Apertura numeryczna - Numerical aperture

Apertura numeryczna względem punktu P zależy od pół-kątem θ ₁ , maksymalnej stożek światła, które może wejść lub wyjść na soczewki i współczynnika załamania światła otoczenia. Gdy ołówek światła przechodzi przez płaską płaszczyznę szkła, jego półkąt zmienia się na θ ₂ . Ze względu na prawa Snella , apertura numeryczna pozostaje taka sama:
${\ Displaystyle {\ tekst {NA}} = n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ sin \ theta _ {2}.}$

W optyce The apertura liczbowa ( NA ) układu optycznego jest bezwymiarowa liczba charakteryzująca zakresie kątów, na którym układ może przyjąć lub emitują światło. Włączając współczynnik załamania do swojej definicji, NA ma właściwość polegającą na tym, że jest stały dla wiązki, gdy przechodzi z jednego materiału do drugiego, pod warunkiem, że nie ma mocy refrakcyjnej na granicy faz. Dokładna definicja tego terminu różni się nieznacznie w różnych obszarach optyki. Apertura numeryczna jest powszechnie stosowana w mikroskopii do opisu stożka akceptacji obiektywu (a tym samym jego zdolności do gromadzenia światła i rozdzielczości ) oraz w światłowodach , w których opisuje zakres kątów, w których światło padające na światłowód będzie być przesyłane wzdłuż niego.

Optyka ogólna

Prosty diagram promienia przedstawiający typowe promienie główne i krańcowe

W większości dziedzin optyki, a zwłaszcza w mikroskopii , apertura numeryczna układu optycznego, takiego jak soczewka obiektywu, jest definiowana przez

${\ Displaystyle \ mathrm {NA} = n \ sin \ theta,}$

gdzie n jest współczynnikiem załamania ośrodka, w którym pracuje soczewka (1,00 dla powietrza , 1,33 dla czystej wody i zwykle 1,52 dla olejku immersyjnego ; patrz również lista współczynników załamania ), a θ jest maksymalnym kątem połówkowym stożek światła, który może wejść lub wyjść z soczewki. Ogólnie jest to kąt rzeczywistego promienia marginalnego w systemie. Ponieważ współczynnik załamania jest uwzględniony, NA ołówka promieni jest niezmienna, ponieważ ołówek promieni przechodzi z jednego materiału do drugiego przez płaską powierzchnię. Można to łatwo wykazać, zmieniając prawo Snella, aby znaleźć, że n sin θ jest stałe w całym interfejsie.

W powietrzu apertura kątowa soczewki jest około dwa razy większa od tej wartości (w przybliżeniu przyosiowym ). NA jest generalnie mierzona w odniesieniu do konkretnego obiektu lub punktu obrazu i będzie się zmieniać w miarę przesuwania tego punktu. W mikroskopii NA ogólnie odnosi się do NA w przestrzeni obiektowej, chyba że zaznaczono inaczej.

W mikroskopii NA jest ważna, ponieważ wskazuje zdolność rozdzielczą soczewki. Rozmiar najdrobniejszych szczegółów, które można rozwiązać ( rozdzielczość ), jest proporcjonalny do λ / 2NA , gdzie λ jest długością fali światła. Obiektyw z większą aperturą numeryczną będzie w stanie uwidocznić drobniejsze szczegóły niż obiektyw z mniejszą aperturą numeryczną. Zakładając wysokiej jakości optykę ( ograniczoną dyfrakcją ), soczewki o większych aperturach numerycznych zbierają więcej światła i generalnie zapewniają jaśniejszy obraz, ale zapewniają płytszą głębię ostrości .

Apertura numeryczna służy do określenia „rozmiaru wgłębienia” w formatach dysków optycznych .

Zwiększenie powiększenia i apertury numerycznej obiektywu zmniejsza odległość roboczą, czyli odległość między przednią soczewką a preparatem.

Apertura numeryczna a liczba f

Apertura numeryczna cienkiej soczewki

Apertura numeryczna nie jest zwykle używana w fotografii . Zamiast tego apertura kątowa obiektywu (lub zwierciadła obrazowego) jest wyrażana przez liczbę f , zapisaną f / lub N , która jest definiowana jako stosunek ogniskowej f do średnicy źrenicy wejściowej D :

${\ Displaystyle N = {\ Frac {f} {D}}.}$

Współczynnik ten jest powiązany z aperturą numeryczną w przestrzeni obrazu, gdy obiektyw jest ogniskowany na nieskończoność. Zgodnie ze schematem po prawej stronie, apertura numeryczna obiektywu w przestrzeni obrazu wynosi:

${\ Displaystyle {\ tekst {NA}} _ {\ tekst {i}} = n \ sin \ theta = n \ sin \ lewo [\ arctan \ lewo ({\ Frac {D} {2f}} \ prawo) \ po prawej] \ ok n {\ frac {D} {2f}},}$

zatem N ≈ 1 / 2NA _i , zakładając normalne użytkowanie w powietrzu ( n = 1 ).

Przybliżenie to zachodzi, gdy apertura numeryczna jest mała, ale okazuje się, że dla dobrze skorygowanych układów optycznych, takich jak obiektywy aparatu, bardziej szczegółowa analiza pokazuje, że N jest prawie dokładnie równe 1 / 2NA _i nawet przy dużych aperturach numerycznych. Jak wyjaśnia Rudolf Kingslake: „Powszechnym błędem jest przypuszczenie, że stosunek [ re / 2 f ] jest w rzeczywistości równe tan θ , a nie grzech θ ... Styczna byłaby oczywiście poprawna, gdyby płaszczyzny główne były naprawdę płaskie. Jednakże pełna teorią Abbego SINE stan pokazuje, że jeśli soczewka jest korygowana śpiączki i aberracji sferycznej , ponieważ wszystkie dobre cele fotograficznych musi być druga płaszczyzna główna się część kuli o promieniu F wycentrowana wokół punktu centralnego” W tym sensie tradycyjna definicja i ilustracja liczby f przy użyciu cienkich soczewek jest myląca, a zdefiniowanie jej w kategoriach apertury numerycznej może mieć większe znaczenie.

Robocze (skuteczne) f -ilość

Liczba f opisuje zdolność soczewki do zbierania światła w przypadku, gdy promienie brzeżne po stronie obiektu są równoległe do osi soczewki. Ten przypadek jest powszechnie spotykany w fotografii, gdzie fotografowane obiekty są często daleko od aparatu. Jednak gdy obiekt nie jest oddalony od obiektywu, obraz nie jest już tworzony w płaszczyźnie ogniskowej obiektywu , a liczba f nie opisuje już dokładnie zdolności soczewki do zbierania światła ani apertury numerycznej po stronie obrazu. W tym przypadku apertura numeryczna jest powiązana z tak zwaną „ roboczą liczbą f ” lub „efektywną liczbą f ”.

Roboczy numer f jest definiowany poprzez modyfikację powyższej relacji, biorąc pod uwagę powiększenie od obiektu do obrazu:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 {\ tekst {NA}} _ {\ tekst {i}}}} = N _ {\ tekst {w}} = \ lewo (1 - {\ Frac {m} { P}} \ right) N,}$

gdzie N _w jest roboczą liczbą f , m jest powiększeniem soczewki dla obiektu znajdującego się w określonej odległości, P jest powiększeniem źrenicy , a NA jest zdefiniowana w kategoriach kąta promienia brzeżnego, jak poprzednio. W tym przypadku powiększenie jest zwykle ujemne, a najczęściej przyjmuje się, że powiększenie źrenicy wynosi 1 - jak wyjaśnia Allen R. Greenleaf, „Natężenie oświetlenia zmienia się odwrotnie, jako kwadrat odległości między źrenicą wyjściową soczewki a położeniem płytki lub Ponieważ położenie źrenicy wyjściowej jest zwykle nieznane użytkownikowi obiektywu, zamiast niej stosuje się tylną sprzężoną ogniskową; wynikowy błąd teoretyczny wprowadzony w ten sposób jest nieistotny w przypadku większości typów obiektywów fotograficznych. "

W fotografii współczynnik ten jest czasami zapisywany jako 1 + m , gdzie m oznacza bezwzględną wartość powiększenia; w obu przypadkach współczynnik korekcji wynosi 1 lub więcej. Każda z dwóch równości w powyższym równaniu jest traktowana przez różnych autorów jako definicja roboczej liczby f , co ilustrują cytowane źródła. Niekoniecznie oba są dokładne, ale często są traktowane tak, jakby były.

I odwrotnie, apertura numeryczna po stronie obiektu jest powiązana z liczbą f poprzez powiększenie (zmierzające do zera dla odległego obiektu):

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 {\ tekst {NA}} _ {\ tekst {o}}}} = {\ Frac {mP} {mP}} N.}$

Fizyka lasera

W fizyce lasera apertura numeryczna jest definiowana nieco inaczej. Promienie laserowe rozprzestrzeniają się, gdy się rozchodzą, ale powoli. Daleko od najwęższej części wiązki, rozrzut jest mniej więcej liniowy wraz z odległością - wiązka lasera tworzy stożek światła w „dalekim polu”. Relacja używana do określenia NA wiązki laserowej jest taka sama, jak stosowana w układzie optycznym,

${\ Displaystyle {\ tekst {NA}} = n \ sin \ theta}$

ale θ jest zdefiniowane inaczej. Wiązki laserowe zazwyczaj nie mają ostrych krawędzi, jak ma to miejsce w przypadku stożka światła przechodzącego przez aperturę obiektywu. Zamiast tego irradiancja spada stopniowo od środka wiązki. Bardzo często belka ma profil Gaussa . Fizyków laserowe zazwyczaj zdecydować się θ się rozbieżność wiązki: z pola dalekiego kąt pomiędzy osią wiązki i odległości od osi, w których natężenie oświetlenia spada do e ^-2 razy natężenia promieniowania z osi. NA wiązki lasera Gaussa jest następnie związana z jej minimalnym rozmiarem plamki („talia wiązki”) wg

${\ displaystyle {\ text {NA}} \ simeq {\ frac {\ lambda _ {0}} {\ pi w_ {0}}},}$

gdzie λ ₀ to długość fali światła w próżni , a 2 w ₀ to średnica wiązki w jej najwęższym miejscu, mierzona między punktami natężenia e- ² („Pełna szerokość przy e- ² maksimum natężenia”). Oznacza to, że wiązka lasera, która jest skupiona na małym punkcie, szybko się rozproszy, gdy będzie oddalać się od ogniska, podczas gdy wiązka lasera o dużej średnicy może zachować mniej więcej ten sam rozmiar na bardzo dużej odległości. Zobacz także: szerokość belki Gaussa .

Światłowody

Światłowód wielomodowy o indeksie n ₁ z płaszczem o indeksie n ₂ .

Wielomodowe włókna optyczne propagacja jest ograniczona światła docierającego do włókna w określonym zakresie kątowym, znane jako stożek odbioru włókien. Półkąt tego stożka nazywany jest kątem akceptacji , θ _max . Dla światłowodu wielomodowego o współczynniku skokowym w danym ośrodku kąt akceptacji określają tylko współczynniki załamania rdzenia, płaszcza i ośrodka:

${\ displaystyle n \ sin \ theta _ {\ max} = {\ sqrt {n _ {\ text {core}} ^ {2} -n _ {\ text {platerowane}} ^ {2}}},}$

gdzie n to współczynnik załamania światła ośrodka wokół światłowodu, n _rdzeń to współczynnik załamania światła rdzenia światłowodu, a n _plater to współczynnik załamania światła płaszcza . Podczas gdy rdzeń przyjmie światło pod większymi kątami, promienie te nie odbiją się całkowicie od interfejsu rdzeń-płaszcz, a więc nie zostaną przekazane na drugi koniec światłowodu. Wyprowadzenie tego wzoru podano poniżej.

Gdy promień światła padającego z nośnika o współczynniku załamania światła n dla rdzenia indeksu n _rdzenia pod kątem odbioru maksimum, Prawo Snelliusa w interfejsie średniej rdzenia daje

${\ displaystyle n \ sin \ theta _ {\ max} = n _ {\ text {core}} \ sin \ theta _ {r}. \}$

Z geometrii powyższego rysunku mamy:

${\ displaystyle \ sin \ theta _ {r} = \ sin \ lewo ({90 ^ {\ circ}} - \ theta _ {c} \ right) = \ cos \ theta _ {c}}$

gdzie

${\ displaystyle \ theta _ {c} = \ arcsin {\ frac {n _ {\ text {platerowane}}} {n _ {\ tekst {rdzeń}}}}}$

jest kątem krytycznym dla całkowitego wewnętrznego odbicia .

Podstawiając cos θ _c za sin θ _r w prawie Snella otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ Frac {n} {n _ {\ tekst {core}}}} \ sin \ theta _ {\ max} = \ cos \ theta _ {c}.}$

Prostując obie strony

${\ Displaystyle {\ Frac {n ^ {2}} {n _ {\ text {core}} ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ max} = \ cos ^ {2} \ theta _ {c} = 1- \ sin ^ {2} \ theta _ {c} = 1 - {\ frac {n _ {\ text {clad}} ^ {2}} {n _ {\ text {core}} ^ { 2}}}.}$

Rozwiązując, znajdujemy powyższy wzór:

${\ displaystyle n \ sin \ theta _ {\ max} = {\ sqrt {n _ {\ text {core}} ^ {2} -n _ {\ text {platerowane}} ^ {2}}},}$

Ma to taką samą postać jak apertura numeryczna (NA) w innych systemach optycznych, więc powszechne stało się definiowanie NA dowolnego typu włókna, które ma być

${\ displaystyle \ mathrm {NA} = {\ sqrt {n _ {\ text {core}} ^ {2} -n _ {\ text {platerowane}} ^ {2}}},}$

gdzie n _rdzeń to współczynnik załamania światła wzdłuż środkowej osi światłowodu. Zwróć uwagę, że gdy używana jest ta definicja, połączenie między NA a kątem akceptacji światłowodu staje się tylko przybliżeniem. W szczególności producenci często cytują „NA” dla światłowodu jednomodowego w oparciu o ten wzór, mimo że kąt akceptacji dla światłowodu jednomodowego jest zupełnie inny i nie można go określić na podstawie samych współczynników załamania światła.

Liczba powiązanych trybów , głośność modów , jest związana ze znormalizowaną częstotliwością, a zatem z NA.

We włóknach wielomodowych czasami używa się terminu równowagowa apertura numeryczna . Odnosi się to do apertury numerycznej w odniesieniu do skrajnego kąta wyjścia promienia wychodzącego ze światłowodu, w którym ustalono rozkład modów równowagowych .

Zobacz też

• f -liczba
• Uruchom aperturę numeryczną
• Prowadzony promień , kontekst światłowodu
• Kąt akceptacji (koncentrator słoneczny) , dalszy kontekst

Bibliografia

•  Ten artykuł zawiera materiały należące do  domeny publicznej z dokumentu General Services Administration : „Federal Standard 1037C” . (wsparcie MIL-STD-188 )

Linki zewnętrzne

• „Microscope Objectives: Numerical Aperture and Resolution” Mortimera Abramowitza i Michaela W. Davidsona, Molecular Expressions: Optical Microscopy Primer (strona internetowa), Florida State University , 22 kwietnia 2004.
• „Basic Concepts and Formulas in Microscopy: Numerical Aperture” Michaela W. Davidsona, Nikon MicroscopyU (strona internetowa).
• „Numerical aperture” , Encyclopedia of Laser Physics and Technology (witryna internetowa).
• „Numerical Aperture and Resolution” , UCLA Brain Research Institute Microscopy Core Facilities (witryna internetowa), 2007.