Problem z ruchomym magnesem i przewodem - Moving magnet and conductor problem

Przewodnik poruszający się w polu magnetycznym.

Problem poruszającego się magnesu i przewodnika to słynny eksperyment myślowy , pochodzący z XIX wieku, dotyczący skrzyżowania klasycznego elektromagnetyzmu i szczególnej teorii względności . W nim prąd w przewodniku poruszającym się ze stałą prędkością v , względem magnesu jest obliczany w układzie odniesienia magnesu iw układzie odniesienia przewodnika. Wielkość obserwowalna w eksperymencie, prąd, jest w obu przypadkach taka sama, zgodnie z podstawową zasadą względności , która mówi: „ Obserwować można tylko ruch względny ; nie ma absolutnego standardu spoczynku”. Jednak zgodnie z równaniami Maxwella ładunki w przewodniku podlegają sile magnetycznej w ramie magnesu i sile elektrycznej w ramie przewodnika. Wydaje się, że to samo zjawisko ma dwa różne opisy w zależności od układu odniesienia obserwatora.

Problem ten, wraz z eksperymentem Fizeau , aberracją światła , a bardziej pośrednio negatywnymi testami dryfu eteru, takimi jak eksperyment Michelsona-Morleya , stanowiły podstawę rozwoju teorii względności przez Einsteina.

Wstęp

Artykuł Einsteina z 1905 roku, który wprowadził świat do teorii względności, rozpoczyna się opisem problemu magnes/przewodnik. [1]

Wiadomo, że elektrodynamika Maxwella – jak zwykle rozumie się w obecnych czasach – w zastosowaniu do poruszających się ciał prowadzi do asymetrii, które nie wydają się być nieodłączne od zjawisk. Weźmy na przykład wzajemne oddziaływanie elektrodynamiczne magnesu i przewodnika. Obserwowane zjawisko zależy tu tylko od względnego ruchu przewodnika i magnesu, podczas gdy zwyczajowy pogląd wyraźnie rozróżnia dwa przypadki, w których jedno lub drugie z tych ciał jest w ruchu. Gdy bowiem magnes jest w ruchu, a przewodnik jest w spoczynku, w sąsiedztwie magnesu powstaje pole elektryczne o określonej energii, wytwarzające prąd w miejscach, w których znajdują się części przewodnika. Ale jeśli magnes jest nieruchomy, a przewodnik jest w ruchu, w sąsiedztwie magnesu nie powstaje żadne pole elektryczne. W przewodniku znajdujemy jednak siłę elektromotoryczną, której sama w sobie nie ma odpowiedniej energii, ale która powoduje – przy założeniu równości ruchu względnego w dwóch omawianych przypadkach – prądy elektryczne o tej samej drodze i natężeniu, co te, które zostały wytworzone. przez siły elektryczne w poprzednim przypadku.

—  A. Einstein, O elektrodynamice ciał w ruchu (1905)

Nadrzędnym wymogiem dotyczącym opisów w różnych ramach jest to, aby były one spójne . Spójność jest problemem, ponieważ mechanika Newtona przewiduje jedną transformację (tzw. niezmienniczość Galileusza ) dla sił, które napędzają ładunki i wywołują prąd, podczas gdy elektrodynamika wyrażona równaniami Maxwella przewiduje, że pola powodujące te siły przekształcają się inaczej (zgodnie z do niezmienniczości Lorentza ). Obserwacje aberracji światła, których kulminacją był eksperyment Michelsona-Morleya , ustaliły słuszność niezmienności Lorentza, a rozwój szczególnej teorii względności rozwiązał wynikający z niej spór z mechaniką Newtona. Szczególna teoria względności poprawiła transformację sił w ruchomych układach odniesienia, aby była spójna z niezmiennością Lorentza. Szczegóły tych przekształceń omówiono poniżej.

Oprócz spójności, dobrze byłoby skonsolidować opisy, aby wydawały się niezależne od ramek. Kluczem do opisu niezależnego od ramy jest obserwacja, że ​​pola magnetyczne w jednym układzie odniesienia stają się polami elektrycznymi w innym układzie. Podobnie solenoidowa część pól elektrycznych (część, która nie pochodzi z ładunków elektrycznych) staje się polem magnetycznym w innej ramie: to znaczy, że solenoidowe pola elektryczne i pola magnetyczne są aspektami tej samej rzeczy. Oznacza to, że paradoks różnych opisów może być jedynie semantyczny . Opis wykorzystujący potencjały skalarne i wektorowe φ i A zamiast B i E pozwala uniknąć pułapki semantycznej. Niezmienniczy wektor Lorentza A ^α = (φ / c , A ) zastępuje E i B i zapewnia opis niezależny od ramki (choć mniej trzewny niż opis E – B ). Alternatywną unifikacją opisów jest myślenie o jednostce fizycznej jako o tensorze pola elektromagnetycznego , jak opisano w dalszej części. Tensor zawiera zarówno pola E, jak i B jako składowe i ma tę samą formę we wszystkich układach odniesienia.

Tło

Pola elektromagnetyczne nie są bezpośrednio obserwowalne. Istnienie klasycznych pól elektromagnetycznych można wywnioskować z ruchu naładowanych cząstek, których trajektorie można zaobserwować. Pola elektromagnetyczne wyjaśniają obserwowane ruchy klasycznych naładowanych cząstek.

W fizyce silnym wymogiem jest, aby wszyscy obserwatorzy ruchu cząstki zgadzali się co do trajektorii cząstki. Na przykład, jeśli jeden obserwator zauważy, że cząstka zderza się ze środkiem tarczy, to wszyscy obserwatorzy muszą dojść do tego samego wniosku. Wymóg ten nakłada ograniczenia na naturę pól elektromagnetycznych i ich transformację z jednego układu odniesienia do drugiego. Nakłada również ograniczenia na sposób, w jaki pola wpływają na przyspieszenie, a tym samym na trajektorie naładowanych cząstek.

Być może najprostszym przykładem, do którego odniósł się Einstein w swoim artykule z 1905 roku wprowadzającym szczególną teorię względności , jest problem przewodnika poruszającego się w polu magnesu. W ramie magnesu przewodnik doświadcza siły magnetycznej . W ramie przewodnika poruszającego się względem magnesu przewodnik doświadcza siły wywołanej polem elektrycznym . Pole magnetyczne w ramie magnesu i pole elektryczne w ramie przewodnika muszą generować spójne wyniki w przewodniku. W czasach Einsteina w 1905 r. równania pola reprezentowane przez równania Maxwella były odpowiednio spójne. Jednak prawo ruchu Newtona musiało zostać zmodyfikowane, aby zapewnić spójne trajektorie cząstek.

Transformacja pól, przy założeniu transformacji Galileusza

Zakładając, że rama magnesu i rama przewodnika są powiązane transformacją Galileusza , łatwo jest obliczyć pola i siły w obu ramkach. To pokaże, że indukowany prąd jest rzeczywiście taki sam w obu ramkach. Jako produkt uboczny, ten argument przyniesie również ogólny wzór na pola elektryczne i magnetyczne w jednej ramce w kategoriach pól w innej ramce.

W rzeczywistości ramy nie są powiązane transformacją Galileusza, ale transformacją Lorentza . Niemniej jednak będzie to transformacja Galileusza do bardzo dobrego przybliżenia , przy prędkościach znacznie mniejszych niż prędkość światła.

Ilości niepodstawione odpowiadają ramce spoczynkowej magnesu, podczas gdy ilości pierwotne odpowiadają ramce spoczynkowej przewodnika. Niech v będzie prędkością przewodnika, widzianą z ramy magnesu.

Ramka magnetyczna

W pozostałej ramie magnesu pole magnetyczne jest pewnym stałym polem B ( r ), określonym przez strukturę i kształt magnesu. Pole elektryczne wynosi zero.

Ogólnie siła wywierana na cząstkę ładunku q w przewodniku przez pole elektryczne i pole magnetyczne wyraża się wzorem (jednostki SI):

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B})}$

gdzie to ładunek na cząstce, to prędkość cząstki, a F to siła Lorentza . Tutaj jednak pole elektryczne jest zerowe, więc siła na cząstce wynosi ${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}.}$

Rama przewodząca

W ramie przewodnika występuje zmienne w czasie pole magnetyczne B' związane z polem magnetycznym B w ramie magnesu zgodnie z:

${\ Displaystyle \ mathbf {B} '(\ mathbf {r'} t') = \ mathbf {B} (\ mathbf {r_ {t'}})}$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {t'}} = \ mathbf {r'} + \ mathbf {v} t'}$

W tym układzie, to jest w polu elektrycznym, a jego zwijanie jest przez równanie Maxwella Faradaya :

${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla \ razy e} '=-{\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B} '}{\ częściowy t'}}.}$

To w niewytłumaczalny sposób skutkuje:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}.$

Ładunek q w przewodniku będzie w spoczynku w ramie przewodnika. Dlatego człon siły magnetycznej siły Lorentza nie ma żadnego wpływu, a siła na ładunek jest wyrażona przez

${\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q \ mathbf {E} '= q \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}.$

To pokazuje, że siła jest taka sama w obu ramkach (jak można by się spodziewać), a zatem wszelkie obserwowalne konsekwencje tej siły, takie jak indukowany prąd, byłyby również takie same w obu ramkach. Dzieje się tak pomimo faktu, że siła jest postrzegana jako siła elektryczna w ramie przewodnika, ale siła magnetyczna w ramie magnesu.

Wzór na transformację Galileusza dla pól

Podobny argument można wysnuć, jeśli ramka magnesu zawiera również pola elektryczne. ( Równanie Ampere-Maxwella również wchodzi w grę, wyjaśniając, w jaki sposób poruszające się pole elektryczne w ramie przewodnika wpływa na pole magnetyczne).

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} '= \ mathbf {B} - {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {E}}$

z c z prędkością światła w wolnej przestrzeni .

Wstawiając te reguły transformacji do pełnych równań Maxwella , można zauważyć, że jeśli równania Maxwella są prawdziwe w jednej klatce, to są prawie prawdziwe w drugiej, ale zawierają niepoprawne terminy pro według transformacji Lorentza , a także równania transformacji pola należy zmienić zgodnie z poniższymi wyrażeniami.

Transformacja pól przewidywana przez równania Maxwella

W ramie poruszającej się z prędkością v , pole E w poruszającym się ramie, gdy nie ma pola E w nieruchomej ramie magnesu , równania Maxwella przekształcają się jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ gamma \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-{(v/c)} ^ {2}}}}}$

nazywa się współczynnikiem Lorentza , a c jest prędkością światła w wolnej przestrzeni . Wynik ten jest konsekwencją wymagania, aby obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych uzyskiwali tę samą postać równań Maxwella. W szczególności wszyscy obserwatorzy muszą widzieć tę samą prędkość światła c . To wymaganie prowadzi do transformacji Lorentza dla przestrzeni i czasu. Zakładając transformację Lorentza, niezmienność równań Maxwella prowadzi do powyższej transformacji pól dla tego przykładu.

W konsekwencji siła działająca na ładunek jest

${\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q \ mathbf {E} '= q \ gamma \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}.$

Wyrażenie to różni się od wyrażenia uzyskanego z nierelatywistycznego prawa dynamiki Newtona o czynnik . Szczególna teoria względności modyfikuje przestrzeń i czas w taki sposób, że siły i pola przekształcają się konsekwentnie. ${\ Displaystyle \ gamma}$

Modyfikacja dynamiki pod kątem zgodności z równaniami Maxwella

Rysunek 1: Pręt przewodzący widziany z dwóch ram inercyjnych; w jednej klatce sztanga porusza się z prędkością v ; w zagruntowanej ramie pręt jest nieruchomy, ponieważ zagruntowana rama porusza się z taką samą prędkością jak pręt. B -field zależy od położenia w tej x -direction

Siła Lorentza ma tę samą postać w obu ramkach, choć pola różnią się, a mianowicie:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ po lewej [\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B} \ po prawej].}$

Patrz rysunek 1. Aby uprościć, niech pole magnetyczne jest skierowane w kierunku z i zmienia się wraz z położeniem x , a przewodnik niech przemieszcza się w dodatnim kierunku x z prędkością v . W związku z tym, w ramach magnesu, gdzie przewód przesuwa się punkty siły Lorentza w ujemnym a -direction prostopadle zarówno do wektora prędkości, oraz B -field. Siła działająca na ładunek, tutaj tylko ze względu na pole B , wynosi

${\displaystyle F_{y}=-qvB}$

podczas gdy w ramie przewodnika, w której porusza się magnes, siła jest również w ujemnym kierunku y , a teraz jest spowodowana tylko polem E o wartości:

${\ Displaystyle {F_ {y}}'=qE'=-q\gamma VB.}$

Te dwie siły różnią się współczynnikiem Lorentza γ. Ta różnica jest oczekiwana w teorii relatywistycznej, jednak ze względu na zmianę czasoprzestrzeni między klatkami, jak omówiono dalej.

Względność przyjmuje transformację Lorentza czasoprzestrzeni sugerowaną przez niezmienność równań Maxwella i nakłada ją również na dynamikę (rewizja praw dynamiki Newtona ). W tym przykładzie transformacja Lorentza wpływa tylko na kierunek x (ruch względny dwóch klatek przebiega wzdłuż kierunku x ). Relacje łączące czas i przestrzeń to ( liczby pierwsze oznaczają poruszającą się ramę przewodnika):

${\ Displaystyle x'=\gamma (x-vt),\quad x=\gamma (x'+vt'),}$

${\ Displaystyle t '= \ gamma (t-{\ Frac {vx} {c ^ {2}}}), \ quad t = \ gamma (t '+ {\ Frac {vx'} {c ^ {2} }}).}$

Te przekształcenia prowadzą do zmiany składowej y siły :

${\ Displaystyle {F_ {y}}' = \ gamma F_ {y}.}$

Oznacza to, że w ramach niezmienności Lorentza siła nie jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, w przeciwieństwie do niezmienności Galileusza. Ale z wcześniejszej analizy opartej na prawie siły Lorentza:

${\ Displaystyle \ gamma F_ {y} = -q \ gamma VB \ quad {F_ {y}} '= -q \ gamma VB}$

co całkowicie się zgadza. Tak więc siła na ładunku nie jest taka sama w obu układach, ale przekształca się zgodnie z oczekiwaniami zgodnie z teorią względności.

Zobacz też

Referencje i uwagi

Dalsza lektura

• Einstein, A. (1916). Względność: teoria szczególna i ogólna . Nowy Jork: Korona. Numer ISBN 0-517-02961-8.
• Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Piaski, Mateusz (2006). Wykłady Feynmana z fizyki . Tom 2. s. 13-6 Rozdział 13. ISBN 0-8053-9045-6. |volume=ma dodatkowy tekst ( pomoc ) (Względność pól magnetycznych i elektrycznych)

• Misner, Karol; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Grawitacja . San Francisco: WH Freeman. Numer ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD i Lifshitza, EM (1975). Klasyczna teoria pól (czwarta poprawiona angielska red.). Oksford: Pergamon. Numer ISBN 0-08-018176-7.
• Jackson, John D. (1998). Elektrodynamika klasyczna (3rd ed.) . Wileya. Numer ISBN 0-471-30932-X.
• C. Mollera (1976). Teoria względności (druga ed.). Oxford Wielka Brytania: Oxford University Press. Numer ISBN 0-19-560539-X. OCLC  220221617 .

Zewnętrzne linki

• Magnesy i przewodniki w szczególnej teorii względności