Teoria O-minimalnej - O-minimal theory

W logice matematycznej , a dokładniej w teorii modeli , nieskończona struktura ( M ,<,...), która jest całkowicie uporządkowana przez < nazywana jest strukturą o-minimalną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy definiowalny podzbiór X  ⊂  M (z przyjętymi parametrami z M ) jest ograniczony związek z przerwami i punkty.

Minimalność O można uznać za słabą formę eliminacji kwantyfikatora . Struktura M jest o-minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy każda formuła z jedną wolną zmienną i parametrami w M jest równoważna formule bez kwantyfikatora, obejmującej tylko porządkowanie, również z parametrami w M . Jest to analogiczne do struktur minimalnych , które są dokładnie analogiczną własnością aż do równości.

Teorii T jest teoria o-minimalny , jeśli w każdym modelu z T oznacza grupę O-minimalny. Wiadomo, że kompletna teoria T struktury o-minimalnej jest teorią o-minimalną. Wynik ten jest niezwykły, ponieważ w przeciwieństwie do tego, kompletna teoria struktury minimalnej nie musi być teorią silnie minimalną , to znaczy może istnieć struktura elementarnie równoważna, która nie jest minimalna.

Definicja mnogościowa

Struktury O-minimalne można definiować bez odwoływania się do teorii modeli. Tutaj definiujemy strukturę na niepustym zbiorze M w sposób mnogościowy, jako ciąg S  = ( S n ), n  = 0,1,2,... taki, że

  1. S n jest algebrą logiczną podzbiorów M n
  2. jeśli A  ∈  S n to M  ×  A i A  × M są w S n +1
  3. zbiór {( x 1 ,..., x n ) ∈  M n  :  x 1  =  x n } jest w S n
  4. jeśli A  ∈  S n +1 i π  :  M n +1  →  M n jest odwzorowaniem projekcji na pierwszych n współrzędnych, wtedy π ( A ) ∈  S n .

Jeśli M ma gęsty porządek liniowy bez punktów końcowych, powiedzmy <, wtedy struktura S na M nazywana jest o-minimalną, jeśli spełnia dodatkowe aksjomaty

  1. zbiór {( x , y ) ∈  M 2  :  x  <  y } jest w S 2
  2. zbiory w S 1 są dokładnie skończonymi sumami przedziałów i punktów.

„o” oznacza „porządek”, ponieważ każda struktura minimalna o wymaga uporządkowania w zbiorze bazowym.

Definicja teoretyczna modelu

Struktury O-minimalne wywodzą się z teorii modeli i dlatego mają prostszą — ale równoważną — definicję przy użyciu języka teorii modeli. W szczególności, jeśli L jest językiem zawierającym relację binarną <, a ( M ,<,...) jest strukturą L, w której < jest interpretowane w celu spełnienia aksjomatów gęstego liniowego porządku, wtedy ( M ,<,... ) nazywamy strukturą o-minimalną, jeśli dla dowolnego definiowalnego zbioru X  ⊆  M istnieje skończenie wiele otwartych przedziałów I 1 ,..., I r bez punktów końcowych w M  ∪ {±∞} oraz skończony zbiór X 0 taki, że

Przykłady

Przykładami teorii o-minimalnych są:

  • Kompletna teoria gęstych porządków liniowych w języku z samym porządkowaniem.
  • RCF The teoria od rzeczywistych zamkniętych obszarach .
  • Kompletna teoria pola rzeczywistego z dodanymi ograniczonymi funkcjami analitycznymi (tj. funkcjami analitycznymi na sąsiedztwie [0,1] n , ograniczonymi do [0,1] n ; zauważ, że nieograniczona funkcja sinus ma nieskończenie wiele pierwiastków, a więc nie może być definiowalne w strukturze o-minimalnej).
  • Kompletna teoria pola rzeczywistego z symbolem funkcji wykładniczej według twierdzenia Wilkie . Mówiąc bardziej ogólnie, dodano kompletną teorię liczb rzeczywistych z funkcjami Pfaffiana .
  • Ostatnie dwa przykłady można połączyć: mając każde o-minimalne rozwinięcie pola rzeczywistego (takie jak pole rzeczywiste z ograniczonymi funkcjami analitycznymi), można zdefiniować jego domknięcie Pfaffa, które ponownie jest strukturą o-minimalną. (Zamknięcie Pfaffa struktury jest w szczególności zamknięte pod łańcuchami Pfaffa, w których zamiast wielomianów używane są dowolne definiowalne funkcje).

W przypadku RCF, zbiorami definiowalnymi są zbiory semialgebraiczne . W ten sposób badanie struktur i teorii o-minimalnych uogólnia rzeczywistą geometrię algebraiczną . Główny kierunek obecnych badań opiera się na odkrywaniu rozszerzeń rzeczywistego pola uporządkowanego, które są o-minimalne. Mimo powszechności zastosowania, można wiele pokazać o geometrii zbioru definiowalnego w strukturach o-minimalnych. Istnieje twierdzenie o dekompozycji komórki, twierdzenia o stratyfikacji Whitneya i Verdiera oraz dobre pojęcie o wymiarze i charakterystyce Eulera.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne