System sąsiedztwa - Neighbourhood system

W topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki , system sąsiedztwa , kompletny system sąsiedztw lub filtr sąsiedztwa dla punktu jest zbiorem wszystkich sąsiedztw punktu . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

Definicje

jakiś otwarte sąsiedztwo z podzbioruzprzestrzeni topologicznejjest jakikolwiekotwartyzbiórtaki, że${\displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle S\subseteq V.}$Sąsiedztwo z${\displaystyle S}$INjestdowolnypodzbiórtaki sposób, żezawierajakąśotwartą sąsiedztwo; jawnie, to znaczy, żejest otoczeniemwwtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewien zbiór otwartytak, że System sąsiedztwo dla każdego niepustego zbiorujestfiltrzwany filtr sąsiedztwo dlaFiltr sąsiedztwa za punktjest taki sam, jak w okolicy filtrzestawu singletonowego${\ Displaystyle X}$${\displaystyle T\subseteq X}$${\ Displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X.}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle S.}$${\displaystyle x\wX}$ ${\ Displaystyle \ {x \}.}$

Co ważne, „sąsiedztwo” nie musi być otwartym zestawem; te dzielnice, które również są otwartymi zbiorami, są znane jako „otwarte dzielnice”. Podobnie te dzielnice, które również są zamkniętymi zbiorami, są znane jakoosiedla zamknięte . Istnieje wiele innych typów sąsiedztw wykorzystywanych w topologii i dziedzinach pokrewnych, takich jakanaliza funkcjonalna. Rodzina wszystkich dzielnic posiadających pewną „użyteczną” nieruchomość często stanowi podstawę sąsiedztwa, chociaż wiele razy te dzielnice niekoniecznie są otwarte.

Podstawa

A podstawa sąsiedztwa lubpodstawa lokalna (lubbaza sąsiedztwa lubbaza lokalna ) dla punktujestbaząfiltra sąsiedztwa; oznacza to, że jest to podzbiór ${\displaystyle x}$

tak, że dla wszystkich istnieje coś takiego, że dla każdego sąsiedztwa możemy znaleźć sąsiedztwo w bazie sąsiedztwa zawartej w${\ Displaystyle V \ w {\ mathcal {N}} (x),}$${\ Displaystyle B \ w {\ matematyczny {B}}}$${\displaystyle B\subseteq V.}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle V.}$

Równoważnie, jest bazą lokalną na wtedy i tylko wtedy, gdy filtr sąsiedztwa można odzyskać w takim sensie, że zachodzi następująca równość: ${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$

Rodzina jest podstawą dla sąsiedztwo wtedy i tylko wtedy, gdy jest cofinal podzbiór z w odniesieniu do częściowego porządku (najważniejsze, to częściowy porządek jest rozszerzeniem relacja, a nie podzbiór relacja). ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}}}$${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathcal {N}} (x), \ supseteq \ prawej)}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$

Podstawa

A podbaza sąsiedztwa ojest rodzinąpodzbiorów, zktórych każdy zawieratakie, że zbiór wszystkich możliwych skończonych przecięć elementówtworzy bazę sąsiedztwa o${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle x.}$

Przykłady

• W każdej przestrzeni topologicznej system sąsiedztwa dla punktu jest również podstawą sąsiedztwa dla tego punktu.
• Zbiór wszystkich otwartych sąsiedztw w punkcie stanowi podstawę sąsiedztwa w tym punkcie.
• Biorąc pod uwagę przestrzeń o

niedyskretnej topologii, system sąsiedztwa dla dowolnego punktu zawiera tylko całą przestrzeń,${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = \ {X \}}$

W przestrzeni metrycznej dla dowolnego punktu sekwencja

otwartych kulek wokół promienia tworzy policzalną podstawę sąsiedztwa. Oznacza to, że każda przestrzeń metryczna jest policzalna od początku .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ lewo \ {B_ {1/n}; n> 0 {\ tekst {liczba całkowita}} \ po prawej \}.}$

W słabej topologii na przestrzeni miar na przestrzeni baza sąsiedztwa o której jest dana przez: ${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu}$

$${\ Displaystyle \ lewo \ {\ mu \ w {\ mathcal {M}} (E): \ lewo | \ mu f_ {i} - \ nu f_ {i} \ prawo | < r_ {i}, \, ja =1,\ldots ,n\w prawo\}}$$

gdzie są ciągłymi funkcjami ograniczonymi od do liczb rzeczywistych i są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. ${\displaystyle f_{i}}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle r_{1},\ldots,r_{n}}$

Nieruchomości

W przestrzeni seminormatywnej , czyli przestrzeni wektorowej z topologią indukowaną przez seminormę , wszystkie systemy sąsiedztwa mogą być skonstruowane przez translację systemu sąsiedztwa dla początku,

$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = {\ mathcal {N}} (0) + x.}$$

Dzieje się tak, ponieważ z założenia dodawanie wektorów jest oddzielnie ciągłe w indukowanej topologii. Dlatego topologia jest określana przez system sąsiedztwa w punkcie początkowym. Ogólnie rzecz biorąc, jest to prawdą, gdy przestrzeń jest grupą topologiczną lub topologia jest zdefiniowana przez pseudometrykę .

Zobacz też

• Baza (topologia)  — zbiór otwartych zbiorów wystarczający do zdefiniowania topologii
• Filtr (matematyka)  – W matematyce specjalny podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego
• Filtry w topologii  — zastosowanie filtrów do opisania i scharakteryzowania wszystkich podstawowych pojęć topologicznych i wyników.
• Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa  –

Przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte

Sąsiedztwo (matematyka)  – Otwarty zbiór w przestrzeni topologicznej zawierającej dany punkt lub podzbiór

Subbase  – zbiór podzbiorów, których zamknięcie przez skończone przecięcia tworzą podstawę topologii

Bibliografia

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia ogólna: Rozdziały 1–4 [ Topologie Générale ]. Elementy matematyczne . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. Ogólna topologia 2: Rozdziały 5–10 [ Topologie Générale ]. Elementy matematyczne . 4 . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063 .
• Dixmier, Jacques (1984). Ogólna topologia . Teksty licencjackie z matematyki. Tłumaczone przez Berberian, SK Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Ogólna topologia . Dover Książki o matematyce (pierwsze wyd.). Mineola, NY : Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .