Aksjomat Playfair - Playfair's axiom

Poprzednik aksjomatu Playfair: prosta i punkt nie na linii
Konsekwencja aksjomatu Playfair: druga linia, równoległa do pierwszej, przechodząca przez punkt

W geometrii , Aksjomat Playfair jest to pewnik , które mogą być stosowane zamiast piątego postulatem Euklidesie (The równolegle postulat )

W płaszczyźnie , mając linię i punkt, który na niej nie leży, przez ten punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą równoległą do danej linii.

Jest to odpowiednik postulatu równoległego Euklidesa w kontekście geometrii euklidesowej i został nazwany na cześć szkockiego matematyka Johna Playfaira . Klauzula „co najwyżej” jest wszystkim, czego potrzeba, ponieważ z pozostałych aksjomatów można dowieść, że istnieje co najmniej jedna równoległa linia. Stwierdzenie to jest często zapisywane ze zwrotem „istnieje jedna i tylko jedna paralela”. W Elementach Euklidesa mówi się , że dwie linie są równoległe, jeśli nigdy się nie spotykają, a inne charakterystyki równoległych linii nie są używane.

Ten aksjomat jest używany nie tylko w geometrii euklidesowej, ale także w szerszym badaniu geometrii afinicznej, gdzie pojęcie równoległości zajmuje centralne miejsce. W ustawieniu geometrii afinicznej potrzebna jest silniejsza forma aksjomatu Playfair (gdzie „co najwyżej” jest zastępowane przez „jeden i tylko jeden”), ponieważ aksjomaty geometrii neutralnej nie są obecne, aby zapewnić dowód istnienia. Wersja aksjomatu Playfair stała się tak popularna, że ​​często określa się ją jako aksjomat równoległy Euklidesa , mimo że nie była wersją aksjomatu Euklidesa. Następstwem tego aksjomatu jest to, że binarna relacja równoległych linii jest relacją szeregową .

Historia

Proclus (410–485 po Chr.) Wyraźnie stwierdza to w swoim komentarzu do Euklidesa I.31 (Księga I, Propozycja 31)

W 1785 roku William Ludlam wyraził równoległy aksjomat w następujący sposób:

Dwie proste, spotykające się w punkcie, nie są równoległe do trzeciej linii.

Ten krótki wyraz paralelizmu euklidesowego został przyjęty przez Playfair w jego często wznawianym podręczniku Elements of Geometry (1795). On napisał

Dwie proste, które się przecinają, nie mogą być równoległe do tej samej prostej.

Playfair docenił Ludlam i innych za uproszczenie twierdzenia Euklidesa. W późniejszych opracowaniach punkt przecięcia dwóch linii był pierwszy, a zaprzeczenie dwóch podobieństw zostało wyrażone jako unikalna równoległość w danym punkcie.

Schopenhauer wyraził poparcie dla aksjomatu w The World as Will and Idea Vol II, Sup. rozdział 13.

W 1883 roku Arthur Cayley był prezesem British Association i wyraził taką opinię w swoim przemówieniu do Stowarzyszenia:

Mój własny pogląd jest taki, że Dwunasty Aksjomat Euklidesa w formie Playfair nie wymaga demonstracji, ale jest częścią naszego pojęcia przestrzeni, fizycznej przestrzeni naszego doświadczenia, która jest reprezentacją leżącą u podstaw wszelkiego doświadczenia zewnętrznego.

Kiedy David Hilbert napisał swoją książkę Foundations of Geometry (1899), dostarczając nowy zestaw aksjomatów dla geometrii euklidesowej, użył formy aksjomatu Playfaira zamiast oryginalnej wersji euklidesowej do omawiania linii równoległych.

Relacja z piątym postulatem Euklidesa

Jeżeli suma kątów wewnętrznych α i β jest mniejsza niż 180 °, dwie proste, utworzone w nieskończoność, spotykają się po tej stronie.

Równoległy postulat Euklidesa stwierdza:

Jeżeli odcinek linii przecina dwie proste , tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie, których suma jest mniejsza niż dwa kąty proste , to te dwie proste, jeśli są rozciągnięte w nieskończoność, spotykają się po tej stronie, na której suma kątów jest mniejsza niż dwa kąty proste.

Złożoność tego stwierdzenia w porównaniu ze sformułowaniem Playfair jest z pewnością wiodącym przyczynkiem do popularności cytowania aksjomatu Playfair w dyskusjach na temat postulatu równoległego.

W kontekście geometrii absolutnej te dwa stwierdzenia są równoważne, co oznacza, że ​​każde z nich można udowodnić przyjmując drugie w obecności pozostałych aksjomatów geometrii. To nie znaczy, że zdania są logicznie równoważne (tj, można udowodnić z drugiej przy użyciu tylko formalne manipulacje Logic), ponieważ, na przykład, kiedy interpretować w sferycznego modelu z geometrii eliptycznej jedno stwierdzenie jest prawdziwe, a drugie nie jest. Twierdzenia równoważne logicznie mają tę samą wartość prawdziwości we wszystkich modelach, w których mają interpretacje.

Poniższe dowody zakładają, że wszystkie aksjomaty geometrii absolutnej (neutralnej) są poprawne.

Piąty postulat Euclida implikuje aksjomat Playfair

Najłatwiej to pokazać, używając twierdzenia Euklidesa (odpowiednika piątego postulatu), które stwierdza, że ​​kąty trójkąta sumują się do dwóch kątów prostych. Biorąc linię i punkt P nie na tej linii, budowę prostą, t , prostopadłym do zadanego przez punkt P , a następnie w kierunku prostopadłym do tej prostopadłej w punkcie P . Linia ta jest równoległa, ponieważ nie może się spotykać i tworzyć trójkąta, co jest powiedziane w Księdze 1 Twierdzenie 27 w Elementach Euklidesa . Teraz widać, że nie ma innych podobieństw. Jeśli n było drugą prostą przechodzącą przez P , to n tworzy kąt ostry z t (ponieważ nie jest prostopadły) i hipoteza piątego postulatu jest zachowana, a zatem n spotyka się .

Aksjomat Playfair implikuje piąty postulat Euklidesa

Biorąc pod uwagę, że postulat Playfair zakłada, że ​​tylko prostopadła do prostopadłości jest równoległa, linie konstrukcji Euclid będą musiały przecinać się w punkcie. Konieczne jest również udowodnienie, że zrobią to po stronie, w której kąty sumują się do mniej niż dwóch kątów prostych, ale jest to trudniejsze.

Przechodniość równoległości

Twierdzenie 30 Euklidesa brzmi: „Dwie linie, każda równoległa do trzeciej, są do siebie równoległe”. Augustus De Morgan zauważył, że twierdzenie to jest logicznie równoważne z aksjomatem Playfair. Uwaga ta została powtórzona przez TL Heatha w 1908 roku. Argument De Morgana wygląda następująco: Niech X będzie zbiorem par odrębnych linii, które się spotykają, a Y zbiorem odrębnych par linii, z których każda jest równoległa do jednej wspólnej prostej. Jeśli z reprezentuje parę odrębnych linii, to instrukcja

Dla wszystkich z , jeśli z jest w X, to z nie jest w Y ,

jest aksjomatem Playfair (w ujęciu De Morgana, że ​​nie X to Y ) i jego logicznie równoważnym kontrapozytywem ,

Dla wszystkich z , jeśli z jest w Y, to z nie jest w X ,

to Euclid I.30, przechodniość równoległości (nie Y to X ).

Niedawno implikacja została sformułowana inaczej w kategoriach relacji binarnej wyrażonej liniami równoległymi : W geometrii afinicznej relację uważa się za relację równoważności , co oznacza, że ​​linia jest uważana za równoległą do siebie . Andy Liu napisał: „Niech P będzie punktem nie znajdującym się w linii 2. Załóżmy, że zarówno linia 1, jak i linia 3 przechodzą przez P i są równoległe do prostej 2. Dzięki przechodniości są one do siebie równoległe, a zatem nie mogą mieć dokładnie wspólnego punktu P Wynika z tego, że to ta sama linia, co jest aksjomatem Playfair ”.

Uwagi

Bibliografia

(3 tomy): ISBN   0-486-60088-2 (tom 1), ISBN   0-486-60089-0 (tom 2), ISBN   0-486-60090-4 (tom 3).