Teoria O-minimalnej - O-minimal theory
W logice matematycznej , a dokładniej w teorii modeli , nieskończona struktura ( M ,<,...), która jest całkowicie uporządkowana przez < nazywana jest strukturą o-minimalną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy definiowalny podzbiór X ⊂ M (z przyjętymi parametrami z M ) jest ograniczony związek z przerwami i punkty.
Minimalność O można uznać za słabą formę eliminacji kwantyfikatora . Struktura M jest o-minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy każda formuła z jedną wolną zmienną i parametrami w M jest równoważna formule bez kwantyfikatora, obejmującej tylko porządkowanie, również z parametrami w M . Jest to analogiczne do struktur minimalnych , które są dokładnie analogiczną własnością aż do równości.
Teorii T jest teoria o-minimalny , jeśli w każdym modelu z T oznacza grupę O-minimalny. Wiadomo, że kompletna teoria T struktury o-minimalnej jest teorią o-minimalną. Wynik ten jest niezwykły, ponieważ w przeciwieństwie do tego, kompletna teoria struktury minimalnej nie musi być teorią silnie minimalną , to znaczy może istnieć struktura elementarnie równoważna, która nie jest minimalna.
Definicja mnogościowa
Struktury O-minimalne można definiować bez odwoływania się do teorii modeli. Tutaj definiujemy strukturę na niepustym zbiorze M w sposób mnogościowy, jako ciąg S = ( S n ), n = 0,1,2,... taki, że
- S n jest algebrą logiczną podzbiorów M n
- jeśli A ∈ S n to M × A i A × M są w S n +1
- zbiór {( x 1 ,..., x n ) ∈ M n : x 1 = x n } jest w S n
- jeśli A ∈ S n +1 i π : M n +1 → M n jest odwzorowaniem projekcji na pierwszych n współrzędnych, wtedy π ( A ) ∈ S n .
Jeśli M ma gęsty porządek liniowy bez punktów końcowych, powiedzmy <, wtedy struktura S na M nazywana jest o-minimalną, jeśli spełnia dodatkowe aksjomaty
- zbiór {( x , y ) ∈ M 2 : x < y } jest w S 2
- zbiory w S 1 są dokładnie skończonymi sumami przedziałów i punktów.
„o” oznacza „porządek”, ponieważ każda struktura minimalna o wymaga uporządkowania w zbiorze bazowym.
Definicja teoretyczna modelu
Struktury O-minimalne wywodzą się z teorii modeli i dlatego mają prostszą — ale równoważną — definicję przy użyciu języka teorii modeli. W szczególności, jeśli L jest językiem zawierającym relację binarną <, a ( M ,<,...) jest strukturą L, w której < jest interpretowane w celu spełnienia aksjomatów gęstego liniowego porządku, wtedy ( M ,<,... ) nazywamy strukturą o-minimalną, jeśli dla dowolnego definiowalnego zbioru X ⊆ M istnieje skończenie wiele otwartych przedziałów I 1 ,..., I r bez punktów końcowych w M ∪ {±∞} oraz skończony zbiór X 0 taki, że
Przykłady
Przykładami teorii o-minimalnych są:
- Kompletna teoria gęstych porządków liniowych w języku z samym porządkowaniem.
- RCF The teoria od rzeczywistych zamkniętych obszarach .
- Kompletna teoria pola rzeczywistego z dodanymi ograniczonymi funkcjami analitycznymi (tj. funkcjami analitycznymi na sąsiedztwie [0,1] n , ograniczonymi do [0,1] n ; zauważ, że nieograniczona funkcja sinus ma nieskończenie wiele pierwiastków, a więc nie może być definiowalne w strukturze o-minimalnej).
- Kompletna teoria pola rzeczywistego z symbolem funkcji wykładniczej według twierdzenia Wilkie . Mówiąc bardziej ogólnie, dodano kompletną teorię liczb rzeczywistych z funkcjami Pfaffiana .
- Ostatnie dwa przykłady można połączyć: mając każde o-minimalne rozwinięcie pola rzeczywistego (takie jak pole rzeczywiste z ograniczonymi funkcjami analitycznymi), można zdefiniować jego domknięcie Pfaffa, które ponownie jest strukturą o-minimalną. (Zamknięcie Pfaffa struktury jest w szczególności zamknięte pod łańcuchami Pfaffa, w których zamiast wielomianów używane są dowolne definiowalne funkcje).
W przypadku RCF, zbiorami definiowalnymi są zbiory semialgebraiczne . W ten sposób badanie struktur i teorii o-minimalnych uogólnia rzeczywistą geometrię algebraiczną . Główny kierunek obecnych badań opiera się na odkrywaniu rozszerzeń rzeczywistego pola uporządkowanego, które są o-minimalne. Mimo powszechności zastosowania, można wiele pokazać o geometrii zbioru definiowalnego w strukturach o-minimalnych. Istnieje twierdzenie o dekompozycji komórki, twierdzenia o stratyfikacji Whitneya i Verdiera oraz dobre pojęcie o wymiarze i charakterystyce Eulera.
Zobacz też
- Zestaw semialgebraiczny
- Rzeczywista geometria algebraiczna
- Zdecydowanie minimalna teoria
- Słaba struktura o-minimalna
- C-minimalna teoria
Uwagi
Bibliografia
- van den Dries, Lou (1998). Ujarzmij topologię i struktury o-minimalne . London Mathematical Society Wykład Uwaga Seria. 248 . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045 .
- Marker, Dawid (2000). "Przegląd "Topologii oswojonej i struktur o-minimalnych " " (PDF) . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 37 (3): 351–357. doi : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
- Marker, David (2002). Teoria modeli: wprowadzenie . Teksty magisterskie z matematyki. 217 . Nowy Jork, NY: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034 .
- Pillay, Anand; Steinhorn, Karol (1986). "Zbiory definiowalne w strukturach uporządkowanych I" (PDF) . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 295 (2): 565–592. doi : 10.2307/2000052 . JSTOR 2000052 . Zbl 0662.03023 .
- Rycerz Julia ; Pillay, Anand; Steinhorn, Karol (1986). "Zbiory definiowalne w strukturach uporządkowanych II" . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 295 (2): 593-605. doi : 10.2307/2000053 . JSTOR 2000053 . Zbl 0662.03024 .
- Pillay, Anand; Steinhorn, Karol (1988). "Zbiory definiowalne w strukturach uporządkowanych III" . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 309 (2): 469–476. doi : 10.2307/2000920 . JSTOR 2000920 . Zbl 0707.03024 .
- Wilkie, AJ (1996). „Wyniki zupełności modelu dla rozwinięć uporządkowanego pola liczb rzeczywistych przez ograniczone funkcje Pfaffiana i funkcję wykładniczą” (PDF) . Dziennik Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 9 (4): 1051–1095. doi : 10.1090/S0894-0347-96-00216-0 .
- Denef, J.; van den Dries, L. (1989). " Zbiory p- adyczne i rzeczywiste podanalityczne". Roczniki Matematyki . 128 (1): 79–138. doi : 10.2307/1971463 . JSTOR 1971463 .