Nigdzie ciągła funkcja - Nowhere continuous function

W matematyce , o Funkcja Dirichleta , zwany także wszędzie funkcja nieciągła , to funkcja nie jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny . Jeśli f jest funkcją od liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, to f nie jest nigdzie ciągła, jeśli dla każdego punktu x istnieje ε > 0 takie, że dla każdego δ > 0 możemy znaleźć punkt y taki, że 0 <| x - y | < δ i | f ( x ) - f ( y ) | ≥ ε . Dlatego bez względu na to, jak blisko jesteśmy jakiegoś ustalonego punktu, istnieją jeszcze bliższe punkty, w których funkcja przyjmuje wartości nie z sąsiedztwa.

Bardziej ogólne definicje tego rodzaju funkcji można uzyskać zastępując wartość bezwzględną funkcją odległości w przestrzeni metrycznej lub stosując definicję ciągłości w przestrzeni topologicznej .

Funkcja Dirichleta

Przykładem takiej czynności jest funkcją wskaźnik z liczb wymiernych , znany również jako funkcja Dirichlet . Ta funkcja jest oznaczona jako I _Q lub 1 _Q i ma domenę i domenę kodową równe liczbom rzeczywistym . I _Q ( x ) jest równe 1, jeśli x jest liczbą wymierną, a 0, jeśli x nie jest wymierne.

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli E jest podzbiorem przestrzeni topologicznej X takiej, że zarówno E, jak i dopełnienie E są gęste w X , to funkcja o wartościach rzeczywistych, która przyjmuje wartość 1 na E i 0 na dopełnieniu E, nie będzie nigdzie ciągły. Funkcje tego typu były pierwotnie badane przez Petera Gustava Lejeune Dirichleta .

Charakterystyka hiperrealna

Prawdziwa funkcja f jest ciągła, jeżeli jej nigdzie naturalny hiperrzeczywista rozszerzenie ma tę własność, że każdy x jest nieskończenie blisko y tak, że różnica f ( x ) - f ( y ) jest odczuwalny (czyli nie nieskończenie ).

Zobacz też

• Twierdzenie Blumberga  - nawet jeśli funkcja rzeczywista f  : ℝ → ℝ nie jest nigdzie ciągła, istnieje gęsty podzbiór D ℝ taki, że ograniczenie f do D jest ciągłe.
• Funkcja Thomae'a (znana również jako funkcja popcornu) - funkcja, która jest ciągła przy wszystkich liczbach niewymiernych i nieciągła przy wszystkich liczbach wymiernych.
• Funkcja Weierstrassa  - funkcja ciągła wszędzie (w swojej domenie) i nigdzie nie różniczkowalna .

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• „Funkcja Dirichleta” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkcja Dirichleta - z MathWorld
• Zmodyfikowana funkcja Dirichleta zarchiwizowana 02.05.2019 w Wayback Machine przez George'a Becka, The Wolfram Demonstrations Project .