Twierdzenie Routha - Routh's theorem

Twierdzenie Routha

W geometrii , twierdzenie Routh za określa stosunek pomiędzy danym obszarze trójkąta i trójkąta utworzonego przez skrzyżowań parami trzech cevians . Twierdzenie mówi, że jeśli w trójkącie punktów , i leżą na segmenty , oraz , po czym pisać , i , podpisanego obszar trójkąta utworzonego przez cevians , i to jest obszar trójkąta razy ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle {\ tfrac {CD} {BD}}}$${\ displaystyle = x}$${\ displaystyle {\ tfrac {AE} {CE}}}$${\ displaystyle = y}$${\ displaystyle {\ tfrac {BF} {AF}}}$${\ displaystyle = z}$${\ displaystyle AD}$${\ displaystyle BE}$${\ displaystyle CF}$${\ displaystyle ABC}$

${\ Displaystyle {\ Frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xy + y + 1) (yz + z + 1) (zx + x + 1)}}.}$

Twierdzenie to zostało podane przez Edwarda Johna Routha na stronie 82 jego Treatise on Analytical Statics with Liczne Przykłady z 1896 roku. Ten szczególny przypadek został spopularyzowany jako trójkąt jednej siódmej powierzchni . Przypadek sugeruje, że trzy środkowe są współbieżne (poprzez ciężkości ). ${\ Displaystyle x = y = z = 2}$${\ Displaystyle x = y = z = 1}$

Dowód

Twierdzenie Routha

Załóżmy, że pole trójkąta jest równe 1. Dla trójkąta i prostej przy użyciu twierdzenia Menelaosa moglibyśmy otrzymać: ${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle ABD}$${\ displaystyle FRC}$

${\ Displaystyle {\ Frac {AF} {FB}} \ razy {\ Frac {BC} {CD}} \ razy {\ Frac {DR} {RA}} = 1}$

Wtedy więc pole trójkąta jest: ${\ Displaystyle {\ Frac {DR} {RA}} = {\ Frac {BF} {FA}} \ razy {\ Frac {DC} {CB}} = {\ Frac {Zx} {x + 1}}}$${\ displaystyle ARC}$

${\ Displaystyle S_ {ARC} = {\ Frac {AR} {AD}} S_ {ADC} = {\ Frac {AR} {AD}} \ razy {\ Frac {DC} {BC}} S_ {ABC} = {\ frac {x} {zx + x + 1}}}$

Podobnie moglibyśmy wiedzieć: a zatem pole trójkąta to: ${\ Displaystyle S_ {BPA} = {\ Frac {y} {xy + y + 1}}}$${\ Displaystyle S_ {CQB} = {\ Frac {z} {yz + z + 1}}}$${\ displaystyle PQR}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle S_ {PQR} = S_ {ABC} -S_ {ARC} -S_ {BPA} -S_ {CQB}}$

${\ displaystyle = 1 - {\ Frac {x} {zx + x + 1}} - {\ frac {y} {xy + y + 1}} - {\ frac {z} {yz + z + 1}} }$

${\ Displaystyle = {\ Frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xz + x + 1) (yx + y + 1) (zy + z + 1)}}.}$

Cytaty

Cytatem powszechnie podawanym dla twierdzenia Routha jest Traktat Routha o statyki analitycznej z licznymi przykładami , tom 1, rozdz. IV, w drugim wydaniu z 1896 r . Str. 82 , być może dlatego, że ta edycja była łatwiejsza w obsłudze. Jednak Routh podał to twierdzenie już w pierwszym wydaniu 1891, tom 1, rozdz. IV, s. 89 . Pomimo zmiany paginacji między wydaniami, brzmienie odpowiedniego przypisu pozostało takie samo.

Routh kończy swój rozszerzony przypis z zastrzeżeniem :

„Autor nie spotkał się z tymi wyrażeniami dla często występujących obszarów dwóch trójkątów. Dlatego umieścił je tutaj, aby argumentacja w tekście była łatwiejsza”.

Przypuszczalnie Routh uważał, że te okoliczności nie zmieniły się w ciągu pięciu lat między edycjami. Z drugiej strony, tytuł książki Routha był wcześniej używany przez Izaaka Todhuntera ; obaj byli trenowani przez Williama Hopkinsa .

Chociaż Routh opublikował to twierdzenie w swojej książce, nie jest to pierwsze opublikowane stwierdzenie. Jest to określone i udowodnione jako jeździec (vii) na stronie 33 w Rozwiązaniach Cambridge Senate-house Problems and Riders for the Year 1878, tj. W matematycznych trójkach tego roku, a link to https://archive.org/ szczegóły / rozwiązaniacambri00glaigoog . Stwierdzono, że autorem problemów z cyframi rzymskimi jest Glaisher . Routh był słynnym trenerem Mathematical Tripos , kiedy ukazała się jego książka i z pewnością znał treść egzaminu na tripo 1878. Stąd jego wypowiedź Autor nie spotkał się z tymi wyrażeniami dla często występujących obszarów dwóch trójkątów. jest zagadkowe.

Problemy w tym duchu mają długą historię w matematyce rekreacyjnej i pedagogice matematycznej , być może jednym z najstarszych przypadków określenia proporcji czternastu obszarów tablicy Stomachion . Mając na uwadze Routha Cambridge , trójkąt o jednej siódmej powierzchni , powiązany w niektórych relacjach z Richardem Feynmanem , pojawia się na przykład jako Pytanie 100, s. 80 , w Elementów Euklidesa Geometrii ( piąta Szkoła Edition ) , przez Roberta Potts (1805--1885), Trinity College, opublikowanej w 1859 roku; porównajcie także jego pytania 98, 99 na tej samej stronie. Potts był dwudziestym szóstym Wranglerem w 1832 roku, a następnie, podobnie jak Hopkins i Routh, trenował w Cambridge. Pisma ekspozycyjne Potta z geometrii zostały wyróżnione medalem na Międzynarodowej Wystawie w 1862 r., A także odznaczeniem Hon. LL.D. z College of William and Mary w Williamsburgu w Wirginii .

Bibliografia

• Murray S. Klamkin i A. Liu (1981) „Three more proofs of Routh's theorem”, Crux Mathematicorum 7: 199–203.
• HSM Coxeter (1969) Wprowadzenie do geometrii , stwierdzenie s. 211, dowód s. 219–20, wydanie 2, Wiley, Nowy Jork.
• JS Kline i D. Velleman (1995) „Jeszcze jeden dowód twierdzenia Routha” (1995) Crux Mathematicorum 21: 37–40
• Ivan Niven (1976) „A New Proof of Routh's Theorem”, Mathematics Magazine 49 (1): 25–7, doi : 10.2307 / 2689876
• Jay Warendorff, Twierdzenie Routha , Projekt demonstracji Wolframa .
• Weisstein, Eric W. "Twierdzenie Routha" . MathWorld .
• Twierdzenie Routha przez produkty krzyżowe na MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24–27.