Pole pozostałości - Residue field

W matematyce The pole pozostałość jest podstawowa konstrukcja w przemiennej Algebra . Jeśli R jest pierścieniem przemiennym , a m jest maksymalnym ideałem , wtedy pole resztowe jest pierścieniem ilorazowym k = R / m , który jest polem . Często R jest pierścieniem lokalnym, a m jest jego unikalnym maksymalnym ideałem.

Ta konstrukcja stosowana jest w algebraicznej geometrii , w której dla każdego punktu X o schemacie X kojarzy jego reszta pola k ( x ). Można trochę swobodnie powiedzieć, że pole resztowe punktu abstrakcyjnej rozmaitości algebraicznej jest „dziedziną naturalną” dla współrzędnych punktu.

Definicja

Załóżmy, że R jest przemiennym pierścieniem lokalnym z maksymalnym idealnym m . Wtedy pole pozostałości jest pierścieniem ilorazowym R / m .

Załóżmy teraz, że X jest schematem, a x jest punktem X . Zgodnie z definicją schematu możemy znaleźć sąsiedztwo afiniczne U = Spec( A ), z A pewnym pierścieniem przemiennym . Rozważany w sąsiedztwie U , punkt x odpowiada pierwszemu ideałowi p ⊆ A (patrz topologia Zariskiego ). Pierścień lokalny od X do X jest z definicji lokalizacja R = P , przy czym ilość idealnego m = s • A p . Stosując powyższą konstrukcję otrzymujemy pole pozostałości punktu x :

k ( x ) := A p / p · A p .

Można udowodnić, że definicja ta nie zależy od wyboru sąsiedztwa afinicznego U .

Punkt nazywamy K -racjonalnym dla pewnego pola K , jeśli k ( x ) = K .

Przykład

Rozważmy linię afiniczną A 1 ( k ) = Spec( k [ t ] ) nad polem k . Jeśli k jest algebraicznie domknięte , to istnieją dokładnie dwa typy ideałów pierwszych, mianowicie

  • ( t  −  a ), a ∈ k
  • (0), zero-ideał.

Pola pozostałości są

  • , pole funkcji nad k w jednej zmiennej.

Jeśli k nie jest algebraicznie domknięty, to powstaje więcej typów, na przykład jeśli k = R , wtedy ideał pierwszy ( x 2  + 1) ma pole resztowe izomorficzne z C .

Nieruchomości

  • Dla schematu lokalnie typu skończonego nad ciałem k punkt x jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy k ( x ) jest skończonym rozszerzeniem ciała bazowego k . Jest to geometryczne sformułowanie Hilberta Nullstellensatz . W powyższym przykładzie punkty pierwszego rodzaju są zamknięte, mające pole resztkowe k , podczas gdy drugi punkt jest punktem ogólnym , mającym stopień transcendencji 1 nad k .
  • Morfizm Spec( K ) → X , K jakieś pole, jest równoważny dodaniu punktu x ∈ X i rozszerzenia K / k ( x ).
  • Wymiar schematu skończonej typu na polu wynosi stopnia Transcendencja dziedzinie pozostałości punktu ogólnej.

Bibliografia

Dalsza lektura