Efekt Obertha - Oberth effect

W astronautics , z napędem przelotu lub Obertha manewru jest manewrem, w którym pojazd kosmiczny wpada do grawitacyjnego studzienkę , a następnie używa silniki dalszego przyspieszenia, jak maleje, osiągając w ten sposób dodatkowe prędkości. Wynikowy manewr jest skuteczniejszym sposobem na uzyskanie energii kinetycznej niż zastosowanie tego samego impulsu poza studnią grawitacyjną. Wzrost wydajności tłumaczy efekt Obertha , w którym zastosowanie silnika reakcyjnego przy wyższych prędkościach powoduje większą zmianę energii mechanicznej niż jego użycie przy niższych prędkościach. W praktyce oznacza to, że najbardziej energooszczędną metodą spalania paliwa przez statek kosmiczny jest najniższe możliwe perycentrum orbity , kiedy jego prędkość orbitalna (a więc i energia kinetyczna) jest największa. W niektórych przypadkach warto nawet wydać paliwo na spowolnienie statku kosmicznego do studni grawitacyjnej, aby wykorzystać skuteczność efektu Obertha. Manewr i efekt zostały nazwane na cześć osoby, która po raz pierwszy je opisała w 1927 roku, Hermanna Obertha , urodzonego w Austro-Węgrzech niemieckiego fizyka i twórcy nowoczesnej rakiety .

Efekt Obertha jest najsilniejszy w punkcie orbity zwanym perycentrum , gdzie potencjał grawitacyjny jest najniższy, a prędkość jest najwyższa. Dzieje się tak, ponieważ dane wystrzelenie silnika rakietowego z dużą prędkością powoduje większą zmianę energii kinetycznej niż w przypadku odpalenia w podobny sposób z mniejszą prędkością.

Ponieważ pojazd pozostaje w pobliżu perycentrum tylko przez krótki czas, aby manewr Obertha był najbardziej skuteczny, pojazd musi być w stanie wygenerować jak najwięcej impulsów w jak najkrótszym czasie. W rezultacie manewr Obertha jest znacznie bardziej przydatny w przypadku silników rakietowych o dużym ciągu, takich jak rakiety na paliwo ciekłe , a mniej przydatny w przypadku silników reakcyjnych o niskim ciągu, takich jak napędy jonowe , których uzyskanie prędkości zajmuje dużo czasu. Efekt Obertha można również wykorzystać do zrozumienia zachowania rakiet wieloetapowych : górny stopień może generować znacznie więcej użytecznej energii kinetycznej niż całkowita energia chemiczna przenoszonych przez niego paliw.

Pod względem zaangażowanych energii efekt Obertha jest bardziej skuteczny przy wyższych prędkościach, ponieważ przy dużych prędkościach paliwo ma znaczną energię kinetyczną oprócz swojej potencjalnej energii chemicznej. Przy wyższych prędkościach pojazd jest w stanie wykorzystać większą zmianę (redukcję) energii kinetycznej paliwa (ponieważ jest on zużywany do tyłu, a zatem przy zmniejszonej prędkości, a tym samym zmniejszonej energii kinetycznej), aby wygenerować większy wzrost energii kinetycznej pojazdu.

Wyjaśnienie dotyczące pędu i energii kinetycznej

Rakieta działa na zasadzie przenoszenia pędu na paliwo. Przy ustalonej prędkości wydechu będzie to stała wielkość pędu na jednostkę paliwa. Dla danej masy rakiety (łącznie z pozostałym paliwem) oznacza to stałą zmianę prędkości na jednostkę paliwa. Ponieważ energia kinetyczna równa mv ² /2, przekazuje tę zmianę prędkości większy, w energię kinetyczną z dużą prędkością niż miałoby to miejsce przy niskiej prędkości. Na przykład, biorąc pod uwagę rakietę o wadze 2 kg:

przy 1 m / s dodanie 1 m / s zwiększa energię kinetyczną z 1 J do 4 J, co daje wzrost o 3 J;
przy 10 m / s, zaczynając od energii kinetycznej 100 J, rakieta kończy się na 121 J, uzyskując zysk netto 21 J.

Ta większa zmiana energii kinetycznej może następnie przenieść rakietę wyżej w studni grawitacyjnej, niż gdyby paliwo było spalane z mniejszą prędkością.

Opis pod względem pracy

Silniki rakietowe wytwarzają tę samą siłę niezależnie od ich prędkości. Rakieta działająca na nieruchomy obiekt, jak przy odpaleniu statycznym, nie wykonuje żadnej użytecznej pracy; zmagazynowana energia rakiety jest całkowicie wydatkowana na przyspieszenie jej paliwa w postaci spalin. Ale kiedy rakieta się porusza, jej ciąg działa na odległość, na jaką się porusza. Siła pomnożona przez odległość to definicja energii mechanicznej lub pracy . Zatem im dalej rakieta i ładunek poruszają się podczas spalania (tj. Im szybciej się poruszają), tym większa jest energia kinetyczna przekazana rakiecie i jej ładunku, a mniej spalinom.

Jest to pokazane w następujący sposób. Pracę mechaniczną wykonaną na rakiecie ( ) ${\ displaystyle W}$ definiuje się jako iloczyn skalarny siły ciągu silnika ( ) ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$ i przemieszczenia, jakie przemieszcza się on podczas spalania ( ): ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$

{\ displaystyle W = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {s}}.}

Jeśli oparzenie jest wykonany w prograde kierunku . Efektem pracy jest zmiana energii kinetycznej ${\ Displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {s}} = \ | F \ | \ cdot \ | s \ | = F \ cdot s}$

{\ Displaystyle \ Delta E_ {k} = F \ cdot s.}

Różnicując w czasie, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} E_ {k}} {\ mathrm {d} t}} = F \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} ,}

lub

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} E_ {k}} {\ mathrm {d} t}} = F \ cdot v,}

gdzie jest prędkość. Podzielenie przez masę chwilową wyrazić to w kategoriach określonej energii ( ), otrzymujemy ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle e_ {k}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} e_ {k}} {\ mathrm {d} t}} = {\ Frac {F} {m.}} \ cdot v = a \ cdot v,}

gdzie jest wektor przyspieszenia . ${\ displaystyle a}$

Można więc łatwo zauważyć, że tempo przyrostu energii właściwej każdej części rakiety jest proporcjonalne do prędkości, a biorąc pod uwagę to, równanie można zintegrować ( numerycznie lub inaczej), aby obliczyć całkowity wzrost energii właściwej rakiety. .

Impulsywne oparzenie

Całkowanie powyższego równania energii jest często niepotrzebne, jeśli czas spalania jest krótki. Krótkie spalenia chemicznych silników rakietowych w pobliżu perycentrum lub w innym miejscu są zwykle modelowane matematycznie jako poparzenia impulsowe, w których siła silnika dominuje nad wszystkimi innymi siłami, które mogą zmienić energię pojazdu w czasie spalania.

Na przykład, gdy pojazd opada w kierunku perycentrum na dowolnej orbicie (orbicie zamkniętej lub ucieczkowej), prędkość względem korpusu centralnego wzrasta. Pokrótce spalania silnika (Określenie „impulsywne spalanie”) prograde w perycentrum zwiększa prędkość o tę samą przyrost jak w dowolnym innym czasie ( ). Jednakże, ponieważ energia kinetyczna pojazdu jest powiązana z kwadratem jego prędkości, ten wzrost prędkości ma nieliniowy wpływ na energię kinetyczną pojazdu, pozostawiając go z większą energią niż w przypadku gdyby spalenie wystąpiło w jakimkolwiek innym momencie. ${\ displaystyle \ Delta v}$

Obliczenie Obertha dla orbity parabolicznej

Jeżeli impulsowe spalanie Δ v jest wykonywane przy perycentrum na orbicie parabolicznej , to prędkość na perycentrum przed oparzeniem jest równa prędkości ucieczki ( V _esc ), a energia kinetyczna właściwa po oparzeniu wynosi

{\ displaystyle {\ begin {aligned} e_ {k} & = {\ tfrac {1} {2}} V ^ {2} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} (V _ {\ text { esc}} + \ Delta v) ^ {2} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} V _ {\ text {esc}} ^ {2} + \ Delta vV _ {\ text {esc}} + {\ tfrac {1} {2}} \ Delta v ^ {2}, \ end {aligned}}}

gdzie . ${\ displaystyle V = V _ {\ text {esc}} + \ Delta v}$

Kiedy pojazd opuszcza pole grawitacyjne, następuje utrata określonej energii kinetycznej

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} V _ {\ text {esc}} ^ {2},}

więc zachowuje energię

{\ displaystyle \ Delta vV _ {\ text {esc}} + {\ tfrac {1} {2}} \ Delta v ^ {2},}

która jest większa niż energia ze spalenia poza polem grawitacyjnym ( ) o ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ Delta v ^ {2}}$

{\ displaystyle \ Delta vV _ {\ text {esc}}.}

Gdy pojazd opuści dobrze grawitację, porusza się z dużą prędkością

{\ Displaystyle V = \ Delta v {\ sqrt {1 + {\ Frac {2 V _ {\ text {esc}}} {\ Delta v}}}}.}

W przypadku, gdy dodany impuls Δ v jest mały w porównaniu z prędkością ucieczki, 1 można zignorować, a efektywne Δ v impulsowego oparzenia można zobaczyć jako pomnożone przez współczynnik

{\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {2V _ {\ text {esc}}} {\ Delta v}}}}

i jeden dostać

{\ displaystyle V}

≈

{\ displaystyle {\ sqrt {{2V _ {\ text {esc}}} {\ Delta v}}}.}

Podobne efekty zachodzą na orbitach zamkniętych i hiperbolicznych .

Przykład paraboliczny

Jeśli pojazd porusza się z prędkością v na początku spalania, które zmienia prędkość o Δ v , to zmiana energii właściwej orbity (SOE) spowodowana nową orbitą jest

{\ Displaystyle v \, \ Delta v + {\ tfrac {1} {2}} (\ Delta v) ^ {2}.}

Gdy statek kosmiczny ponownie znajdzie się daleko od planety, SOE jest całkowicie kinetyczne, ponieważ energia potencjalna grawitacji zbliża się do zera. Dlatego im większe v w momencie wypalenia, tym większa końcowa energia kinetyczna i wyższa końcowa prędkość.

Efekt staje się wyraźniejszy, im bliżej ciała centralnego, lub bardziej ogólnie, im głębiej w potencjale pola grawitacyjnego, w którym występuje oparzenie, ponieważ prędkość jest tam większa.

Więc jeśli statek kosmiczny znajduje się w parabolicznym przelocie Jowisza z prędkością okołotętniową 50 km / s i wykonuje spalanie 5 km / s, okazuje się, że końcowa zmiana prędkości na dużej odległości wynosi 22,9 km / s, co daje pomnożenie oparzenie 4,58 razy.

Paradoks

Może się wydawać, że rakieta pobiera energię za darmo, co byłoby sprzeczne z zasadą zachowania energii . Jednak każdy przyrost energii kinetycznej rakiety jest równoważony przez względny spadek energii kinetycznej pozostającej w spalinach (energia kinetyczna spalin może nadal wzrastać, ale nie rośnie tak bardzo). Porównaj to z sytuacją odpalania statycznego, w którym prędkość silnika jest ustawiona na zero. Oznacza to, że jego energia kinetyczna w ogóle nie wzrasta, a cała energia chemiczna uwalniana przez paliwo jest zamieniana na energię kinetyczną spalin (i ciepło).

Przy bardzo dużych prędkościach moc mechaniczna przekazana rakiecie może przekroczyć całkowitą moc wyzwoloną podczas spalania paliwa; może się to również wydawać naruszeniem zasady zachowania energii. Ale paliwa w szybko poruszającej się rakiecie przenoszą energię nie tylko chemiczną, ale także własną energią kinetyczną, która przy prędkościach powyżej kilku kilometrów na sekundę przekracza składnik chemiczny. Kiedy te miotające są spalane, część tej energii kinetycznej jest przenoszona do rakiety wraz z energią chemiczną uwalnianą podczas spalania.

Efekt Obertha może więc częściowo nadrobić bardzo niską skuteczność na początku lotu rakiety, gdy porusza się ona bardzo wolno. Większość pracy wykonywanej przez rakietę we wczesnym locie jest „inwestowana” w energię kinetyczną jeszcze nie spalonego paliwa, której część zostanie uwolniona później, gdy zostaną spalone.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Efekt Obertha
Wyjaśnienie efektu autorstwa Geoffreya Landisa .

Napęd rakietowy, klasyczna teoria względności i efekt Obertha

Animacja (MP4) efektu Obertha na orbicie z cytowanego powyżej artykułu Blanco i Mungan.

Languages

In other projects