Funkcja wskaźnika - Indicator function

Trójwymiarowy wykres funkcji wskaźnika, pokazany na kwadratowej dwuwymiarowej domenie (zestaw X ): część „podniesiona” nakłada się na te dwuwymiarowe punkty, które są członkami „wskazanego” podzbioru ( A ).

W matematyce An funkcji wskaźnika lub funkcja charakterystyczna z podzbioru A o zadanej X jest funkcja określona od X do zestawu dwóch elementów , zwykle określane jako , i wskazuje, czy elementem w X należy do A ; jeśli element w X należy do A , a jeśli nie należy do A . Jest także oznaczany przez podkreślenie faktu, że funkcja ta identyfikuje podzbiór A z X . ${\ Displaystyle \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ dwukropek X \ do \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x) = 1}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x) = 0}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle I_ {A}}$

W innych kontekstach, takich jak informatyka , jest to częściej opisywane jako funkcja predykatu logicznego (do włączenia zestawu testowego).

Funkcja Dirichleta jest przykładem funkcji wskaźnikowej i jest wskaźnikiem wymiernych .

Definicja

Funkcja wskaźnika podzbioru A zbioru X jest funkcją

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ dwukropek X \ do \ {0,1 \}}$

zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x): = {\ zacząć {przypadki} 1 ~ i {\ tekst {jeśli}} ~ x \ w A ~, \ \ 0 ~ i {\ tekst {jeśli }}~x\notin A~.\end{przypadki}}}$

Wspornik Iverson zapewnia równoważną zapisie lub ⧙ x ε ⧘ , które mają być stosowane zamiast . ${\displaystyle [x\w A]}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x)}$

Funkcja jest czasami oznaczana , , K _A lub nawet po prostu . ${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$${\ Displaystyle I_ {A}}$${\ Displaystyle \ chi _ {A}}$${\ Displaystyle A}$

Notacja i terminologia

Notacja służy również do oznaczenia funkcji charakterystycznej w analizie wypukłej , która jest definiowana tak, jak przy użyciu odwrotności standardowej definicji funkcji wskaźnika. ${\ Displaystyle \ chi _ {A}}$

Pokrewnym pojęciem w statystyce jest pojęcie zmiennej fikcyjnej . (Nie należy tego mylić z „zmiennymi fikcyjnymi”, ponieważ termin ten jest zwykle używany w matematyce, zwany także zmienną powiązaną ).

Termin „ funkcja charakterystyczna ” ma w klasycznej teorii prawdopodobieństwa znaczenie niepowiązane . Z tego powodu tradycyjni probabiliści posługują się terminem funkcja wskaźnikowa dla zdefiniowanej tu funkcji prawie wyłącznie, podczas gdy matematycy z innych dziedzin częściej używają terminu funkcja charakterystyczna do opisu funkcji, która wskazuje na przynależność do zbioru.

W logice rozmytej i nowoczesnej logika wielowartościowa , predykaty są charakterystyczne funkcje o rozkładzie prawdopodobieństwa . Oznacza to, że ścisłe wartościowanie predykatu prawda/fałsz zostaje zastąpione wielkością interpretowaną jako stopień prawdziwości.

Podstawowe właściwości

Wskaźnik lub charakterystyka funkcja podzbioru A pewnego zbioru X odwzorowuje elementów X w zakresie {0, 1}.

Odwzorowanie to suriekcją tylko przy jest niepusty podzbiorem z X . Jeśli A ≡ X , to 1 _A = 1. Analogicznie, jeśli A ≡ ∅ to 1 _A = 0.

Poniżej kropka oznacza mnożenie, 1,1 = 1, 1,0 = 0 itd. „+” i „−” oznaczają dodawanie i odejmowanie. „ ” i „ ” to odpowiednio przecięcie i połączenie. ${\ Displaystyle \ czapka}$${\ Displaystyle \ filiżanka}$

Jeśli i są dwoma podzbiorami , to ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ czapka B} = \ min \ {\ mathbf {1} _ {A} \ mathbf {1} _ {B} \} = \ mathbf {1} _ {A }\cdot \mathbf {1} _{B},}$

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ filiżanka B} = \ max \ {{\ mathbf {1} _ {A} \ mathbf {1} _ {B}} \} = \ mathbf {1} _ {A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},}$

a funkcja wskaźnik dopełniacza z IE jest: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A ^ {\ uzupełnienie}} = 1 - \ mathbf {1} _ {A}}$.

Bardziej ogólnie, załóżmy, że jest zbiorem podzbiorów X . Dla każdego : ${\ Displaystyle A_ {1}, \ kropki, A_ {n}}$${\displaystyle x\wX}$

${\ Displaystyle \ prod _ {k \ w I} (1-\ mathbf {1} _ {A_ {k}} (x))}$

jest wyraźnie iloczynem zer i jedynek. Ten produkt ma wartość 1 dokładnie w tych, które nie należą do żadnego z zestawów, a w przeciwnym razie wynosi 0. To jest ${\displaystyle x\wX}$${\ Displaystyle A_ {k}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {k \ w I} (1-\ mathbf {1} _ {A_ {k}}) = \ mathbf {1} _ {X-\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$

Rozszerzenie produktu z lewej strony,

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1 - \ suma _ {F \ subseteq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (-1) ^ { |F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1 )^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$

gdzie jest kardynalność F . Jest to jedna z form zasady włączenia-wykluczenia . ${\displaystyle |F|}$

Jak zasugerowano w poprzednim przykładzie, funkcja indykatora jest użytecznym urządzeniem notacyjnym w kombinatoryce . Notacja stosowana jest również w innych miejscach, na przykład w teorii prawdopodobieństwa : jeśli X jest przestrzenią prawdopodobieństwa z miarą prawdopodobieństwa, a A jest zbiorem mierzalnym , to staje się zmienną losową, której wartość oczekiwana jest równa prawdopodobieństwu A : ${\displaystyle \operatorname {P}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A}) = \ int _ {X} \ mathbf {1} _ {A} (x) \ d \ operatorname {P} = \ int _ {A}d\nazwa operatora {P} =\nazwa operatora {P} (A)}$.

Ta tożsamość jest używana w prostym dowodzie nierówności Markowa .

W wielu przypadkach, takich jak teoria rzędów , można zdefiniować odwrotność funkcji wskaźnika. Jest to powszechnie nazywane uogólnioną funkcją Möbiusa , jako uogólnienie odwrotności funkcji wskaźnika w elementarnej teorii liczb , funkcji Möbiusa . (Patrz akapit poniżej o użyciu odwrotności w klasycznej teorii rekurencji).

Średnia, wariancja i kowariancja

Biorąc pod uwagę przestrzeń prawdopodobieństwa z , zmienna losowa wskaźnika jest zdefiniowana przez, jeśli inaczej${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega {\ mathcal {F}} \ operatorname {P})}$${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ dwukropek \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 1}$${\ Displaystyle \ omega \ w A}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 0.}$

Mieć na myśli

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega )) = \ operatorname {P} (A)}$ (zwany także „mostem podstawowym”).

Zmienność

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega )) = \ operatorname {P} (A) (1-\ operatorname {P} (A))}$

Kowariancja

${\ Displaystyle \ operatorname {Cov} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega), \ mathbf {1} _ {B} (\ omega )) = \ operatorname {P} (A \ czapka B) - \nazwa operatora {P} (A)\nazwa operatora {P} (B)}$

Funkcja charakterystyczna w teorii rekurencji, funkcja reprezentująca Gödla i Kleene'a

Kurt Gödel opisał funkcję reprezentującą w swoim artykule z 1934 r. „O nierozstrzygalnych twierdzeniach formalnych systemów matematycznych”:

„Powinno odpowiadać każdej klasie lub relacji R a reprezentującej funkcję φ( x ₁ , ... x _n ) = 0 jeśli R ( x ₁ , ... x _n ) i φ ( x ₁ , ... x _n ) = 1 jeśli Ź R ( x ₁ ... x _n ). "(dalej "Kontakty" oznacza logiczny inwersja oznacza "nie"),

Kleene (1952) podaje tę samą definicję w kontekście pierwotnych funkcji rekurencyjnych, ponieważ funkcja φ predykatu P przyjmuje wartości 0, jeśli predykat jest prawdziwy i 1, jeśli predykat jest fałszywy.

Na przykład, ponieważ iloczyn funkcji charakterystycznych φ ₁ *φ ₂ * ... *φ _n = 0 ilekroć którakolwiek z funkcji jest równa 0, pełni on rolę logicznego OR: IF φ ₁ = 0 OR φ ₂ = 0 OR ... OR φ _n = 0 TO ich iloczyn wynosi 0. To, co wydaje się współczesnemu czytelnikowi logiczne odwrócenie funkcji reprezentującej, tj. funkcja reprezentująca wynosi 0, gdy funkcja R jest „prawdziwa” lub spełniona”, odgrywa użyteczną rolę w definicji funkcji logicznych OR, AND i IMPLY Kleene'a (s. 228), operatory mu ograniczone- (s. 228) i nieograniczone- (s. 279 ff) (Kleene (1952)) oraz funkcja CASE (p. 229).

Funkcja charakterystyczna w teorii zbiorów rozmytych

W matematyce klasycznej funkcje charakterystyczne zbiorów przyjmują tylko wartości 1 (członowe) lub 0 (nieczłonowe). W teorii mnogości rozmytych funkcje charakterystyczne są uogólniane tak, że przyjmują wartość w rzeczywistym przedziale jednostkowym [0, 1] lub, bardziej ogólnie, w jakiejś algebrze lub strukturze (zwykle wymagane jest, aby były co najmniej posetem lub kratą ). Takie uogólnione funkcje charakterystyczne są częściej nazywane funkcjami przynależności , a odpowiadające im „zbiory” nazywane są zbiorami rozmytymi . Zbiory rozmyte modelują stopniową zmianę stopnia członkostwa obserwowaną w wielu rzeczywistych predykatach, takich jak „wysoki”, „ciepły” itp.

Pochodne funkcji wskaźnika

Szczególną funkcją wskaźnika jest funkcja kroku Heaviside'a . Funkcja skokowa Heaviside'a H ( x ) jest funkcją wskaźnika jednowymiarowej dodatniej półprostej, czyli dziedziny [0, ∞) . Dystrybucyjny pochodną funkcji Heaviside'a kroku jest równa funkcji delta Diraca , tj

${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ tfrac {dH (x)} {dx}}}$

o następującej właściwości:

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ \ delta (x) dx = f (0).}$

Pochodna funkcji skokowej Heaviside'a może być postrzegana jako wewnętrzna pochodna normalna na granicy dziedziny określonej przez dodatnią półprostą. W wyższych wymiarach pochodna naturalnie uogólnia do wewnętrznej pochodnej normalnej, podczas gdy funkcja skokowa Heaviside'a naturalnie uogólnia funkcję wskaźnika pewnej dziedziny D . Powierzchnia D będzie oznaczona przez S . Kontynuując, można wywnioskować, że wewnętrzna pochodna normalna wskaźnika powoduje powstanie „funkcji delta powierzchni”, która może być wskazana przez δ _S ( x ) :

${\ Displaystyle \ delta _ {S} (\ mathbf {x} ) = - \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ w D }}$

gdzie n jest zewnętrzną normalną powierzchni S . Ta „funkcja delta powierzchni” ma następującą właściwość:

${\ Displaystyle - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (\ mathbf {x}) \ \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1} \mathbf {\beta} .}$

Ustawiając funkcję f na jeden, wynika z tego, że wewnętrzna pochodna normalna wskaźnika integruje się z wartością liczbową pola powierzchni S .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Źródła

• Folland, Wielka Brytania (1999). Analiza rzeczywista: nowoczesne techniki i ich zastosowania (wyd. drugie). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Cormen, Thomas H .; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001). „Sekcja 5.2: Wskaźnikowe zmienne losowe”. Wprowadzenie do algorytmów (druga red.). MIT Press i McGraw-Hill. str.  94 -99. Numer ISBN 978-0-262-03293-3.
• Davis, Martin , wyd. (1965). Nierozstrzygnięty . New York, NY: Raven Press Books.
• Kleene, Stephen (1971) (1952). Wprowadzenie do Metamatematyki (szósty przedruk, z poprawkami red.). Holandia: Wydawnictwo Wolters-Noordhoff i Wydawnictwo North Holland.
• Boolos, George ; Burgess, John P .; Jeffrey, Richard C. (2002). Obliczalność i logika . Cambridge Wielka Brytania: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-00758-0.
• Zadeh, Lotfi A. (czerwiec 1965). "Zestawy rozmyte" (PDF) . Informacja i kontrola . 8 (3): 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) dnia 2007-06-22.
• Goguen, Józef (1967). " Zbiory L- rozmyte". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 18 (1): 145–174. doi : 10.1016/0022-247X(67)90189-8 . hdl : 10338.dmlcz/103980 .