Wielomiany Laguerre'a - Laguerre polynomials

W matematyce , że wielomiany laguerre'a , nazwany Edmond Laguerre'a (1834-1886), są rozwiązaniami równania LAGUERRE za:

${\ Displaystyle xy '' + (1-x) y '+ ny = 0}$

który jest równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu . To równanie ma rozwiązania nieosobowe tylko wtedy, gdy n jest nieujemną liczbą całkowitą.

Czasami nazwa wielomiany Laguerre'a jest używana do rozwiązań

${\ Displaystyle xy '' + (\ alpha + 1-x) y '+ ny = 0 ~.}$

gdzie n jest nadal nieujemną liczbą całkowitą. Następnie są one również nazywane uogólnionymi wielomianami Laguerre'a , jak zostanie to zrobione tutaj (alternatywnie skojarzone wielomiany Laguerre'a lub, rzadko, wielomiany Sonine , na cześć ich wynalazcy Nikolaya Yakovlevicha Sonina ).

Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja Laguerre'a jest rozwiązaniem, gdy n niekoniecznie jest nieujemną liczbą całkowitą.

Wielomiany Laguerre'a są również używane do kwadratury Gaussa do numerycznego obliczania całek postaci

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- x} \, dx.}$

Te wielomiany, zwykle oznaczane jako L ₀ ,  L ₁ , ..., są sekwencją wielomianów, którą można zdefiniować wzorem Rodriguesa ,

${\ Displaystyle L_ {n} (x) = {\ Frac {e ^ {x}} {n!}} {\ Frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ lewo (e ^ { -x} x ^ {n} \ right) = {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) ^ {n} x ^ {n} ,}$

zredukowanie do zamkniętej formy następnej sekcji.

Są to wielomiany ortogonalne w odniesieniu do iloczynu wewnętrznego

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) g (x) e ^ {- x} \, dx.}$

Sekwencja wielomianów Laguerre'a n ! L _n to sekwencja Sheffera ,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} L_ {n} = \ lewo ({\ Frac {d} {dx}} - 1 \ prawo) L_ {n-1}.}$

W wielomiany rook w kombinatoryki są mniej więcej takie same jak wielomianów LAGUERRE, aż do elementarnych zmian zmiennych. Zobacz dalej wielomiany Tricomi-Carlitza .

Wielomiany Laguerre'a powstają w mechanice kwantowej w radialnej części rozwiązania równania Schrödingera dla jednoelektronowego atomu. Opisują również statyczne funkcje Wignera układów oscylatorów w mechanice kwantowej w przestrzeni fazowej . Wchodzą dalej w mechanikę kwantową potencjału Morse'a i trójwymiarowego izotropowego oscylatora harmonicznego .

Fizycy czasami używają definicji wielomianów Laguerre'a, które są większe o współczynnik n ! niż zastosowana tutaj definicja. (Podobnie, niektórzy fizycy mogą używać nieco innych definicji tak zwanych powiązanych wielomianów Laguerre'a).

Kilka pierwszych wielomianów

Oto kilka pierwszych wielomianów Laguerre'a:

n	${\ Displaystyle L_ {n} (x) \,}$
0	${\ displaystyle 1 \,}$
1	${\ Displaystyle -x + 1 \,}$
2	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (x ^ {2} -4x + 2) \,}$
3	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {6}} (- x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6) \,}$
4	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {24}} (x ^ {4} -16x ^ {3} + 72x ^ {2} -96x + 24) \,}$
5	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {120}} (- x ^ {5} + 25x ^ {4} -200x ^ {3} + 600x ^ {2} -600x + 120) \,}$
6	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {720}} (x ^ {6} -36x ^ {5} + 450x ^ {4} -2400x ^ {3} + 5400x ^ {2} -4320x + 720) \, }$
n	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {n!}} ((- x) ^ {n} + n ^ {2} (- x) ^ {n-1} + ... + n ({n!} ) (- x) + n!) \,}$

Definicja rekurencyjna, forma zamknięta i funkcja generująca

Można również zdefiniować wielomiany Laguerre'a rekurencyjnie, definiując pierwsze dwa wielomiany jako

${\ Displaystyle L_ {0} (x) = 1}$

${\ Displaystyle L_ {1} (x) = 1-x}$

a następnie używając następującej relacji powtarzania dla dowolnego k  ≥ 1:

${\ Displaystyle L_ {k + 1} (x) = {\ Frac {(2k + 1-x) L_ {k} (x) -kL_ {k-1} (x)} {k + 1}}.}$

Ponadto,

${\ Displaystyle xL '_ {n} (x) = nL_ {n} (x) -nL_ {n-1} (x).}$

Przy rozwiązywaniu niektórych problemów z wartościami brzegowymi przydatne mogą być wartości charakterystyczne:

${\ Displaystyle L_ {k} (0) = 1, L_ {k} '(0) = - k.}$

Forma zamknięta to

${\ Displaystyle L_ {n} (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {k!} } x ^ {k}.}$

Następuje dla nich funkcja tworząca:

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n} L_ {n} (x) = {\ Frac {1} {1-t}} e ^ {- tx / (1- t)}.}$

Wielomiany o indeksie ujemnym można wyrazić za pomocą wielomianów o indeksie dodatnim:

${\ Displaystyle L _ {- n} (x) = e ^ {x} L_ {n-1} (- x).}$

Uogólnione wielomiany Laguerre'a

Dla dowolnego rzeczywistego α rozwiązania wielomianowe równania różniczkowego

${\ Displaystyle x \, y '' + (\ alfa + 1-x) \, y '+ n \, y = 0}$

nazywane są uogólnionymi wielomianami Laguerre'a lub skojarzonymi wielomianami Laguerre'a .

Można również zdefiniować rekurencyjnie uogólnione wielomiany Laguerre'a, definiując pierwsze dwa wielomiany jako

${\ Displaystyle L_ {0} ^ {(\ alfa)} (x) = 1}$

${\ Displaystyle L_ {1} ^ {(\ alfa)} (x) = 1 + \ alfa -x}$

a następnie używając następującej relacji powtarzania dla dowolnego k  ≥ 1:

${\ Displaystyle L_ {k + 1} ^ {(\ alfa)} (x) = {\ Frac {(2k + 1 + \ alfa -x) L_ {k} ^ {(\ alfa)} (x) - ( k + \ alpha) L_ {k-1} ^ {(\ alpha)} (x)} {k + 1}}.}$

Proste wielomiany Laguerre'a są specjalnym przypadkiem α = 0 uogólnionych wielomianów Laguerre'a:

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(0)} (x) = L_ {n} (x).}$

Formuła Rodrigues jest dla nich

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) & = {x ^ {- \ alpha} e ^ {x} \ ponad n!} {d ^ {n} \ ponad dx ^ {n}} \ left (e ^ {- x} x ^ {n + \ alpha} \ right) \\ [4pt] & = x ^ {- \ alpha} {\ frac {\ left ({\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) ^ {n}} {n!}} x ^ {n + \ alpha}. \ end {aligned}}}$

Ich funkcją generującą jest

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = {\ Frac {1} {(1-t) ^ { \ alpha +1}}} e ^ {- tx / (1-t)}.}$

Jawne przykłady i właściwości uogólnionych wielomianów Laguerre'a

• Funkcje Laguerre'a są definiowane przez konfluentne funkcje hipergeometryczne i transformację Kummera jako

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x): = {n + \ alfa \ wybierz n} M (-n, \ alfa + 1, x).}$

${\ displaystyle {n + \ alpha \ wybierz n}}$ jest uogólnionym współczynnikiem dwumianowym . Gdy n jest liczbą całkowitą, funkcja redukuje się do wielomianu stopnia n . Ma alternatywne wyrażenie

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = {\ Frac {(-1) ^ {n}} {n!}} U (-n, \ alfa + 1, x)}$

pod względem funkcji Kummera drugiego rodzaju .

• Zamkniętą postacią tych uogólnionych wielomianów Laguerre'a stopnia n jest

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {n + \ alfa \ wybierz ni} {\ Frac { x ^ {i}} {i!}}}$

wyprowadzone przez zastosowanie twierdzenia Leibniza do różniczkowania iloczynu do wzoru Rodriguesa.

• Kilka pierwszych uogólnionych wielomianów Laguerre'a to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {0} ^ {(\ alfa)} (x) & = 1 \\ L_ {1} ^ {(\ alfa)} (x) & = - x + (\ alfa + 1) \\ L_ {2} ^ {(\ alpha)} (x) & = {\ frac {x ^ {2}} {2}} - (\ alpha +2) x + {\ frac {(\ alpha + 1) (\ alpha +2)} {2}} \\ L_ {3} ^ {(\ alpha)} (x) & = {\ frac {-x ^ {3}} {6}} + {\ frac {(\ alpha +3) x ^ {2}} {2}} - {\ frac {(\ alpha +2) (\ alpha +3) x} {2}} + {\ frac {(\ alpha +1) ) (\ alpha +2) (\ alpha +3)} {6}} \ end {aligned}}}$

• Współczynnik wiodącego okresie jest (-1) ⁿ / n !;
• Stałe warunki , co oznacza wartość 0, to

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (0) = {n + \ alfa \ wybierz n} = {\ Frac {n ^ {\ alfa}} {\ Gamma (\ alfa +1)}} + O \ left (n ^ {\ alpha -1} \ right);}$

• Jeśli α jest nieujemne, to L _n ^{( α )} ma n rzeczywistych , ściśle dodatnich pierwiastków (zauważ, że jest to łańcuch Sturma ), które znajdują się w przedziale${\ Displaystyle \ lewo ((- 1) ^ {ni} L_ {ni} ^ {(\ alfa)} \ prawo) _ {i = 0} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ lewo (0, n + \ alfa + (n-1) {\ sqrt {n + \ alfa}} \, \ prawej].}$
• Zachowanie asymptotyczne wielomianów dla dużego n , ale ustalonych α i x > 0 , jest dane wzorem

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = {\ Frac {n ^ {{\ Frac {\ alfa} {2}} - {\ Frac {1} { 4}}}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {e ^ {\ frac {x} {2}}} {x ^ {{\ frac {\ alpha} {2}} + {\ frac {1} {4}}}}} \ sin \ left (2 {\ sqrt {nx}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ alpha - {\ frac {1} {2} } \ right) \ right) + O \ left (n ^ {{\ frac {\ alpha} {2}} - {\ frac {3} {4}}} \ right), \\ [6pt] & L_ {n } ^ {(\ alpha)} (- x) = {\ frac {(n + 1) ^ {{\ frac {\ alpha} {2}} - {\ frac {1} {4}}}} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} {\ frac {e ^ {- x / 2}} {x ^ {{\ frac {\ alpha} {2}} + {\ frac {1} {4}}} }} e ^ {2 {\ sqrt {x (n + 1)}}} \ cdot \ left (1 + O \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {n + 1}}} \ right) \ right), \ end {aligned}}}$

i podsumowując przez

${\ Displaystyle {\ Frac {L_ {n} ^ {(\ alfa)} \ lewo ({\ Frac {x} {n}} \ prawej)} {n ^ {\ alfa}}} \ około e ^ {x / 2n} \ cdot {\ frac {J _ {\ alpha} \ left (2 {\ sqrt {x}} \ right)} {{\ sqrt {x}} ^ {\ alpha}}},}$

gdzie jest funkcja Bessela . ${\ displaystyle J _ {\ alpha}}$

Jako całka konturowa

Biorąc pod uwagę funkcję generującą określoną powyżej, wielomiany można wyrazić w postaci całki konturu

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ Frac {e ^ {- xt / (1- t)}} {(1-t) ^ {\ alpha +1} \, t ^ {n + 1}}} \; dt,}$

gdzie kontur okrąża początek raz w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara bez zamykania istotnej osobliwości na 1

Relacje rekurencyjne

Wzór dodawania wielomianów Laguerre'a:

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa + \ beta +1)} (x + y) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} L_ {i} ^ {(\ alfa)} (x ) L_ {ni} ^ {(\ beta)} (y)}$ .

Wielomiany Laguerre'a spełniają relacje powtarzania

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} L_ {ni} ^ {(\ alfa + i)} (y) {\ Frac { (yx) ^ {i}} {i!}},}$

w szczególności

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa +1)} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} L_ {i} ^ {(\ alfa)} (x)}$

i

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ alfa - \ beta + ni-1 \ wybierz ni} L_ {i} ^ { (\ beta)} (x),}$

lub

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ alfa - \ beta + n \ wybierz ni} L_ {i} ^ {(\ beta -i)} (x);}$

co więcej

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) - \ suma _ {j = 0} ^ {\ Delta -1} {n + \ alfa \ wybierz nj} (- 1 ) ^ {j} {\ frac {x ^ {j}} {j!}} & = (- 1) ^ {\ Delta} {\ frac {x ^ {\ Delta}} {(\ Delta -1)! }} \ sum _ {i = 0} ^ {n- \ Delta} {\ frac {n + \ alpha \ choose n- \ Delta -i} {(ni) {n \ wybierz i}}} L_ {i} ^ {(\ alpha + \ Delta)} (x) \\ [6pt] & = (- 1) ^ {\ Delta} {\ frac {x ^ {\ Delta}} {(\ Delta -1)!}} \ sum _ {i = 0} ^ {n- \ Delta} {\ frac {n + \ alpha -i-1 \ choose n- \ Delta -i} {(ni) {n \ choose i}}} L_ {i} ^ {(n + \ alpha + \ Delta -i)} (x) \ end {aligned}}}$

Można ich użyć do wyprowadzenia czterech reguł za trzy punkty

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) & = L_ {n} ^ {(\ alfa +1)} (x) -L_ {n-1} ^ { (\ alpha +1)} (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {k} {k \ choose j} L_ {nj} ^ {(\ alpha + k)} (x), \\ [10 pkt ] nL_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) & = (n + \ alpha) L_ {n- 1} ^ {(\ alpha)} (x) -xL_ {n- 1} ^ {(\ alpha +1)} (x), \\ [10pt] & {\ text {lub}} \\ {\ frac {x ^ {k}} {k!}} L_ {n} ^ {(\ alpha)} ( x) & = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} {n + i \ choose i} {n + \ alpha \ choose ki} L_ {n + i} ^ {(\ alpha -k)} (x), \\ [10pt] nL_ {n} ^ {(\ alpha +1)} (x) & = (nx) L_ {n-1} ^ {(\ alpha +1)} (x) + (n + \ alpha) L_ {n-1} ^ {(\ alpha)} (x) \\ [10pt] xL_ {n} ^ {(\ alpha +1)} (x) & = (n + \ alpha) L_ {n-1} ^ {(\ alpha)} (x) - (nx) L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x); \ end {wyrównane}}}$

w połączeniu dają dodatkowe, użyteczne relacje rekurencyjne

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) & = \ lewo (2 + {\ Frac {\ alfa -1-x} {n}} \ prawej) L_ { n-1} ^ {(\ alpha)} (x) - \ left (1 + {\ frac {\ alpha -1} {n}} \ right) L_ {n-2} ^ {(\ alpha)} ( x) \\ [10pt] & = {\ frac {\ alpha + 1-x} {n}} L_ {n-1} ^ {(\ alpha +1)} (x) - {\ frac {x} { n}} L_ {n-2} ^ {(\ alpha +2)} (x) \ end {wyrównane}}}$

Ponieważ jest wielomianem monicznym stopnia w , istnieje częściowy rozkład frakcji${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {n! \, L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x)} {(\ alfa +1) _ {n}}} & = 1- \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {j} {\ frac {j} {\ alpha + j}} {n \ choose j} L_ {n} ^ {(- j)} ( x) \\ & = 1- \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {x ^ {j}} {\ alpha + j}} \, \, {\ frac {L_ {nj} ^ {(j)} (x)} {(j- 1)!}} \\ & = 1-x \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {L_ {ni} ^ {(- \ alpha)} (x) L_ {i-1} ^ {(\ alpha +1)} (- x)} {\ alpha + i}}. \ end {aligned}}}$

Druga równość wynika z następującej tożsamości, ważnej dla liczby całkowitej i i n i bezpośrednio od wyrażenia w zakresie wielomianów Charliera : ${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {(-x) ^ {i}} {ja!}} L_ {n} ^ {(w)} (x) = {\ Frac {(-x) ^ {n}} {n !}} L_ {i} ^ {(ni)} (x).}$

W przypadku trzeciej równości zastosuj czwartą i piątą tożsamość z tej sekcji.

Pochodne uogólnionych wielomianów Laguerre'a

Zróżnicowanie reprezentacji szeregów potęg uogólnionego wielomianu Laguerre'a k razy prowadzi do

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = {\ zaczynać {przypadków} (- 1) ^ {k} L_ {nk} ^ {(\ alpha + k)} (x) & {\ text {if}} k \ leq n, \\ 0 & {\ text {inaczej.}} \ End {cases}}}$

Wskazuje to na szczególny przypadek ( α = 0 ) powyższego wzoru: dla liczby całkowitej α = k można zapisać uogólniony wielomian

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(k)} (x) = (- 1) ^ {k} {\ Frac {d ^ {k} L_ {n + k} (x)} {dx ^ {k} }},}$

przesunięcie o k czasami powoduje mylenie ze zwykłą notacją w nawiasach dla pochodnej.

Ponadto zachodzi następujące równanie:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {k!}} {\ Frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} x ^ {\ alfa} L_ {n} ^ {(\ alfa)} ( x) = {n + \ alpha \ choose k} x ^ {\ alpha -k} L_ {n} ^ {(\ alpha -k)} (x),}$

który uogólnia się z formułą Cauchy'ego do

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa ')} (x) = (\ alfa' - \ alfa) {\ alfa '+ n \ wybierz \ alfa' - \ alfa} \ int _ {0} ^ { x} {\ frac {t ^ {\ alpha} (xt) ^ {\ alpha '- \ alpha -1}} {x ^ {\ alpha'}}} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (t ) \, dt.}$

Pochodna względem drugiej zmiennej α ma postać,

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {d \ alfa}} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} {\ Frac {L_ { i} ^ {(\ alpha)} (x)} {ni}}.}$

Jest to oczywiste z przedstawionej poniżej integralnej reprezentacji konturu.

Uogólnione wielomiany Laguerre'a są zgodne z równaniem różniczkowym

${\ Displaystyle xL_ {n} ^ {(\ alpha) \ prime \ prime} (x) + (\ alpha + 1-x) L_ {n} ^ {(\ alpha) \ prime} (x) + nL_ {n } ^ {(\ alpha)} (x) = 0,}$

które można porównać z równaniem, które spełnia k- ta pochodna zwykłego wielomianu Laguerre'a,

${\ displaystyle xL_ {n} ^ {[k] \ prime \ prime} (x) + (k + 1-x) L_ {n} ^ {[k] \ prime} (x) + (nk) L_ {n } ^ {[k]} (x) = 0,}$

gdzie tylko dla tego równania. ${\ Displaystyle L_ {n} ^ {[k]} (x) \ equiv {\ Frac {d ^ {k} L_ {n} (x)} {dx ^ {k}}}}$

W postaci Sturma – Liouville'a równanie różniczkowe to

${\ Displaystyle - \ lewo (x ^ {\ alpha +1} e ^ {- x} \ cdot L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime} = n \ cdot x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ cdot L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x),}$

co pokazuje, że L. ^(α)
_rz jest wektorem własnym dla wartości własnej n .

Ortogonalność

Uogólnione wielomiany Laguerre'a są ortogonalne nad [0, ∞) względem miary z funkcją ważenia x ^α e ^{- x} :

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {\ alfa} e ^ {- x} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) L_ {m} ^ {(\ alfa) } (x) dx = {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1)} {n!}} \ delta _ {n, m},}$

co wynika z

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {\ alpha '-1} e ^ {- x} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) dx = {\ alfa - \ alpha '+ n \ wybierz n} \ Gamma (\ alpha').}$

Jeśli oznacza rozkład Gamma, wówczas relację ortogonalności można zapisać jako ${\ Displaystyle \ Gamma (x, \ alfa +1,1)}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) L_ {m} ^ {(\ alfa)} (x) \ Gamma (x, \ alfa + 1,1) dx = {n + \ alpha \ choose n} \ delta _ {n, m},}$

Powiązany, symetryczny wielomian jądra ma reprezentacje ( wzór Christoffela-Darbouxa )

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} K_ {n} ^ {(\ alfa)} (x, y) &: = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ alfa +1)}} \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {L_ {i} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {i} ^ {(\ alpha)} (y)} {\ alpha + i \ choose i}} \\ [4pt] & = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} {\ frac {L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {n + 1} ^ { (\ alpha)} (y) -L_ {n + 1} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {n} ^ {(\ alpha)} (y)} {{\ frac {xy} {n + 1}} {n + \ alpha \ choose n}}} \\ [4pt] & = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} { \ frac {x ^ {i}} {i!}} {\ frac {L_ {ni} ^ {(\ alpha + i)} (x) L_ {ni} ^ {(\ alpha + i + 1)} ( y)} {{\ alpha + n \ choose n} {n \ choose i}}}; \ end {wyrównane}}}$

rekurencyjnie

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {(\ alfa)} (x, y) = {\ Frac {y} {\ alfa +1}} K_ {n-1} ^ {(\ alfa +1)} (x , y) + {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} {\ frac {L_ {n} ^ {(\ alpha +1)} (x) L_ {n} ^ {(\ alpha )} (y)} {\ alpha + n \ wybierz n}}.}$

Co więcej,

${\ Displaystyle y ^ {\ alfa} e ^ {- y} K_ {n} ^ {(\ alfa)} (\ cdot, y) \ do \ delta (y- \ cdot).}$

Nierówności Turana można wyprowadzić tutaj

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) ^ {2} -L_ {n-1} ^ {(\ alfa)} (x) L_ {n + 1} ^ {(\ alfa) } (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {\ alpha + n-1 \ choose nk} {n {n \ choose k}}} L_ {k} ^ {( \ alpha -1)} (x) ^ {2}> 0.}$

Następująca całka jest potrzebna w kwantowej obróbce atomu wodoru ,

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {\ alpha +1} e ^ {- x} \ lewo [L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) \ prawo] ^ { 2} dx = {\ frac {(n + \ alpha)!} {N!}} (2n + \ alpha +1).}$

Rozszerzenia serii

Niech funkcja ma (formalne) rozwinięcie szeregu

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} f_ {i} ^ {(\ alfa)} L_ {i} ^ {(\ alfa)} (x).}$

Następnie

${\ Displaystyle f_ {i} ^ {(\ alfa)} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {L_ {i} ^ {(\ alfa)} (x)} {i + \ alfa \ wybierz i}} \ cdot {\ frac {x ^ {\ alpha} e ^ {- x}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ cdot f (x) \, dx.}$

Szereg zbiega się w skojarzonej przestrzeni Hilberta L ² [0, ∞) wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {L ^ {2}} ^ {2}: = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {\ alpha} e ^ {- x}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} | f (x) | ^ {2} \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {i + \ alpha \ choose i} | f_ {i } ^ {(\ alpha)} | ^ {2} <\ infty.}$

Dalsze przykłady rozszerzeń

Monomiały są reprezentowane jako

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {n}} {n!}} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {n + \ alfa \ wybierz ni} L_ {i } ^ {(\ alpha)} (x),}$

podczas gdy dwumiany mają parametryzację

${\ Displaystyle {n + x \ wybierz n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {\ alpha ^ {i}} {i!}} L_ {ni} ^ {(x + i )} (\ alpha).}$

Prowadzi to bezpośrednio do

${\ Displaystyle e ^ {- \ gamma x} = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ gamma ^ {i}} {(1+ \ gamma) ^ {i + \ alfa +1 }}} L_ {i} ^ {(\ alpha)} (x) \ qquad {\ text {convergent iff}} \ Re (\ gamma)> - {\ tfrac {1} {2}}}$

dla funkcji wykładniczej. Niekompletny funkcja y ma reprezentację

${\ Displaystyle \ Gamma (\ alfa, x) = x ^ {\ alfa} e ^ {- x} \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {L_ {i} ^ {(\ alfa )} (x)} {1 + i}} \ qquad \ left (\ Re (\ alpha)> - 1, x> 0 \ right).}$

W mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej równanie Schrödingera dla atomu wodoru jest dokładnie rozwiązane przez rozdzielenie zmiennych we współrzędnych sferycznych. Radialną częścią funkcji falowej jest (uogólniony) wielomian Laguerre'a.

Wibroniczne przejścia w przybliżeniu Francka-Condona można również opisać za pomocą wielomianów Laguerre'a.

Twierdzenia o mnożeniu

Erdélyi podaje następujące dwa twierdzenia o mnożeniu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & t ^ {n + 1 + \ alfa} e ^ {(1-t) z} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (zt) = \ suma _ {k = n} ^ {\ infty} {k \ choose n} \ left (1 - {\ frac {1} {t}} \ right) ^ {kn} L_ {k} ^ {(\ alpha)} (z), \\ [6pt] & e ^ {(1-t) z} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (zt) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(1- t) ^ {k} z ^ {k}} {k!}} L_ {n} ^ {(\ alpha + k)} (z). \ end {aligned}}}$

Relacja do wielomianów Hermite'a

Uogólnione wielomiany Laguerre'a są powiązane z wielomianami Hermite'a :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {2n} (x) & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n} n! L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ { 2}) \\ [4pt] H_ {2n + 1} (x) & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n + 1} n! XL_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ {2}) \ end {aligned}}}$

gdzie H _n ( x ) to wielomiany Hermite'a oparte na funkcji ważenia exp (- x ² ), tak zwana „wersja fizyka”.

Z tego powodu uogólnione wielomiany Laguerre'a powstają podczas przetwarzania kwantowego oscylatora harmonicznego .

Związek z funkcjami hipergeometrycznymi

Wielomiany Laguerre'a można zdefiniować w kategoriach funkcji hipergeometrycznych , w szczególności konfluentnych funkcji hipergeometrycznych , jak

${\ Displaystyle L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) = {n + \ alfa \ wybierz n} M (-n, \ alfa + 1, x) = {\ Frac {(\ alfa +1) _ {n}} {n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, \ alpha + 1, x)}$

gdzie jest symbol Pochhammera (który w tym przypadku reprezentuje rosnącą silnię). ${\ displaystyle (a) _ {n}}$

Formuła Hardy-Hille

Uogólnione wielomiany Laguerre'a spełniają wzór Hardy'ego-Hille'a

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {n! \, \ Gamma \ lewo (\ alfa +1 \ w prawo)} {\ Gamma \ lewo (n + \ alfa +1 \ w prawo) )}} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {n} ^ {(\ alpha)} (y) t ^ {n} = {\ frac {1} {(1-t) ^ {\ alpha +1}}} e ^ {- (x + y) t / (1-t)} \, _ {0} F_ {1} \ left (; \ alpha +1; {\ frac {xyt} {(1-t) ^ {2}}} \ right),}$

gdzie szereg po lewej stronie zbiega się dla i . Używanie tożsamości ${\ displaystyle \ alpha> -1}$${\ displaystyle | t | <1}$

${\ Displaystyle \, _ {0} F_ {1} (; \ alfa +1; z) = \, \ Gamma (\ alfa +1) z ^ {- \ alfa / 2} ja _ {\ alfa} \ lewo ( 2 {\ sqrt {z}} \ right),}$

(patrz uogólniona funkcja hipergeometryczna ), można to również zapisać jako

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {n!} {\ Gamma (1+ \ alfa + n)}} L_ {n} ^ {(\ alfa)} (x) L_ {n} ^ {(\ alpha)} (y) t ^ {n} = {\ frac {1} {(xyt) ^ {\ alpha / 2} (1-t)}} e ^ {- (x + y) t / (1-t)} I _ {\ alpha} \ left ({\ frac {2 {\ sqrt {xyt}}} {1-t}} \ right).}$

Ta formuła jest uogólnieniem jądra Mehlera dla wielomianów Hermite'a , które można odzyskać z podanych powyżej relacji między wielomianami Laguerre'a i Hermite'a.

Zobacz też

• Wielomiany Angelescu
• Wielomiany Bessela
• Tryb poprzeczny , ważne zastosowanie wielomianów Laguerre'a do opisu natężenia pola w obrębie falowodu lub profilu wiązki laserowej.

Uwagi

Bibliografia

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 22” . Podręcznik funkcji matematycznych ze wzorami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi korektami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); wyd. Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, National Bureau of Standards; Publikacje Dover. p. 773. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . ‹Zobacz Tfd› LCCN   65-12253 ‹Zobacz Tfd› .
• G. Szegő, Wielomiany ortogonalne , wydanie 4, Amer. Matematyka. Soc. Colloq. Publ. , vol. 23, Amer. Matematyka. Soc., Providence, RI, 1975.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Orthogonal Polynomials” , w Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-19225-5 , MR   2723248
• B. Hiszpania, MG Smith, Funkcje fizyki matematycznej , Van Nostrand Reinhold Company, Londyn, 1970. Rozdział 10 dotyczy wielomianów Laguerre'a.
• „Wielomiany Laguerre'a” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein , „ Laguerre Polynomial ”, From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
• George Arfken i Hans Weber (2000). Metody matematyczne dla fizyków . Academic Press. ISBN   978-0-12-059825-0 .

Linki zewnętrzne

• Timothy Jones. „Wielomiany Legendre'a i Laguerre'a i elementarny model mechaniki kwantowej atomu wodoru” .
• Weisstein, Eric W. "Wielomian Laguerre'a" . MathWorld .