Ciągłość Scotta - Scott continuity

W matematyce , przy danych dwóch częściowo uporządkowanych zbiorach P i Q , funkcja f : P → Q pomiędzy nimi jest Scott-ciągła (nazwana na cześć matematyk Dany Scott ), jeśli zachowuje wszystkie skierowane supremy . Oznacza to, że dla każdego skierowanego podzbioru D z P z supremum w P , jego obraz ma supremum w Q , a to supremum jest obrazem supremum D , tj. gdzie jest sprzężenie skierowane. Gdy jest to poset wartości prawdziwości, czyli przestrzeń Sierpińskiego , to funkcje ciągłe Scotta są funkcjami charakterystycznymi , a więc przestrzeń Sierpińskiego jest toposem klasyfikującym zbiory otwarte.

Podzbiór O zbioru częściowo uporządkowanego P jest nazywany Scott-open, jeśli jest zbiorem górnym i jeśli jest niedostępny przez złączenia skierowane , tj. jeśli wszystkie zbiory skierowane D z supremum w O mają niepuste przecięcie z O . Otwarte podzbiory Scotta częściowo uporządkowanego zbioru P tworzą topologię na P , topologię Scotta . Funkcja pomiędzy częściowo uporządkowanymi zbiorami jest ciągła według Scotta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła względem topologii Scotta.

Topologia Scotta została po raz pierwszy zdefiniowana przez Danę Scott dla kompletnych sieci, a później zdefiniowana dla arbitralnie uporządkowanych zbiorów.

Funkcje ciągłe Scotta pojawiają się w badaniach modeli dla rachunków lambda i semantyki denotacyjnej programów komputerowych.

Nieruchomości

Funkcja ciągła Scotta jest zawsze monotoniczna .

Podzbiór skierowanego całkowitego porządku częściowego jest domknięty względem topologii Scotta wywołanej przez porządek częściowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem niższym i jest domknięty pod supremą podzbiorów skierowanych.

Skierowane porządek zupełny (dcpo) o topologii Scott zawsze miejsca Kołmogorow (to znaczy, że spełnia on T 0 rozdzielenie Aksjomat ). Jednak dcpo z topologią Scotta jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy porządek jest trywialny. Zestawy otwarte Scott tworzą kompletną siatkę, gdy są zamawiane przez włączenie .

Dla każdej przestrzeni Kołmogorowa, topologia indukuje relację porządku na tej przestrzeni, kolejność specjalizacja : x ≤ y wtedy i tylko wtedy, gdy każdy otwarty sąsiedztwo z X jest również otwarty sąsiedztwo y . Relację porządku dcpo D można zrekonstruować ze zbiorów Scott-open jako porządek specjalizacji indukowany przez topologię Scotta. Jednak dcpo wyposażony w topologię Scotta nie musi być trzeźwy : porządek specjalizacji wywołany przez topologię trzeźwej przestrzeni czyni tę przestrzeń dcpo, ale topologia Scotta wywodząca się z tego porządku jest dokładniejsza niż oryginalna topologia.

Przykłady

Otwarte zbiory w danej przestrzeni topologicznej uporządkowane przez inkluzję tworzą kratę, na której można zdefiniować topologię Scotta. Podzbiór X przestrzeni topologicznej T jest zwarty względem topologii na T (w tym sensie, że każde pokrycie otwarte od X zawiera skończoną subcover z X ) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór otwartych dzielnicach z X jest otwarty w stosunku do topologia Scotta.

W przypadku CPO , kartezjańskiej zamkniętej kategorii dcpo, dwa szczególnie godne uwagi przykłady funkcji ciągłych Scotta to curry i apply .

Nuel Belnap użył ciągłości Scotta do rozszerzenia spójników logicznych na logikę czterowartościową .

Zobacz też

Przypisy

  1. ^ B Vickersa Steven (1989). Topologia przez logikę . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-36062-3.
  2. ^ Topologia Scotta w nLab
  3. ^ B Scott Dana (1972). „Ciągłe kraty”. W Lawvere, Bill (red.). Toposy, geometria algebraiczna i logika . Notatki z wykładu z matematyki. 274 . Springer-Verlag.
  4. ^ a b c d Abramsky, S.; Jung, A. (1994). „Teoria domeny” (PDF) . W Abramsky S.; Gabbay, DM; Maibaum, TSE (wyd.). Podręcznik logiki w informatyce . Tom. III. Oxford University Press. Numer ISBN 978-0-19-853762-5. |volume=ma dodatkowy tekst ( pomoc )
  5. ^ B Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). „The Dedekind Reals w abstrakcyjnej dualności kamienia” . Struktury matematyczne w informatyce . 19 (4): 757–838. CiteSeerX  10.1.1.424.6069 . doi : 10.1017/S0960129509007695 . S2CID  6774320 . Źródło 8 października 2010 .
  6. ^ Barendregt, HP (1984). Rachunek Lambda . Północna Holandia. Numer ISBN 978-0-444-87508-2. (Patrz twierdzenia 1.2.13, 1.2.14)
  7. ^ N. Belnap (1975) „Jak komputery powinny myśleć”, strony 30 do 56 we współczesnych aspektach filozofii ,redaktor Gilbert Ryle , Oriel Press ISBN  0-85362-161-6

Bibliografia