Aksjomat Pascha - Pasch's axiom

Nie mylić z twierdzeniem Pascha .

W geometrii , Aksjomat Pascha jest stwierdzenie w geometrii płaskiej , wykorzystywany w sposób dorozumiany przez Euklidesa , które nie mogą być uzyskane z tych postulatów , jak im dał Euklides. Jego zasadniczą rolę odkrył Moritz Pasch w 1882 roku.

Komunikat

Dwie linie (w kolorze czarnym) stykające się wewnętrznie z bokiem trójkąta i stykające się z innymi bokami wewnętrznie i zewnętrznie

Aksjomat stwierdza, że:

Aksjomat Pascha  —  Niech A , B , C będą trzema punktami, które nie leżą na prostej i niech a będzie prostą w płaszczyźnie ABC, która nie przecina żadnego z punktów A , B , C . Jeżeli prosta a przechodzi przez punkt odcinka AB , to również przechodzi przez punkt odcinka AC lub przez punkt odcinka BC .

To, że odcinki AC i BC nie są przecinane przez prostą a, dowodzi Suplement I,1 napisany przez P. Bernaysa .

Bardziej nowoczesna wersja tego aksjomatu jest następująca:

Bardziej nowoczesna wersja aksjomatu Pascha  —  W płaszczyźnie, jeśli prosta przecina jeden bok trójkąta wewnętrznie, to przecina dokładnie jeden bok wewnętrznie i trzeci bok zewnętrznie , jeśli nie przechodzi przez wierzchołek trójkąta.

(W przypadku, gdy trzecia strona jest równoległa do naszej linii, liczymy „przecięcie w nieskończoności” jako zewnętrzne.) Często spotykana jest bardziej nieformalna wersja aksjomatu:

Bardziej nieformalna wersja aksjomatu Pascha  —  jeśli prosta, nie przechodząca przez żaden wierzchołek trójkąta, styka się z jednym bokiem trójkąta, to spotyka się z drugim bokiem.

Historia

Pasch opublikował ten aksjomat w 1882 roku i wykazał, że aksjomaty Euklidesa były niekompletne. Aksjomat był częścią podejścia Pascha do wprowadzenia pojęcia porządku do geometrii płaskiej.

Równoważności

W innych podejściach do geometrii elementarnej, przy użyciu różnych zbiorów aksjomatów, aksjomat Pascha można udowodnić jako twierdzenie; jest to konsekwencja aksjomatu separacji płaszczyzn, gdy przyjmuje się go jako jeden z aksjomatów. Hilbert wykorzystuje Aksjomat Pascha w jego aksjomatyczną leczenia z geometrii euklidesowej . Biorąc pod uwagę pozostałe aksjomaty w systemie Hilberta, można wykazać, że aksjomat Pascha jest logicznie równoważny aksjomatowi separacji płaszczyzn.

Zastosowanie przez Hilberta aksjomatu Pascha

David Hilbert używa aksjomatu Pascha w swojej książce Foundations of Geometry, która dostarcza aksjomatycznej podstawy dla geometrii euklidesowej. W zależności od wydania ma numer II.4 lub II.5. Jego oświadczenie podano powyżej.

W ujęciu Hilberta aksjomat ten pojawia się w części dotyczącej aksjomatów porządku i jest określany jako płaski aksjomat porządku . Ponieważ nie wyraża on aksjomatu w kategoriach boków trójkąta (traktowanych raczej jako proste niż odcinki), nie ma potrzeby mówić o wewnętrznych i zewnętrznych przecięciach prostej a z bokami trójkąta ABC .

Zastrzeżenia

Aksjomat Pascha różni się od twierdzenia Pascha, które jest stwierdzeniem o kolejności czterech punktów na prostej. Jednak w literaturze istnieje wiele przypadków, w których aksjomat Pascha jest określany jako twierdzenie Pascha. Godnym uwagi przykładem jest Greenberg (1974 , s. 67).

Aksjomat Pascha nie powinien być mylony z aksjomatem Veblena-Younga dla geometrii rzutowej , który można określić jako:

Aksjomat Veblena-Younga dla geometrii rzutowej  —  Jeśli linia przecina dwa boki trójkąta, to przecina również trzeci bok.

Nie ma wzmianki o wewnętrznych i zewnętrznych przecięciach w stwierdzeniu aksjomatu Veblena-Younga, który dotyczy tylko własności występowania linii zbiegających się. W geometrii rzutowej pojęcie międzysieci (wymagane do zdefiniowania wewnętrznego i zewnętrznego) nie obowiązuje i wszystkie linie się spotykają (więc nie pojawia się problem linii równoległych).

Uwagi

Bibliografia

  • Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometria rzutowa: od fundamentów do zastosowań , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, MR  1629468
  • Faber, Richard L. (1983), Podstawy geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej , New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0-8247-1748-3
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrie euklidesowe i nieeuklidesowe: rozwój i historia (1st ed.), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0454-6
    • Greenberg, Marvin Jay (2007), Geometrie euklidesowe i nieeuklidesowe: rozwój i historia (4 wyd.), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-9948-1
  • Hilbert, David (1903), Grundlagen der Geometrie (w języku niemieckim), Lipsk: BG Teubner
    • Hilbert, David (1950) [1902], The Foundations of Geometry (PDF) , przekład Townsend, EJ, LaSalle, IL: Open Court Publishing
    • Hilbert, David (1999) [1971], Podstawy geometrii , przekład Unger, Leo (2nd ed.), LaSalle, IL: Open Court Publishing, ISBN 978-0-87548-164-7
  • Moise, Edwin (1990), Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (wyd. trzecie.), Addison-Wesley, Reading, MA, s. 74, numer ISBN 978-0-201-50867-3
  • Pambuccian, Victor (2011), „Aksjomatyka uporządkowanej geometrii: I. Uporządkowane przestrzenie padania.”, Expositiones Mathematicae (29): 24-66, doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004
  • Pasch, Moritz (1912) [pierwsze wydanie 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (w języku niemieckim) (wyd. 2), Lipsk: BG Teubner
  • Wylie, Jr., Clarence Raymond (1964), Podstawy geometrii , New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-070-72191-3
    • Wylie, Jr., CR (2009) [1964], Podstawy geometrii , Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47214-0

Linki zewnętrzne