Idealny zestaw - Perfect set

W ogólnej topologii podzbiór przestrzeni topologicznej jest doskonały, jeśli jest zamknięty i nie ma punktów izolowanych . Równoważnie: zestaw jest idealny jeśli , gdzie oznacza zbiór wszystkich punktów granicznych z , znany również jako zestaw pochodzi z . ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle S = S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

W idealnym zbiorze każdy punkt może być dowolnie aproksymowany przez inne punkty ze zbioru: mając dany punkt i każde sąsiedztwo tego punktu, w sąsiedztwie znajduje się inny punkt . Ponadto każdy punkt przestrzeni, który można tak aproksymować punktami o, należy do . ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Należy zauważyć, że określenie miejsca doskonałe są również stosowane niezgodnie, w odniesieniu do innych właściwości topologicznej przestrzeni, takich jak będąc G _{hemibursztynianu} przestrzeń .

Przykłady

Przykładami doskonałych podzbiorów prostej rzeczywistej są: zbiór pusty , wszystkie przedziały domknięte , sama prosta rzeczywista i zbiór Cantora . Ten ostatni jest godny uwagi, ponieważ jest całkowicie odłączony . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Połączenie z innymi właściwościami topologicznymi

Każdą przestrzeń topologiczną można zapisać w unikalny sposób jako rozłączną sumę zbioru doskonałego i zbioru rozproszonego .

Cantor udowodnił, że każdy domknięty podzbiór prostej rzeczywistej może być jednoznacznie zapisany jako suma rozłączna zbioru doskonałego i zbioru przeliczalnego . Odnosi się to również bardziej ogólnie do wszystkich zamkniętych podzbiorów polskich przestrzeni , w którym to przypadku twierdzenie jest znane jako twierdzenie Cantora-Bendixsona .

Cantor wykazał również, że każdy niepusty doskonały podzbiór prostej rzeczywistej ma kardynalność , czyli kardynalność kontinuum . Wyniki te są rozszerzone w opisowej teorii mnogości w następujący sposób: ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

• Jeśli X jest pełną przestrzenią metryczną bez punktów izolowanych, to przestrzeń Cantora 2 ^ω może być w sposób ciągły osadzona w X . Tak więc X ma co najmniej kardynalność . Jeśli X jest rozdzielną , pełną przestrzenią metryczną bez izolowanych punktów, to kardynalność X wynosi dokładnie .${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$
• Jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa bez punktów izolowanych, istnieje funkcja iniekcyjna (niekoniecznie ciągła) od przestrzeni Cantora do X , a więc X ma co najmniej kardynalność .${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

Zobacz też

• Gęsty sam w sobie
• Właściwość przecięcia skończonego
• Topologia podprzestrzenna

Uwagi

Bibliografia

• Engelking Ryszard, Topologia ogólna , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN  3-88538-006-4
• Kechris, AS (1995), Klasyczna opisowa teoria mnogości , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
• Levy, A. (1979), Podstawowa teoria mnogości , Berlin, New York: Springer-Verlag
• pod redakcją Elliotta Pearla. (2007), Pearl, Elliott (red.), Otwarte problemy w topologii. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5, MR  2367385CS1 maint: dodatkowy tekst: lista autorów ( link )