Twierdzenie o osiach równoległych - Parallel axis theorem

Równolegle twierdzenie osi , znany również jako Huyghens-Steiner twierdzenia , lub po prostu jako twierdzenie Steinera , nazwany Christiaan Huygens i Jakob Steiner , mogą być wykorzystane do określenia moment bezwładności lub momentu bezwładności powierzchni z sztywnego korpusu wokół osi, biorąc pod uwagę moment bezwładności ciała wokół osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości obiektu i prostopadłą odległość między osiami.

Masowy moment bezwładności

Masowy moment bezwładności ciała wokół osi można określić na podstawie masowego momentu bezwładności wokół osi równoległej przechodzącej przez środek masy.

Załóżmy, że ciało o masie m obraca się wokół osi z przechodzącej przez środek masy ciała . Ciało ma moment bezwładności 1 _cm względem tej osi. Twierdzenie o osi równoległej mówi, że jeśli zamiast tego wprawi się ciało w obrót wokół nowej osi z′ , która jest równoległa do pierwszej osi i odsunięta od niej o odległość d , to moment bezwładności I względem nowej osi wynosi związane z I _cm przez

${\ Displaystyle I = I_ {\ operatorname {cm}} + MD ^ {2}.}$

Mówiąc wprost , d jest prostopadłą odległością między osiami z i z′ .

Twierdzenie o osi równoległej można zastosować z regułą rozciągania i twierdzeniem o osi prostopadłej, aby znaleźć momenty bezwładności dla różnych kształtów.

Zasada osi równoległych dla obszaru momentu bezwładności

Pochodzenie

Możemy założyć, bez utraty ogólności, że w kartezjańskim układzie współrzędnych odległość prostopadła między osiami leży wzdłuż osi x, a środek masy leży w punkcie początkowym. Moment bezwładności względem osi z wynosi

${\ Displaystyle I_ {\ operatorname {cm}} = \ int (x ^ {2} + Y ^ {2}) \ dm.}$

Moment bezwładności względem osi z′ , która jest prostopadłą odległością D wzdłuż osi x od środka masy, wynosi

${\ Displaystyle I = \ int \ lewo [(x + D) ^ {2} + Y ^ {2} \ prawo] \ dm.}$

Rozszerzenie nawiasów daje

${\ Displaystyle I = \ int (x ^ {2} + Y ^ {2}) \ dm + D ^ {2} \ int dm + 2 D \ int x \ dm.}$

Pierwszy wyraz to I _cm, a drugi wyraz to mD ² . Całka w końcowym członie jest wielokrotnością współrzędnej x środka masy  – która wynosi zero, ponieważ środek masy leży w punkcie początkowym. Tak więc równanie staje się:

${\ Displaystyle I = I_ {\ operatorname {cm}} + mD ^ {2}.}$

Uogólnienie tensorowe

Twierdzenie o osi równoległej można uogólnić do obliczeń z użyciem tensora bezwładności . Niech I _ij oznacza tensor bezwładności ciała liczony w środku masy. Wtedy tensor bezwładności J _ij obliczony względem nowego punktu to

${\ Displaystyle J_ {ij} = I_ {ij} + m \ lewo (| \ mathbf {R} | ^ {2} \ delta _ {ij} - R_ {i} R_ {j} \ prawej)}$

gdzie jest wektorem przemieszczenia od środka masy do nowego punktu, a δ _ij jest deltą Kroneckera . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} = R_ {1} \ mathbf {\ kapelusz {x}} + R_ {2} \ mathbf {\ kapelusz {y}} + R_ {3} \ mathbf {\ kapelusz {z}} \!}$

Dla elementów ukośnych (gdy i = j ) przemieszczenia prostopadłe do osi obrotu dają w wyniku powyższą uproszczoną wersję twierdzenia o osiach równoległych.

Uogólnioną wersję twierdzenia o osi równoległej można wyrazić w postaci notacji bez współrzędnych jako

${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {ja} + m \ lewo [\ lewo (\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R} \ po prawej) \ mathbf {E} _ {3}-\ mathbf { R} \otimes \mathbf {R} \prawo],}$

gdzie E ₃ jest macierzą jednostkową 3 × 3 i jest iloczynem zewnętrznym . ${\ Displaystyle \ czasami}$

Dalsze uogólnienie twierdzenia o osiach równoległych daje tensor bezwładności wokół dowolnego zestawu osi prostopadłych równoległych do zestawu odniesienia osi x, y i z, skojarzonego z tensorem bezwładności odniesienia, niezależnie od tego, czy przechodzą one przez środek masy, czy nie.

Drugi moment obszaru

Zasada osi równoległych dotyczy również drugiego momentu pola (obszarowego momentu bezwładności) dla obszaru płaskiego D :

${\ Displaystyle I_ {z} = I_ {x} + Ar ^ {2}}$

gdzie I _z to obszarowy moment bezwładności D względem osi równoległej, I _x to obszarowy moment bezwładności D względem środka ciężkości , A to pole powierzchni płaskiego obszaru D , a r to odległość od nowej oś z do środka ciężkości obszaru płaskiego D . Ciężkości z D pokrywa się ze środkiem ciężkości fizycznej płytki o tym samym kształcie, które ma jednolitą gęstość.

Biegunowy moment bezwładności dla dynamiki planarnej

Biegunowy moment bezwładności ciała wokół punktu można określić na podstawie jego biegunowego momentu bezwładności wokół środka masy.

Właściwości masy ciała sztywnego, które jest ograniczone do poruszania się równolegle do płaszczyzny, są określone przez jego środek masy R  = ( x ,  y ) w tej płaszczyźnie oraz jego biegunowy moment bezwładności I _R wokół osi przechodzącej przez R , która jest prostopadła do samolotu. Twierdzenie o osi równoległej zapewnia wygodną zależność między momentem bezwładności I _S wokół dowolnego punktu S a momentem bezwładności I _R wokół środka masy  R .

Przypomnijmy, że środek masy R ma własność

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {R}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ dV = 0}$

gdzie r jest całkowane przez objętość V ciała. Biegunowy moment bezwładności ciała przechodzącego ruch płaski można obliczyć względem dowolnego punktu odniesienia  S ,

${\ Displaystyle I_ {S} = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {R}) (\ mathbf {R} - \ mathbf {S}) \ cdot (\ mathbf {R} - \ mathbf {S} )\,dV,}$

gdzie S jest stałe, a r jest całkowane przez objętość  V .

Aby otrzymać moment bezwładności I _S jako moment bezwładności I _R , wprowadź wektor d od S do środka masy R ,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} I_ {S} i = \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {R}) (\ mathbf {R} - \ mathbf {R} + \ mathbf {d}) \ cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\ mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\ mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \ mathbf {d} .\end{wyrównany}}}$

Pierwszy wyraz to moment bezwładności I _R , drugi wyraz to zero z definicji środka masy, a ostatni wyraz to całkowita masa ciała pomnożona przez wielkość kwadratu wektora  d . A zatem,

${\ Displaystyle I_ {S} = I_ {R} + MD ^ {2}, \,}$

które jest znane jako twierdzenie o osi równoległej.

Macierz momentu bezwładności

Macierz bezwładności sztywnego układu cząstek zależy od wyboru punktu odniesienia. Istnieje użyteczna zależność między macierzą bezwładności względem środka masy R a macierzą bezwładności względem innego punktu S . Ta zależność nazywana jest twierdzeniem o osi równoległej.

Rozważmy macierz bezwładności [I _S ] otrzymaną dla sztywnego układu cząstek mierzonego względem punktu odniesienia S , daną wzorem

${\ Displaystyle [I_ {S}] = - \ suma _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i}-S][r_ {i} - S],}$

gdzie R _i określa położenie cząstek P _{: i} , i  = 1, ...,  n . Przypomnijmy, że [ r _i  −  S ] jest macierzą skośno-symetryczną realizującą iloczyn poprzeczny,

${\ Displaystyle [r_ {i} - S] \ mathbf {y} = (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {S}) \ razy \ mathbf {y}}$

dla dowolnego wektora  y .

Niech R będzie środkiem masy układu sztywnego, więc

${\ Displaystyle \ mathbf {R} = (\ mathbf {R} - \ mathbf {S} ) + \ mathbf {S} = \ mathbf {d} + \ mathbf {S}}$

gdzie d jest wektorem od punktu odniesienia S do środka masy R . Użyj tego równania, aby obliczyć macierz bezwładności,

${\ Displaystyle [I_ {S}] = - \ suma _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} - R + d][r_ {i} - R + d].}$

Rozwiń to równanie, aby uzyskać

${\ Displaystyle [I_ {S}] = \ lewo (- \ suma _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} - R][ r_ {i} - R] \ po prawej) + \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1} ^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d]. }$

Pierwszym członem jest macierz bezwładności [ I _R ] względem środka masy. Drugi i trzeci wyraz to zero z definicji środka masy R ,

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) = 0.}$

A ostatni wyraz to całkowita masa układu pomnożona przez kwadrat macierzy skośno-symetrycznej [ d ] skonstruowanej z  d .

Wynikiem jest twierdzenie o osi równoległej,

${\ Displaystyle [I_ {S}] = [I_ {R}]-M [d] ^ {2},}$

gdzie d jest wektorem od punktu odniesienia S do środka masy R .

Tożsamości dla macierzy skośno-symetrycznej

W celu porównania sformułowań twierdzenia o osiach równoległych przy użyciu macierzy skośno-symetrycznych i sformułowania tensorowego przydatne są następujące tożsamości.

Niech [ R ] będzie macierzą skośno-symetryczną związaną z wektorem położenia R  = ( x ,  y ,  z ), wtedy iloczyn macierzy bezwładności staje się

${\ Displaystyle - [R][R] = - {\ zacznij {bmatrix} 0 & -z & y \ \ z & 0 & -x \ \ - y & x i 0 \ koniec {bmatrix}} ^ {2} = {\ zacznij {bmatrix} y ^ { 2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmacierz }}.}$

Ten iloczyn można obliczyć przy użyciu macierzy utworzonej przez iloczyn zewnętrzny [ R R ^T ] przy użyciu identyfikatora

${\ Displaystyle - [R] ^ {2} = | \ mathbf {R} | ^ {2} [E_ {3}] - [ \ mathbf {R} \ mathbf {R} ^ {T}] = {\ zacząć {bmatryca}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y ^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}} ,}$

gdzie [ E ₃ ] jest macierzą jednostkową 3 × 3 .

Zauważ też, że

${\ Displaystyle | \ mathbf {R} | ^ {2} = \ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R} = \ operatorname {tr} [\ mathbf {R} \ mathbf {R} ^ {T}], }$

gdzie tr oznacza sumę elementów diagonalnych macierzy produktu zewnętrznego, zwaną jej śladem.

Zobacz też

• Christian Huygens
• Jakob Steiner
• Moment bezwładności
• Twierdzenie o osi prostopadłej
• Sztywna dynamika ciała
• Reguła rozciągania

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie o osiach równoległych
• Tensor momentu bezwładności
• Film o tensorze bezwładności