Dziewięciopunktowy środek - Nine-point center

Trójkąt przedstawiający jego okrąg i środek (czarny), wysokości i ortocentrum (czerwony) oraz dziewięciopunktowy okrąg i dziewięciopunktowy środek (niebieski)

W geometrii The centrum dziewięciu punktów jest centrum trójkąta , punkt zdefiniowany z danego trójkąta w sposób, który nie zależy od umiejscowienia lub skali trójkąta. Jest tak nazywany, ponieważ jest środkiem dziewięciopunktowego koła , koła, które przechodzi przez dziewięć znaczących punktów trójkąta: punkty środkowe trzech krawędzi, stopy trzech wysokości i punkty w połowie odległości między ortocentrum a każdy z trzech wierzchołków. Środek dziewięć punkt znajduje się na liście punktu X (5), Clark Kimberling „s Encyclopedia of centrów Triangle .

Nieruchomości

Centrum dziewięć-punkt N leży na linii Euler jej trójkąta, na środkowym pomiędzy tym trójkąta orthocenter H i circumcenter O . Środek ciężkości G również leży na tej samej linii, 2/3 drogi od ortocentrum do środka okręgu, więc

${\ Displaystyle NIE = NH = 3NG.}$

Tak więc, jeśli znane są dowolne dwa z tych czterech centrów trójkątów, to na ich podstawie można określić położenie pozostałych dwóch.

Andrew Guinand udowodnił w 1984 roku, jako część tego, co jest obecnie znany jako problemu określania trójkąt Eulera , że jeśli pozycje te ośrodki są podane dla nieznanego trójkąta, wówczas incenter z kłamstwami trójkąt wewnątrz orthocentroidal koło (okrąg o segment od środka ciężkości do ortocentrum jako jego średnica). Jedynym punktem wewnątrz tego okręgu, który nie może być środkiem, jest dziewięciopunktowy środek, a każdy inny wewnętrzny punkt okręgu jest środkiem unikalnego trójkąta.

Odległość od dziewięciopunktowego środka do wgłębienia I. jest zadowalająca

${\ displaystyle w <{\ tfrac {1} {2}} IO,}$

${\ Displaystyle IN = {\ tfrac {1} {2}} (R-2r) <{\ Frac {R} {2}},}$

${\ Displaystyle 2R \ cdot IN = OI ^ {2},}$

gdzie R i r są odpowiednio promieniem circumradius i inradius .

Centrum dziewięciu punktów jest circumcenter w środkowej trójkąta danego trójkąta, circumcenter z orthic trójkąta danego trójkąta i circumcenter trójkąta Eulera. Mówiąc bardziej ogólnie, jest to środek dowolnego trójkąta zdefiniowanego z trzech z dziewięciu punktów tworzących dziewięciopunktowe koło.

Dziewięciopunktowy środek leży w środku ciężkości czterech punktów: trzech wierzchołków trójkąta i jego ortocentrum .

Te linie Eulera czterech trójkątów utworzonych przez układ orthocentric (zestaw czterech punktów, tak że każda pada orthocenter trójkąta o wierzchołkach w pozostałych trzech punktach) są zbieżne w dziewięciostopniowej środkowej Wspólną cechą wszystkich tych trójkątów.

Z dziewięciu punktów tworzących okrąg dziewięciopunktowy, trzy punkty środkowe odcinków linii między wierzchołkami a ortocentrum są odbiciami punktów środkowych trójkąta wokół jego dziewięciopunktowego środka. Zatem dziewięciopunktowy środek tworzy środek odbicia punktowego, który odwzorowuje trójkąt środkowy na trójkąt Eulera i odwrotnie.

Zgodnie z twierdzeniem Lestera , dziewięciopunktowy środek leży na wspólnym okręgu z trzema innymi punktami: dwoma punktami Fermata i środkiem do opisania.

Punkt Kosnity trójkąta, środek trójkąta związany z twierdzeniem Kosnity , jest izogonalnym sprzężeniem dziewięciopunktowego środka.

Współrzędne

Współrzędne trójliniowe dla dziewięciopunktowego środka to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ cos (BC): \ cos (CA): \ cos (AB) \\ = {} i \ cos A + 2 \ cos B \ cos C: \ cos B + 2 \ cos C \ cos A: \ cos C + 2 \ cos A \ cos B \\ = {} & \ cos A-2 \ sin B \ sin C: \ cos B-2 \ sin C \ sin A: \ cos C-2 \ sin A \ sin B \\ = {} & bc [a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2}) - (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ { 2}]: ca [b ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2}) - (c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2}]: ab [c ^ {2 } (a ^ {2} + b ^ {2}) - (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2}]. \ end {aligned}}}$

W barycentryczne współrzędne punktu środkowego dziewięciu punktów są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i a \ cos (BC): b \ cos (CA): c \ cos (AB) \\ = {} i a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2 }) - (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}: b ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2}) - (c ^ {2} -a ^ { 2}) ^ {2}: c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2}. \ End {aligned} }}$

Zatem jeśli i tylko wtedy, gdy dwa kąty wierzchołków różnią się od siebie o więcej niż 90 °, jedna ze współrzędnych barycentrycznych jest ujemna, a więc dziewięciopunktowy środek znajduje się poza trójkątem.

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Centrum dziewięciopunktowe” . MathWorld .