Aksjomaty Hilberta - Hilbert's axioms

Aksjomaty Hilberta to zbiór 20 założeń zaproponowanych przez Davida Hilberta w 1899 r. W jego książce Grundlagen der Geometrie (tr. Podstawy geometrii ) jako podstawa nowoczesnego traktowania geometrii euklidesowej . Inne dobrze znane współczesne aksjomatyzacje geometrii euklidesowej to te Alfreda Tarskiego i George'a Birkhoffa .

Aksjomaty

System aksjomatów Hilberta jest zbudowany z sześciu pierwotnych pojęć : trzech pierwotnych terminów:

i trzy pierwotne relacje :

  • Między , trójskładnikowa relacja łącząca punkty;
  • Lies on (Containment) , trzy relacje binarne , jeden punkt łączący i linie proste, jeden punkt łączący i płaszczyzny oraz jeden łączący linie proste i płaszczyzny;
  • Kongruencja , dwie relacje binarne, jeden łączący odcinek linii i jeden łączący kąt , każdy oznaczony wrostkiem ≅ .

Segmenty liniowe, kąty i trójkąty mogą być definiowane za pomocą punktów i linii prostych, z wykorzystaniem relacji między zawartością a zamknięciem. Wszystkie punkty, proste i płaszczyzny w poniższych aksjomatach są różne, chyba że zaznaczono inaczej.

I. Zachorowalność

  1. Dla każdych dwóch punktów A i B istnieje linia a, która zawiera oba. Piszemy AB = a lub BA = a . Zamiast „zawiera”, możemy również zastosować inne formy ekspresji; na przykład możemy powiedzieć „ A leży na a ”, „ A jest punktem a ”, „ a przechodzi przez A i przez B ”, „ a łączy A z B ” itd. Jeśli A leży na a i na w tym samym czasie w innym wierszu b używamy również wyrażenia: „Wiersze a i b mają wspólny punkt A ” itd.
  2. Na każde dwa punkty nie ma więcej niż jednej linii, która zawiera oba; w konsekwencji, jeśli AB = a i AC = a , gdzie B ≠ C , to również BC = a .
  3. Na prostej istnieją co najmniej dwa punkty. Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii.
  4. Dla każdych trzech punktów A , B , C nie leżących na tej samej prostej istnieje płaszczyzna α, która zawiera je wszystkie. Dla każdej płaszczyzny istnieje punkt, który na niej leży. Piszemy ABC = α . Używamy również wyrażeń: „ A , B , C kłamie w α ”; „ A , B , C to punkty α ” itd.
  5. Na każde trzy punkty A , B , C, które nie leżą na tej samej linii, istnieje nie więcej niż jedna płaszczyzna, która zawiera je wszystkie.
  6. Jeśli dwa punkty A , B prostej a leżą na płaszczyźnie α , to każdy punkt a leży w α . W tym przypadku mówimy: „Prosta a leży na płaszczyźnie α ” itd.
  7. Jeśli dwie płaszczyzny α , β mają wspólny punkt A , to mają co najmniej drugi wspólny punkt B.
  8. Istnieją co najmniej cztery punkty nie leżące w płaszczyźnie.

II. Zamówienie

  1. Jeżeli punkt B mieści się między punktami A i C , B jest między C i A , i istnieje linia zawierająca różne punkty , B , C .
  2. Jeśli i C są dwa punkty, to istnieje przynajmniej jeden punkt B na linii AC tak, że C leży między A i B .
  3. Z dowolnych trzech punktów położonych na linii nie więcej niż jeden leży między dwoma pozostałymi.
  4. Pascha jest Aksjomat : Let , B , C trzy punkty nie leżące w tej samej linii i niech być linia leży w płaszczyźnie ABC i nie przechodząc przez każdy z punktów , B , C . Następnie, jeśli prosta a przechodzi przez punkt odcinka AB , przejdzie również przez punkt odcinka BC lub punkt odcinka AC .

III. Stosowność

  1. Jeśli A , B są dwoma punktami na prostej a i jeśli A ′ jest punktem na tej samej lub innej prostej a ′, to po danej stronie A ′ na prostej a ′ zawsze możemy znaleźć punkt B ′ tak, że odcinek AB jest przystający do odcinka A ′ B ′. Wskazujemy tę zależność pisząc AB ≅ A ′ B ′ . Każdy segment jest zgodny ze sobą; to znaczy zawsze mamy AB ≅ AB .
    Powyższy aksjomat możemy krótko sformułować, stwierdzając, że każdy odcinek można odłożyć po określonej stronie danego punktu danej prostej w co najmniej jeden sposób.
  2. Jeżeli odcinek AB jest przystający do odcinka A ′ B ′, a także do odcinka A ″ B ″, to odcinek A ′ B ′ jest przystający do odcinka A ″ B ″; to znaczy, jeśli AB ≅ A ′ B ′ i AB ≅ A ″ B ″ , to A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
  3. Niech AB i BC będą dwoma odcinkami prostej a, które nie mają punktów wspólnych poza punktem B , a ponadto niech A ′ B ′ i B ′ C ′ będą dwoma odcinkami tej samej lub innej prostej a ′ mającej podobnie nie ma innego wspólnego punktu niż B ′. Następnie, jeśli AB ≅ A ′ B ′ i BC ≅ B ′ C ′ , mamy AC ≅ A ′ C ′ .
  4. Niech kąt ∠ ( h , k ) będzie podany na płaszczyźnie α, a prosta a ′ na płaszczyźnie α ′. Załóżmy również, że w płaszczyźnie α ′ przyporządkowany jest określony bok prostej a ′. Oznaczmy przez h ′ promień prostej a ′ wychodzącej z punktu O ′ tej prostej. Wtedy w płaszczyźnie α ′ jest jeden i tylko jeden promień k ′ taki, że kąt ∠ ( h , k ) lub ∠ ( k , h ) jest przystający do kąta ∠ ( h ′, k ′) i jednocześnie wszystkie punkty wewnętrzne kąta ∠ ( h ′, k ′) leżą po danej stronie a ′. Relację tę wyrażamy za pomocą zapisu ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
  5. Jeżeli kąt ∠ ( h , k ) jest przystający do kąta ∠ ( h ′, k ′) i do kąta ∠ ( h ″, k ″) , to kąt ∠ ( h ′, k ′) jest przystający do kąta ( h ′, k ′) kąt ∠ ( h ″, k ″) ; to znaczy, jeśli ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) i ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , to ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″) .
  6. Jeśli w dwóch trójkątach ABC i A ′ B ′ C ′ utrzymują się kongruencje AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ , to kongruencja ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ utrzymuje się (i po zmianie notacji wynika, że ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ również zachodzi).

IV. Paralele

  1. Aksjomat Euklidesa Niech a będzie dowolną linią, a A punktem nie na niej. Wtedy na płaszczyźnie jest co najwyżej jedna prosta, określona przez a i A , która przechodzi przez A i nie przecina się z a .

V. Ciągłość

  1. Aksjomat Archimedesa . Jeśli AB i CD są wszystkie segmenty, to istnieje szereg n takie, że n segmentów CD zbudowane w sposób zwarty z A , wzdłuż promienia od A przez B , przejdzie poza punkt B .
  2. Aksjomat kompletności linii . Przedłużenie (przedłużenie prostej z już istniejącej, zwykle używanej w geometrii) zbioru punktów na prostej z jego kolejnością i relacjami zgodności, które zachowałyby relacje istniejące między oryginalnymi elementami, a także podstawowe właściwości prostej porządek i zgodność wynikająca z Aksjomatów I-III i V-1 jest niemożliwa.

Odrzucony aksjomat Hilberta

Hilbert (1899) zawarł 21. aksjomat, który brzmiał następująco:

II.4. Dowolne cztery punkty A , B , C , D linii można zawsze oznaczyć tak, aby B znajdowało się między A i C, a także między A i D , a ponadto C powinno leżeć między A i D, a także między B a D .

EH Moore i RL Moore niezależnie udowodnili, że ten aksjomat jest zbędny, a ten pierwszy opublikował ten wynik w artykule ukazującym się w Transactions of the American Mathematical Society w 1902 roku.

Wcześniej aksjomat teraz wymieniony jako II.4. został ponumerowany II.5.

Wydania i tłumaczenia Grundlagen der Geometrie

Oryginalna monografia, oparta na jego własnych wykładach, została zorganizowana i napisana przez Hilberta na pamiątkowe przemówienie wygłoszone w 1899 r. Po tym szybko nastąpiło francuskie tłumaczenie, w którym Hilbert dodał V.2, aksjomat kompletności. Tłumaczenie na język angielski, autoryzowane przez Hilberta, zostało wykonane przez EJ Townsenda i objęte prawami autorskimi w 1902 r. To tłumaczenie zawierało zmiany dokonane w tłumaczeniu francuskim i dlatego jest uważane za tłumaczenie 2. wydania. Hilbert nadal wprowadzał zmiany w tekście i kilka wydań ukazało się w języku niemieckim. Siódma edycja była ostatnią w życiu Hilberta. W przedmowie tego wydania Hilbert napisał:

„Obecne, siódme wydanie mojej książki Podstawy geometrii wnosi znaczące ulepszenia i uzupełnienia do poprzedniego wydania, częściowo z moich kolejnych wykładów na ten temat, a częściowo z ulepszeń wprowadzonych w międzyczasie przez innych autorów. Główny tekst książki został poprawiony odpowiednio."

Nowe wydania nastąpiły po siódmym, ale główny tekst zasadniczo nie został poprawiony. Zmiany w tych wydaniach pojawiają się w załącznikach i uzupełnieniach. Zmiany w tekście były duże w porównaniu z oryginałem, a nowe tłumaczenie na język angielski zostało zlecone przez wydawnictwo Open Court Publishers, które opublikowało tłumaczenie Townsenda. Tak więc drugie wydanie angielskie zostało przetłumaczone przez Leo Ungera z dziesiątego wydania niemieckiego w 1971 r. To tłumaczenie zawiera kilka poprawek i rozszerzeń późniejszych niemieckich wydań Paula Bernaysa.

Tłumaczenie Ungera różni się od tłumaczenia Townsenda w odniesieniu do aksjomatów w następujący sposób:

  • Stary aksjomat II.4 zostaje przemianowany na Twierdzenie 5 i przeniesiony.
  • Stary aksjomat II.5 (Aksjomat Pascha) otrzymuje numer II.4.
  • V.2, Aksjomat Kompletności Linii, zastąpiony:
Aksjomat zupełności . Do układu punktów, prostych i płaszczyzn nie można dodać innych elementów w taki sposób, aby uogólniony w ten sposób układ utworzył nową geometrię, spełniającą wszystkie pięć grup aksjomatów. Innymi słowy, elementy geometrii tworzą system, który nie podlega rozszerzeniu, jeśli uznamy pięć grup aksjomatów za prawidłowe.
  • Stary aksjomat V.2 to teraz Twierdzenie 32.

Ostatnie dwie modyfikacje są spowodowane przez P. Bernaysa.

Inne ważne zmiany to:

  • Termin linia prosta używana przez Townsenda została zastąpiona linią w całym tekście.
  • W Aksjomaty padania nazywano aksjomaty Połączenie przez Townsend.

Podanie

Te aksjomaty aksjomatyzują euklidesową geometrię ciała stałego . Usunięcie pięciu aksjomatów wymieniających „płaszczyznę” w zasadniczy sposób, a mianowicie I.4–8 i zmodyfikowanie III.4 i IV.1, aby pominąć wzmiankę o płaszczyznach, daje aksjomatyzację euklidesowej geometrii płaszczyzny .

Aksjomaty Hilberta, w przeciwieństwie do aksjomatów Tarskiego , nie stanowią teorii pierwszego rzędu, ponieważ aksjomatów V.1–2 nie można wyrazić w logice pierwszego rzędu .

Wartość Grundlagena Hilberta była bardziej metodologiczna niż merytoryczna czy pedagogiczna. Innym ważnym wkładem w aksjomatykę geometrii byli Moritz Pasch , Mario Pieri , Oswald Veblen , Edward Vermilye Huntington , Gilbert Robinson i Henry George Forder . Wartością Grundlagena jest pionierskie podejście do zagadnień metamatematycznych , w tym wykorzystanie modeli do udowodnienia niezależności aksjomatów; oraz potrzeba udowodnienia spójności i kompletności systemu aksjomatów.

Matematyka w XX wieku przekształciła się w sieć aksjomatycznych systemów formalnych . Wpływ na to miał w znacznej mierze przykład, który Hilbert dał w Grundlagen . Jednak wysiłek 2003 (Meikle i Fleuriot) mający na celu sformalizowanie Grundlagena za pomocą komputera wykazał, że niektóre dowody Hilberta zdają się opierać na diagramach i intuicji geometrycznej, i jako takie ujawniły pewne potencjalne niejasności i pominięcia w jego definicjach.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne