subtelny, a Hamilton zajął się przypadkiem podrzędnym, w którym g ₀ ma dodatnią krzywiznę, łącząc prostą adaptację oszacowania gradientu Petera Li i Shing-Tung Yau do przepływu Ricciego wraz z innowacyjnym „oszacowaniem entropii”. W pełni pozytywny przypadek został zademonstrowany przez Bennetta Chow (1991) , jako rozszerzenie technik Hamiltona. Ponieważ każdy Ricci przepływu na dwuwymiarowym kolektor jest ograniczona do jednej klasy konforemny , może być przekształcona w częściowym równania różniczkowego dla funkcji skalarnej w stałej Riemanna kolektora ( M , g ₀ ) . W związku z tym przepływ Ricciego w tym ustawieniu można również badać metodami czysto analitycznymi; odpowiednio, istnieją alternatywne niegeometryczne dowody dwuwymiarowego twierdzenia o zbieżności.

Sprawa wyższego wymiaru ma dłuższą historię. Wkrótce po przełomowym wyniku Hamiltona, Gerhard Huisken rozszerzył swoje metody na wyższe wymiary, pokazując, że jeśli g ₀ ma prawie stałą dodatnią krzywiznę (w sensie małości niektórych składników rozkładu Ricciego ), to znormalizowany przepływ Ricciego płynnie zbiega się do stałej krzywizny . Hamilton (1986) znalazł nowe sformułowanie zasady maksimum w kategoriach pułapkowania przez zbiory wypukłe, które doprowadziło do ogólnego kryterium dotyczącego zbieżności strumienia Ricciego dodatnio zakrzywionych metryk z istnieniem „zestawów ściskania” dla pewnej wielowymiarowej różniczki zwyczajnej równanie . W konsekwencji udało mu się rozstrzygnąć przypadek, w którym M jest czterowymiarowe, a g ₀ ma dodatni operator krzywizny. Dwadzieścia lat później Christoph Böhm i Burkhard Wilking znaleźli nową algebraiczną metodę konstruowania „zbiorów ściskających”, usuwając w ten sposób założenie czterowymiarowości z wyniku Hamiltona ( Böhm i Wilking 2008 ). Simon Brendle i Richard Schoen wykazali, że dodatniość krzywizny izotropowej jest utrzymywana przez przepływ Ricciego na zamkniętej rozmaitości; Stosując metodę Böhma i Wilkinga, byli w stanie wyprowadzić nowe twierdzenie o zbieżności przepływów Ricciego ( Brendle i Schoen 2009 ). Ich twierdzenie o zbieżności zawierało jako szczególny przypadek rozwiązanie twierdzenia o sferze różniczkowalnej , które w tym czasie było od dawna przypuszczoną hipotezą. Twierdzenie o zbieżności podane powyżej pochodzi od Brendle'a (2008) , który obejmuje wcześniejsze wyniki zbieżności wyższych wymiarów Huiskena, Hamiltona, Böhma i Wilkinga oraz Brendle'a i Schoena.

Następstwa

Wyniki uzyskane w trzech wymiarach i większej pokazują, że każdy kolektor gładka zamknięta M , która przyjmuje metryczną g ₀ danego typu muszą być forma przestrzeni dodatniej krzywiźnie. Ponieważ te formy przestrzenne są w dużej mierze rozumiane przez twórczość Élie Cartana i innych, można wyciągnąć następstwa takie jak

• Załóżmy, że M jest gładką, zamkniętą rozmaitością trójwymiarową, która dopuszcza gładką metrykę Riemanna o dodatniej krzywiźnie Ricciego. Jeśli M jest po prostu połączone, to musi być dyfeomorficzne z 3-sferą.

Gdyby więc można było bezpośrednio wykazać, że dowolna gładka zamknięta, prosto-połączona rozmaitość trójwymiarowa dopuszcza gładką metrykę riemannowska o dodatniej krzywiźnie Ricciego , to natychmiast pojawiłaby się hipoteza Poincarégo . Jednakże, jak sprawy są obecnie rozumiane, ten wynik jest znany raczej jako (trywialny) następstwo hipotezy Poincarégo, a nie odwrotnie.

Możliwe rozszerzenia

Jeśli n jest większe niż dwa, istnieje wiele zamkniętych n- wymiarowych gładkich rozmaitości, które nie mają żadnych gładkich metryk riemannowskich o stałej krzywiźnie. Nie można więc mieć nadziei, że będziemy w stanie po prostu usunąć warunki krzywizny z powyższych twierdzeń o zbieżności. Możliwe byłoby zastąpienie warunków krzywizny niektórymi alternatywami, ale istnienie zwartych rozmaitości, takich jak złożona przestrzeń rzutowa , która ma metrykę nieujemnego operatora krzywizny ( metryka Fubini-Study ), ale nie ma metryki stałej krzywizny, sprawia, że ​​jest to niejasne jak bardzo te warunki można by przeforsować. Podobnie możliwość formułowania analogicznych wyników zbieżności dla ujemnie zakrzywionych metryk riemannowskich komplikuje istnienie zamkniętych rozmaitości riemannowskich, których krzywizna jest arbitralnie bliska stałej, a mimo to nie dopuszczają metryk stałej krzywizny.

Nierówności Li–Yau

Wykorzystując technikę zapoczątkowaną przez Petera Li i Shing-Tung Yau dla parabolicznych równań różniczkowych na rozmaitościach riemannowskich, Hamilton (1993a) udowodnił następującą „nierówność Li–Yau”.

• Niech M będzie gładką rozmaitością i niech g _t będzie rozwiązaniem przepływu Ricciego z t ∈(0, T ) takim, że każde g _t jest zupełne z ograniczoną krzywizną. Ponadto załóżmy, że każdy g _t ma nieujemny operator krzywizny. Wtedy dla dowolnej krzywej γ:[ t ₁ , t ₂ ]→ M z [ t ₁ , t ₂ ]⊂(0, T ) mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ duży (} R ^ {g (t)} (\ gamma (t)) {\ duży)} + {\ Frac {R ^ {g (t) }(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t) )\geq 0.}$

Perelman (2002) pokazał następującą alternatywną nierówność Li–Yau.

• Niech M będzie gładką zamkniętą rozmaitością n i niech g _t będzie rozwiązaniem przepływu Ricciego. Rozważ wsteczne równanie ciepła dla n -form, tj.∂/∂ tω+Δ ^{g ( t )} ω=0; podana p ∈ M a t ₀ ∈ (0, T ), za konkretnego rozwiązania, które po integracji zbieżny słabo delta Diraca jako środek t wzrasta do pozycji t ₀ . Wtedy dla dowolnej krzywej γ:[ t ₁ , t ₂ ]→ M z [ t ₁ , t ₂ ]⊂(0, T ) mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ duży (} f (\ gamma (t), t) {\ duży )} + {\ Frac {f {\ duży (} \ gamma (t), t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_ {g(t)}^{2}}{2}}.}$

gdzie ω=(4π( t ₀ -t)) ^{- n /2} e ^{- f} dμ _{g ( t )} .

Obie te niezwykłe nierówności mają ogromne znaczenie dla dowodu hipotezy Poincarégo i hipotezy geometryzacyjnej. Terminy znajdujące się po prawej stronie nierówności Li-Yau Perelmana uzasadniają definicję jego funkcjonału „o zmniejszonej długości”, którego analiza prowadzi do jego „twierdzenia o braku zapadania”. Twierdzenie o braku zapadania pozwala na zastosowanie twierdzenia Hamiltona o zwartości (Hamilton 1995) do konstruowania „modeli osobliwości”, które są przepływami Ricciego na nowych trójwymiarowych rozmaitościach. Dzięki oszacowaniu Hamiltona-Iveya te nowe przepływy Ricciego mają nieujemną krzywiznę. Nierówność Li–Yau Hamiltona można następnie zastosować, aby zobaczyć, że krzywizna skalarna jest w każdym punkcie nie malejącą (nieujemną) funkcją czasu. To potężny wynik, który pozwala przejść przez wiele dalszych argumentów. W końcu Perelman pokazuje, że każdy z jego modeli osobliwości jest asymptotycznie podobny do kompletnego gradientu solitonu Ricciego, który jest całkowicie sklasyfikowany; zobacz poprzednią sekcję.

Zobacz Chow, Lu i Ni (2006 , rozdziały 10 i 11), aby uzyskać szczegółowe informacje na temat nierówności Li–Yau Hamiltona; książki Chow et al. (2008) i Müller (2006) zawierają ekspozycję obu nierówności powyżej.

Przykłady

Stała krzywizna i metryka Einsteina

Niech ( M , g ) będzie Riemanna kolektor, który jest Einsteina , co oznacza, że nie jest takie, że liczba λ Ric ^g = λ g . Wtedy g _t =(1-2λ t ) g jest przepływem Ricciego z g ₀ = g , od tego czasu

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} g_ {t} = 2 \ lambda g = 2 \ nazwa operatora {Ric} ^ {g} = 2 \ nazwa operatora {Ric} ^ {g_ { t}}.}$

Jeśli M jest domknięte, to zgodnie z powyższym twierdzeniem Hamiltona o jednoznaczności jest to jedyny przepływ Ricciego z danymi początkowymi g . Widać w szczególności, że:

• jeśli λ jest dodatnie, wtedy przepływ Ricciego „ spada ” g, ponieważ współczynnik skali 1-2λ t jest mniejszy niż 1 dla dodatniego t ; ponadto widać, że t może być tylko mniejsze niż 1/2λ, aby g _t było metryką Riemanna. To najprostsze przykłady „osobliwości w skończonym czasie”.
• jeśli λ jest zerem, co jest równoznaczne z tym, że g jest płaskością Ricciego, to g _t jest niezależne od czasu, a więc maksymalny przedział istnienia jest całą linią rzeczywistą.
• jeśli λ jest ujemne, to przepływ Ricciego „rozszerza się” g, ponieważ współczynnik skali 1-2λ t jest większy niż 1 dla wszystkich dodatnich t ; ponadto widać, że t może być dowolnie duże. Jeden mówi, że przepływ Ricciego, dla tej początkowej metryki, jest „nieśmiertelny”.

W każdym przypadku, ponieważ metryki Riemanna przypisane różnym wartościom t różnią się tylko stałym współczynnikiem skali, można zauważyć, że znormalizowany przepływ Ricciego G _s istnieje przez cały czas i jest stały w s ; w szczególności zbiega się płynnie (do stałej wartości) jako s →∞.

Warunek Einsteina ma szczególny przypadek stałej krzywizny; stąd poszczególne przykłady sfery (z jej standardową metryką) i przestrzeni hiperbolicznej pojawiają się jako szczególne przypadki powyższego.

solitony Ricciego

Soltony Ricciego to przepływy Ricciego, które mogą zmieniać swój rozmiar, ale nie kształt aż do dyfeomorfizmów.

• Cylindry S ^k × R ^l (dla k ≥ 2 ) kurczą się samoistnie podobnie pod przepływem Ricciego aż do dyfeomorfizmów
• Znaczącym dwuwymiarowym przykładem jest soliton cygar , który jest podany przez metrykę ( dx ²  +  dy ² )/( e ^{4 t}  +  x ²  +  y ² ) na płaszczyźnie euklidesowej. Chociaż ta metryka kurczy się pod wpływem Ricciego, jej geometria pozostaje taka sama. Takie rozwiązania nazywane są stałymi solitonami Ricciego.
• Przykład 3-wymiarowej stałego Ricci solitonu jest Bryant soliton , który jest obrotowo symetryczny, posiada wypukłą krzywiznę, a otrzymuje się rozwiązując układ równań różniczkowych. Podobna konstrukcja działa w dowolnym wymiarze.
• Istnieje wiele rodzin rozmaitości Kählera, niezmienniczych pod działaniem U(n) i biracjonalnych do C ⁿ , które są solitonami Ricciego. Te przykłady zostały skonstruowane przez Cao i Feldman-Ilmanen-Knopf. (Chow-Knopf 2004)

Gradientu kurczy Ricci SOLITON składa się z gładkiego Riemanna rozgałęźnej ( M , g ) i f ∈ C ^∞ ( M ) w taki sposób, że

${\ Displaystyle \ operatorname {Ric} ^ {g} + \ operatorname {Hess} ^ {g} f = {\ Frac {1} {2}} g.}$

Jednym z głównych osiągnięć Perelmana (2002) było wykazanie, że jeśli M jest zamkniętą trójwymiarową gładką rozmaitością, to skończone osobliwości przepływu Ricciego na M są modelowane na całkowicie gradientowych solitonach Ricciego (prawdopodobnie na leżących poniżej rozmaitościach). różne od M ). W 2008 roku Huai-Dong Cao , Bing-Long Chen i Xi-Ping Zhu zakończyli klasyfikację tych solitonów, wykazując:

• Załóżmy, że ( M , g , f ) jest pełnym gradientem solitonu Ricciego o dim( M )=3. Jeśli M jest po prostu połączony, wtedy rozmaitość Riemanna ( M , g ) jest izometryczna do , , lub , każdy ze swoimi standardowymi metrykami riemannowskimi.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ Displaystyle S ^ {2} \ razy \ mathbb {R}}$

Zostało to pierwotnie pokazane przez Perelmana (2003a) z kilkoma dodatkowymi założeniami warunkowymi. Zauważ, że jeśli M nie jest po prostu połączone, to można rozważyć uniwersalną osłonę i wtedy powyższe twierdzenie odnosi się do${\displaystyle \pi:M'\do M}$${\ Displaystyle (M ', \ pi ^ {\ ast} g, f \ circ \ pi).}$

Nie ma jeszcze dobrego zrozumienia kurczących się gradientowo solitonów Ricciego w wyższych wymiarach.

Związek z uniformizacją i geometryzacją

Przepływ Ricci została wykorzystana przez Richard S. Hamilton (1981) w celu uzyskania wglądu do przypuszczeń geometryzację z William Thurston , który dotyczy klasyfikacji topologiczne trójwymiarowych gładkich rur rozgałęźnych. Pomysł Hamiltona polegał na zdefiniowaniu rodzaju nieliniowego równania dyfuzji, które miałoby tendencję do wygładzania nieprawidłowości w metryce. Następnie, umieszczając dowolną metrykę g na danej gładkiej rozmaitości M i rozwijając metrykę przepływem Ricciego, metryka powinna zbliżyć się do szczególnie ładnej metryki, która mogłaby stanowić kanoniczną formę dla M . Odpowiednie formy kanoniczne zostały już zidentyfikowane przez Thurstona; możliwości, zwane geometriami modelu Thurstona , obejmują trójwymiarową przestrzeń S ³ , trójwymiarową przestrzeń euklidesową E ³ , trójwymiarową przestrzeń hiperboliczną H ³ , które są jednorodne i izotropowe , oraz pięć nieco bardziej egzotycznych rozmaitości riemannowskich, które są jednorodne, ale nie izotropowy. (Ta lista jest blisko związana, ale nie identyczna z klasyfikacją Bianchiego trójwymiarowych algebr rzeczywistych Liego na dziewięć klas.) Pomysł Hamiltona polegał na tym, że te specjalne metryki powinny zachowywać się jak stałe punkty przepływu Ricciego, a jeśli, dla danej rozmaitości, globalnie, tylko jedna geometria Thurstona była dopuszczalna, może nawet działać jak atraktor pod prądem.

Hamilton zdołał udowodnić, że każdy gładki zamknięty trójdzielnik, który dopuszcza metrykę dodatniej krzywizny Ricciego, dopuszcza również unikalną geometrię Thurstona, a mianowicie metrykę sferyczną, która rzeczywiście działa jak przyciągający stały punkt pod przepływem Ricciego, zrenormalizowany w celu zachowania objętości. (Pod nieznormalizowanym przepływem Ricciego rozmaitość zapada się do punktu w skończonym czasie.) To nie dowodzi hipotezy pełnej geometryzacji, ponieważ okazuje się, że najtrudniejszy przypadek dotyczy rozmaitości z ujemną krzywizną Ricciego, a dokładniej tych z ujemną krzywizną przekroju .

Rzeczywiście, triumf dziewiętnastowiecznej geometrii był dowodem na twierdzenie o uniformizacji , analogicznej topologicznej klasyfikacji gładkich dwurozmaitości, gdzie Hamilton wykazał, że przepływ Ricciego rzeczywiście ewoluuje z ujemnie zakrzywionej dwurozmaitości w dwuwymiarową wielorozmaitość. dziurkowany torus, który jest lokalnie izometryczny względem płaszczyzny hiperbolicznej. Temat ten jest ściśle powiązany z ważnymi zagadnieniami z zakresu analizy, teorii liczb, układów dynamicznych, fizyki matematycznej, a nawet kosmologii.

Należy zauważyć, że termin „ujednolicenie” sugeruje rodzaj wygładzenia nierówności w geometrii, podczas gdy termin „geometryzacja” sugeruje umieszczenie geometrii na gładkiej rozmaitości. Geometria jest używany jest tutaj w precyzyjny sposób podobny do Klein „s pojęcia geometrii (patrz geometryzację przypuszczenie dla dalszych szczegółów). W szczególności wynikiem geometryzacji może być geometria, która nie jest izotropowa . W większości przypadków, włączając przypadki stałej krzywizny, geometria jest unikalna. Ważnym tematem w tym obszarze jest współzależność między sformułowaniami rzeczywistymi i złożonymi. W szczególności wiele dyskusji na temat uniformizacji mówi o złożonych krzywych, a nie o rzeczywistych dwurozmaitościach.

Przepływ Ricciego nie zachowuje objętości, więc aby być bardziej ostrożnym, stosując przepływ Ricciego do ujednolicania i geometryzacji, należy znormalizować przepływ Ricciego, aby uzyskać przepływ zachowujący objętość. Jeśli się tego nie uda, problem polega na tym, że (na przykład) zamiast ewoluować daną trójwymiarową rozmaitość w jedną z kanonicznych form Thurstona, możemy po prostu zmniejszyć jej rozmiar.

Możliwe jest skonstruowanie pewnego rodzaju przestrzeni moduli n-wymiarowych rozmaitości riemannowskich, a wtedy przepływ Ricciego rzeczywiście daje przepływ geometryczny (w intuicyjnym sensie cząstek płynących wzdłuż linii przepływu) w tej przestrzeni moduli.

Osobliwości

Hamilton wykazał, że zwarta rozmaitość Riemanna zawsze dopuszcza krótkotrwałe rozwiązanie przepływu Ricciego. Później Shi uogólnił wynik krótkotrwałej egzystencji na pełne rozmaitości ograniczonej krzywizny. Ogólnie jednak, ze względu na wysoce nieliniowy charakter równania przepływu Ricciego, osobliwości tworzą się w skończonym czasie. Te osobliwości są osobliwościami krzywizny, co oznacza, że ​​gdy zbliżamy się do czasu osobliwości, norma tensora krzywizny rozciąga się do nieskończoności w obszarze osobliwości. Podstawowym problemem w przepływie Ricciego jest zrozumienie wszystkich możliwych geometrii osobliwości. Jeśli to się powiedzie, może to prowadzić do wglądu w topologię rozmaitości. Na przykład, analiza geometrii osobliwych regionów, które mogą rozwinąć się w trójwymiarowym przepływie Ricciego, jest kluczowym składnikiem dowodu Perelmana na hipotezy Poincarego i geometryzację. ${\displaystyle |\operator {Rm} |}$

Granice powiększenia osobliwości

W badaniu powstawania osobliwości przydatne jest, podobnie jak w badaniu innych nieliniowych równań różniczkowych, rozważenie granic powiększenia. Mówiąc intuicyjnie, można przybliżyć się do pojedynczego obszaru przepływu Ricciego, przeskalowując czas i przestrzeń. Przy pewnych założeniach powiększony przepływ ma tendencję do ograniczania przepływu Ricciego , zwanego modelem osobliwości . Modele osobliwości to starożytne przepływy Ricciego, tj. mogą być rozciągane w nieskończoność w przeszłość. Zrozumienie możliwych modeli osobliwości w przepływie Ricciego jest aktywnym przedsięwzięciem badawczym. ${\ Displaystyle (M_ {\ infty}, g_ {\ infty} (t)), t \ w (- \ infty, 0]}$

Poniżej bardziej szczegółowo naszkicujemy procedurę powiększania: Niech będzie przepływem Ricciego, który rozwija osobliwość jako . Niech będzie ciągiem punktów w czasoprzestrzeni takim, że ${\ Displaystyle (M, g_ {t}), \, t \ w [0, T)}$${\displaystyle t\rightarrow T}$${\ Displaystyle (p_ {i}, t_ {i}) \ w M \ razy [0, T)}$

${\ Displaystyle K_ {i}: = | \ operatorname {RM} (g_ {t_ {i}}) | (p_ {i}) \ rightarrow \ infty}$

jak . Następnie rozważymy parabolicznie przeskalowane metryki ${\displaystyle i\rightarrow \infty}$

${\ Displaystyle g_ {i} (t) = K_ {i} g \ lewo (t_ {i} + {\ Frac {t} {K_ {i}}} \ prawej), \ quad t \ w [-K_ { ja}t_{i},0]}$

Ze względu na symetrię równania przepływu Ricciego przy dylatacjach parabolicznych, metryki są również rozwiązaniami równania przepływu Ricciego. W przypadku, gdy ${\ Displaystyle g_ {i} (t)}$

${\ Displaystyle | Rm | \ leq K_ {i} {\ tekst {na}} M \ razy [0, t_ {i}]}$,

tj. do czasu osiągnięcia maksimum krzywizny w , wtedy spiczasta sekwencja przepływów Ricciego stopniowo zbiega się gładko do ograniczającego starożytnego przepływu Ricciego . Zauważ, że generalnie nie jest diffeomorphic do . ${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\ Displaystyle (M, g_ {i} (t), p_ {i})}$${\ Displaystyle (M_ {\ infty}, g_ {\ infty} (t), p_ {\ infty})}$${\displaystyle M_{\infty}}$${\ Displaystyle M}$

Osobliwości typu I i typu II

Hamilton rozróżnia osobliwości Typu I i Typu II w przepływie Ricciego. W szczególności mówi się, że przepływ Ricciego , napotykając osobliwość czas jest typu I, jeśli ${\ Displaystyle (M, g_ {t}), \, t \ w [0, T)}$${\displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ sup _ {t<T}(Tt)|Rm|<\infty}$.

W przeciwnym razie osobliwość jest typu II. Wiadomo, że granice powiększenia osobliwości Typu I to kurczące się gradientowo solitony Ricciego . W przypadku typu II otwarte jest pytanie, czy model osobliwości musi być stabilnym solitonem Ricciego — jak dotąd wszystkie znane przykłady są takie.

Osobliwości w przepływie 3d Ricciego

W 3D możliwe są granice rozdmuchu osobliwości przepływu Ricciego są dobrze zrozumiane. Według Hamiltona, Perelmana i ostatnie prace Brendle'a, wysadzanie w punktach maksymalnej krzywizny prowadzi do jednego z następujących trzech modeli osobliwości:

• Kurcząca się okrągła kulista forma przestrzenna ${\ Displaystyle S ^ {3}/\ Gamma}$
• Kurczący się okrągły cylinder ${\ Displaystyle S ^ {2} \ razy \ mathbb {R}}$
• Bryant soliton

Pierwsze dwa modele osobliwości wynikają z osobliwości typu I, podczas gdy ostatni z osobliwości typu II.

Osobliwości w przepływie 4d ​​Ricciego

W czterech wymiarach niewiele wiadomo o możliwych osobliwościach, poza tym, że możliwości są znacznie liczniejsze niż w trzech wymiarach. Do chwili obecnej znane są następujące modele osobliwości:

• ${\ Displaystyle S ^ {3} \ razy \ mathbb {R}}$
• ${\ Displaystyle S ^ {2} \ razy \ mathbb {R} ^ {2}}$
• 4d Bryant soliton
• Kompaktowy rozmaitość Einsteina dodatniej krzywizny skalarnej
• Kompaktowy gradient kurczliwy Kahler-Ricci soliton
• Obkurczacz FIK
• Przestrzeń Eguchi-Hansona

Zauważ, że pierwsze trzy przykłady to uogólnienia modeli 3D osobliwości. Urządzenie do kurczenia FIK modeluje zapadanie się osadzonej kuli z samoprzecięciem o numerze -1.

Związek z dyfuzją

Aby zobaczyć, dlaczego równanie ewolucji definiujące przepływ Ricciego jest rzeczywiście rodzajem nieliniowego równania dyfuzji, możemy bardziej szczegółowo rozważyć szczególny przypadek (rzeczywistych) dwurozmaitości. Dowolny tensor metryczny na dwóch rozmaitościach można zapisać w odniesieniu do wykładniczego izotermicznego wykresu współrzędnych w postaci

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ exp (2 \, p (x, y)) \, \ lewo (dx ^ {2} + Dy ^ {2} \ prawej).}$

(Te współrzędne stanowią przykład konformalnego wykresu współrzędnych, ponieważ kąty, ale nie odległości, są prawidłowo reprezentowane).

Najłatwiejszym sposobem obliczenia tensora Ricciego i operatora Laplace-Beltrami dla naszego dwurozmaitościowego Riemanna jest użycie metody form różniczkowych Élie Cartana . Weź pole coframe

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\dy}$

tak, że tensor metryczny staje się

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} \ otimes \ sigma ^ {1} + \ sigma ^ {2} \ otimes \ sigma ^ {2} = \ exp (2p) \ \ lewo (dx \ otimes dx + dy \ czasami dy\right).}$

Następnie, mając dowolną gładką funkcję , oblicz pochodną zewnętrzną${\displaystyle h(x,y)}$

${\ Displaystyle dh = h_ {x} dx + h_ {y} dy = \ exp (-p) h_ {x} \ \ sigma ^ {1} + \ exp (-p) h_ {y} \ \ sigma ^{2}.}$

Weź podwójny Hodge

${\ Displaystyle \ gwiazda dh = - \ exp (-p) h_ {y} \ \ sigma ^ {1} + \ exp (-p) h_ {x} \ \ sigma ^ {2} = - h_ {y }\,dx+h_{x}\,dy.}$

Weź inną zewnętrzną pochodną

${\ Displaystyle d \ gwiazda dh = - h_ {yy} \ dy \ klin dx + h_ {xx} \ dx \ klin dy = \ po lewej (h_ {xx} + h_ {yy} \ po prawej) \, dx \ klin dynia}$

(gdzie użyliśmy właściwości anty-przemienne o produkcie zewnętrznej ). To jest,

${\ Displaystyle d \ gwiazda dh = \ exp (-2p) \ \ lewo (h_ {xx} + h_ {yy} \ prawo) \ \ sigma ^ {1} \ klin \ sigma ^ {2}.}$

Przyjęcie kolejnego Hodge'a podwójne daje dual

${\ Displaystyle \ Delta h = \ gwiazda d \ gwiazda dh = \ exp (-2p) \ \ lewo (h_ {xx} + h_ {yy} \ prawej)}$

co daje pożądane wyrażenie dla operatora Laplace/Beltrami

${\ Displaystyle \ Delta = \ exp (-2 \, p (x, y)) \ lewo (D_ {x} ^ {2} + D_ {y} ^ {2} \ po prawej).}$

Aby obliczyć tensor krzywizny, bierzemy zewnętrzną pochodną pól kowektorowych tworzących naszą koramkę:

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {1} = p_ {y} \ exp (p) dy \ klin dx = - \ lewo (p_ {y} dx \ po prawej) \ klin \ sigma ^ {2} = - {\ omega ^{1}}_{2}\klin \sigma ^{2}}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = p_ {x} \ exp (p) dx \ klin dy = - \ lewo (p_ {x} dy \ po prawej) \ klin \ sigma ^ {1} = - {\ omega ^{2}}_{1}\klin \sigma ^{1}.}$

Z tych wyrażeń możemy odczytać jedyne niezależne połączenie spinowe w jednej formie

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} {2} = p_ {y} dx-p_ {x} dy}$

gdzie wykorzystaliśmy antysymetryczną właściwość połączenia ( ). Weź inną zewnętrzną pochodną ${\ Displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {1} = - {\ omega ^ {1}} _ {2}}$

${\ Displaystyle d {\ omega ^ {1}} _ {2} = p_ {yy} dy \ klin dx-p_ {xx} dx \ klin dy = - \ po lewej (p_ {xx} + p_ {yy} \ po prawej) )\,dx\klin dy.}$

Daje to krzywiznę dwupostaciową

${\ Displaystyle {\ Omega ^ {1}} {2} = - \ exp (-2p) \ lewo (p_ {xx} + p_ {yy} \ prawej) \ \ sigma ^ {1} \ klin \ sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

z którego możemy odczytać jedyną liniowo niezależną składową tensora Riemanna za pomocą

${\ Displaystyle {\ Omega ^ {1}} _ {2} = {R ^ {1}} _ {212} \ \ sigma ^ {1} \ klin \ sigma ^ {2}.}$

Mianowicie

${\ Displaystyle {R ^ {1}} _ {212} = - \ Delta p}$

z których jedynymi niezerowymi składnikami tensora Ricciego są

${\ Displaystyle R_ {22} = R_ {11} = - \ Delta p.}$

Na tej podstawie znajdujemy składowe w odniesieniu do kobazy współrzędnych , a mianowicie

${\ Displaystyle R_ {xx} = R_ {yy} = - \ lewo (p_ {xx} + p_ {yy} \ po prawej).}$

Ale tensor metryczny jest również ukośny, z

${\ Displaystyle g_ {xx} = g_ {yy} = \ exp (2p)}$

a po kilku elementarnych manipulacjach otrzymujemy eleganckie wyrażenie dla przepływu Ricciego:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy p} {\ częściowy t}} = \ Delta p.}$

Jest to oczywiście analogiczne do najlepiej znanego ze wszystkich równań dyfuzji, równania ciepła

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy u}{\ częściowy t}} = \ Delta u}$

gdzie teraz jest zwykły Laplacian na płaszczyźnie euklidesowej. Czytelnik może sprzeciwić się, że równanie ciepła jest oczywiście liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym — gdzie jest obiecana nieliniowość w pde definiującym przepływ Ricciego? ${\ Displaystyle \ Delta = D_ {x} ^ {2} + D_ {y} ^ {2}}$

Odpowiedź brzmi: nieliniowość wchodzi, ponieważ operator Laplace-Beltrami zależy od tej samej funkcji p, której użyliśmy do zdefiniowania metryki. Zauważmy jednak, że płaską płaszczyznę euklidesową otrzymujemy biorąc . Więc jeśli jest mała, możemy ją uznać za zdefiniowanie małych odchyleń od geometrii płaskiej płaszczyzny, a jeśli zachowamy tylko wyrazy pierwszego rzędu przy obliczaniu wykładniczym, przepływ Ricciego na naszej dwuwymiarowej, prawie płaskiej rozmaitości Riemanna staje się zwykłe dwuwymiarowe równanie ciepła. To obliczenie sugeruje, że tak jak (zgodnie z równaniem ciepła) nieregularny rozkład temperatury w gorącej płycie ma tendencję do stawania się z czasem bardziej jednorodny, tak samo (zgodnie z przepływem Ricciego) prawie płaska rozmaitość Riemanna będzie miała tendencję do spłaszczania w ten sam sposób, w jaki ciepło może być odprowadzane „w nieskończoność” w nieskończonej płaskiej płycie. Ale jeśli nasza płyta grzejna ma skończone rozmiary i nie ma granicy, przez którą ciepło może być odprowadzane, możemy spodziewać się ujednorodnienia temperatury, ale wyraźnie nie możemy oczekiwać, że zredukujemy ją do zera. W ten sam sposób oczekujemy, że przepływ Ricciego, zastosowany do zniekształconej okrągłej kuli, będzie miał tendencję do zaokrąglania geometrii w czasie, ale nie do przekształcania jej w płaską geometrię euklidesową. ${\ Displaystyle p (x, y) = 0}$${\displaystyle p}$

Ostatnie zmiany

Przepływ Ricciego był intensywnie badany od 1981 roku. Niektóre ostatnie prace skupiały się na pytaniu, jak dokładnie ewoluują wielowymiarowe rozmaitości riemannowskie pod wpływem przepływu Ricciego, a w szczególności, jakie typy osobliwości parametrycznych mogą się tworzyć. Na przykład pewna klasa rozwiązań dla przepływu Ricciego pokazuje, że osobliwości zwężenia szyi będą formować się na ewoluującej n- wymiarowej metrycznej rozmaitości Riemanna, mającej pewną właściwość topologiczną (dodatnia charakterystyka Eulera ), gdy przepływ zbliża się do pewnego charakterystycznego czasu . W niektórych przypadkach takie szczypce szyjne wytworzą rozmaitości zwane solitonami Ricciego . ${\displaystyle t_{0}}$

W przypadku rozmaitości trójwymiarowej Perelman pokazał, jak przejść przez osobliwości za pomocą operacji na rozgałęźniku .

Metryki Kählera pozostają Kähler w przepływie Ricciego, więc przepływ Ricciego był również badany w tym środowisku, gdzie nazywa się go „przepływem Kählera-Ricciego”.

Zobacz też

Aplikacje

• Twierdzenie o uniformizacji
• Hipoteza geometryzacyjna
• Rozwiązanie hipotezy Poincarégo
• Twierdzenie o sferze różniczkowej

Kontekst ogólny

• Krzywizna Ricciego
• Rachunek wariacji
• Przepływ geometryczny

Uwagi

Bibliografia

Artykuły dla popularnej publiczności matematycznej.

• Anderson, Michael T. (2004). „Geometryzacja 3-rozmaitości przez przepływ Ricciego” (PDF) . Uwagi Amer. Matematyka. Soc . 51 (2): 184–193. MR  2026939 .
• Milnor, John (2003). „W stronę hipotezy Poincarégo i klasyfikacji trójrozmaitości” (PDF) . Uwagi Amer. Matematyka. Soc . 50 (10): 1226–1233. MR  2009455 .
• Morgan, John W. (2005). „Ostatnie postępy w hipotezie Poincarégo i klasyfikacji 3-rozmaitości” . Byk. Amer. Matematyka. Soc. (NS) . 42 (1): 57-78. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . MR  2115067 .
• Tao, T. (2008). "Przepływ Ricciego" (PDF) . W Gowers, Tymoteusz ; Barrow-Green, czerwiec; Lider, Imre (red.). The Princeton Companion to Matematyka . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. 279–281. Numer ISBN 978-0-691-11880-2.

Artykuły naukowe.

• Böhm, Christoph; Wilking, Burkhard (2008). „Rozmaitości z operatorami dodatniej krzywizny są formami przestrzennymi”. Anny. Matematyki. (2) . 167 (3): 1079-1097. arXiv : matematyka/0606187 . doi : 10.4007/annals.2008.167.1079 . JSTOR  40345372 . MR  2415394 . S2CID  15521923 .
• Brendle, Simon (2008). „Ogólny wynik konwergencji dla przepływu Ricciego w wyższych wymiarach” . Książę Matematyka. J . 145 (3): 585-601. arXiv : 0706.1218 . doi : 10.1215/00127094-2008-059 . MR  2462114 . S2CID  438716 . Zbl  1161.53052 .
• Brendla, Szymona ; Schoen, Richard (2009). "Rozdzielacze z krzywizną 1/4-pinową są formami przestrzennymi". J.Amer. Matematyka. Soc . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Kod bib : 2009ZACIĘCIA...22..287B . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00613-9 . JSTOR  40587231 . MR  2449060 . S2CID  2901565 .
• Cao, Huai-Dong ; Xi-Ping Zhu (czerwiec 2006). „Kompletny dowód hipotez Poincaré i geometryzacji — zastosowanie teorii Hamiltona-Perelmana przepływu Ricciego” (PDF) . Azjatycki Dziennik Matematyki . 10 (2). MR  2488948 . Errata .
  • Wersja poprawiona: Huai-Dong Cao; Xi-Ping Zhu (2006). „Dowód Hamiltona-Perelmana z hipotezy Poincarégo i hipotezy geometrycznej”. arXiv : math.DG/0612069 .
• Chow, Bennett (1991). „Przepływ Ricciego na 2-sferze” . J. Geom różniczkowy . 33 (2): 325–334. doi : 10.4310/jdg/1214446319 . MR  1094458 . Zbl  0734.53033 .
• Colding, Tobias H. ; Minicozzi, William P., II (2005). „Szacunki dotyczące czasu wyginięcia dla przepływu Ricciego na niektórych 3-rozmaitościach oraz kwestia Perelmana” (PDF) . J. Amer. Matematyka. Soc . 18 (3): 561–569. arXiv : matematyka/0308090 . doi : 10.1090/S0894-0347-05-00486-8 . JSTOR  20161247 . MR  2138137 . S2CID  2810043 .
• Hamilton, Richard S. (1982). „Trzy rozmaitości z dodatnią krzywizną Ricciego” . Dziennik Geometrii Różniczkowej . 17 (2): 255–306. doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR  0664497 . Zbl  0504.53034 .
• Hamilton, Richard S. (1986). "Cztery rozmaitości z operatorem dodatniej krzywizny" . J. Geom różniczkowy . 24 (2): 153-179. doi : 10.4310/jdg/1214440433 . MR  0862046 . Zbl  0628.53042 .
• Hamilton, Richard S. (1988). „Przepływ Ricciego na powierzchniach”. Matematyka i ogólna teoria względności (Santa Cruz, CA, 1986) . Pogarda Matematyka. 71 . Amer. Matematyka. Soc., Opatrzność, RI. s. 237–262. doi : 10.1090/conm/071/954419 . MR  0954419 .
• Hamilton, Richard S. (1993a). „Szacunek Harnacka dla przepływu Ricciego” . J. Geom różniczkowy . 37 (1): 225–243. doi : 10.4310/jdg/1214453430 . MR  1198607 . Zbl  0804.53023 .
• Hamilton, Richard S. (1993b). „Wieczne rozwiązania przepływu Ricciego” . J. Geom różniczkowy . 38 (1): 1–11. doi : 10.4310/jdg/1214454093 . MR  1231700 . Zbl  0792.53041 .
• Hamilton, Richard S. (1995a). „Właściwość zwartości rozwiązań przepływu Ricci”. Amer. J. Matematyka . 117 (3): 545–572. doi : 10.2307/2375080 . JSTOR  2375080 . MR  1333936 .
• Hamilton, Richard S. (1995b). „Tworzenie osobliwości w przepływie Ricciego”. Badania w geometrii różniczkowej, tom. II (Cambridge, MA, 1993) . wewn. Prasa, Cambridge, MA. s. 7–136. doi : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . MR  1375255 .
• Hamilton, Richard S. (1997). „Cztery rozmaitości z dodatnią krzywizną izotropową” . Komunik. Analny. Geom . 5 (1): 1-92. doi : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . MR  1456308 . Zbl  0892.53018 .
• Hamilton, Richard S. (1999). „Nieosobliwe rozwiązania przepływu Ricciego na trzech rozmaitościach” . Komunik. Analny. Geom . 7 (4): 695–729. doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . MR  1714939 .
• Bruce Kleiner ; Johna Lotta (2008). „Notatki na papierach Perelmana”. Geometria i topologia . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math.DG/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR  2460872 . S2CID  119133773 .
• Perelman, Grisza (2002). „Wzór entropii dla przepływu Ricciego i jego zastosowań geometrycznych”. arXiv : matematyka/0211159 .
• Perelman, Grisza (2003a). „Ricci przepływ z chirurgią na trzech rozgałęźnikach”. arXiv : matematyka/0303109 .
• Perelman, Grisza (2003b). „Skończony czas wygaśnięcia dla rozwiązań przepływu Ricciego na niektórych trzech rozgałęźnikach”. arXiv : matematyka/0307245 .

Podręczniki

• Andrewsa, Bena; Hopper, Krzysztof (2011). Przepływ Ricciego w geometrii riemannowskiej: kompletny dowód twierdzenia o różniczkowalnej kuli 1/4-uciskowej . Notatki z wykładu z matematyki. 2011 . Heidelberg: Springer. doi : 10.1007/978-3-642-16286-2 . Numer ISBN 978-3-642-16285-5.
• Brendle, Simon (2010). Przepływ Ricciego i twierdzenie o sferze . Studia magisterskie z matematyki. 111 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/gsm/111 . Numer ISBN 978-0-8218-4938-5.
• Cao, HD; Chow, B.; Chu, SC; Yau, ST, wyd. (2003). Zebrane artykuły na temat Ricci Flow . Szeregi w geometrii i topologii. 37 . Somerville, MA: Prasa międzynarodowa. Numer ISBN 1-57146-110-8.
• Chow, Bennett; Chu, Słońce-Podbródek; Glickenstein, David; Guenther, Krystyna; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2007). Ricci Flow: techniki i zastosowania. Część I. Aspekty geometryczne . Ankiety matematyczne i monografie. 135 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-3946-1.
• Chow, Bennett; Chu, Słońce-Podbródek; Glickenstein, David; Guenther, Krystyna; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008). Ricci Flow: techniki i zastosowania. Część druga. Aspekty analityczne . Ankiety matematyczne i monografie. 144 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. Numer ISBN 978-0-8218-4429-8.
• Chow, Bennett; Chu, Słońce-Podbródek; Glickenstein, David; Guenther, Krystyna; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010). Ricci Flow: techniki i zastosowania. Część III. Aspekty geometryczno-analityczne . Ankiety matematyczne i monografie. 163 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/surv/163 . Numer ISBN 978-0-8218-4661-2.
• Chow, Bennett; Chu, Słońce-Podbródek; Glickenstein, David; Guenther, Krystyna; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2015). Ricci Flow: techniki i zastosowania. Część IV. Długoterminowe rozwiązania i powiązane tematy . Ankiety matematyczne i monografie. 206 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/surv/206 . Numer ISBN 978-0-8218-4991-0.
• Chow, Bennett; Knopfa, Dana (2004). Przepływ Ricciego: wprowadzenie . Ankiety matematyczne i monografie. 110 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/surv/110 . Numer ISBN 0-8218-3515-7.
• Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006). Przepływ Ricciego Hamiltona . Studia magisterskie z matematyki. 77 . Pekin, Nowy Jork: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI; Nauka Prasa. doi : 10.1090/gsm/077 . Numer ISBN 978-0-8218-4231-7.
• Morgan, John W.; Fong, Fryderyk Tsz-Ho (2010). Przepływ Ricciego i geometria 3-rozmaitości . Seria wykładów uniwersyteckich. 53 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/ulect/053 . Numer ISBN 978-0-8218-4963-7.
• Morgan, John; Tian, ​​Gang (2007). Ricci Flow i hipoteza Poincarégo . Monografie matematyki gliny. 3 . Providence, RI i Cambridge, MA: American Mathematical Society i Clay Mathematics Institute. Numer ISBN 978-0-8218-4328-4.
• Müllera, Reto (2006). Nierówności różniczkowe Harnacka i przepływ Ricciego . Seria wykładów EMS z matematyki. Zurych: Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS). doi : 10.4171/030 . hdl : 2318/1701023 . Numer ISBN 978-3-03719-030-2.
• Polewa, Piotr (2006). Wykłady na temat Ricci Flow . London Mathematical Society Wykład Uwaga Seria. 325 . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. doi : 10.1017/CBO9780511721465 . Numer ISBN 0-521-68947-3.
• Zhang, Qi S. (2011). Nierówności Sobolewa, jądra ciepła pod rządami Ricciego Flow i hipoteza Poincarégo . Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1-4398-3459-6.

Linki zewnętrzne

• Isenberg, Jamesowi . „Przepływ Ricciego” (wideo) . Brady Haran . Pobrano 23 kwietnia 2014 .