Podpisany zero - Signed zero

Podpisana zerowy jest zerowy z towarzyszącym znakiem . W zwykłej arytmetyce liczba 0 nie ma znaku, więc -0, +0 i 0 są identyczne. Jednak w obliczeniach niektóre reprezentacje liczbowe dopuszczają istnienie dwóch zer, często oznaczanych przez −0 ( zero ujemne ) i +0 ( zero dodatnie ), uważanych za równe przez operacje porównania numerycznego, ale z możliwymi różnymi zachowaniami w poszczególnych operacjach. Dzieje się tak w reprezentacjach liczb całkowitych ze znakiem i wielkością oraz w dopełnieniu do jedynek , a także w większości reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych . Liczba 0 jest zwykle zakodowana jako +0, ale może być reprezentowana przez +0 lub -0.

Standard IEEE 754 dla arytmetyki zmiennoprzecinkowej (obecnie używany przez większość komputerów i języków programowania obsługujących liczby zmiennoprzecinkowe) wymaga zarówno +0, jak i -0. Arytmetyka rzeczywista ze znakiem zer może być uważana za wariant rozszerzonej linii liczb rzeczywistych taki, że 1/−0 = − ∞ i 1/+0 = +∞; podział jest nieokreślony tylko dla ± 0/±0 i ±∞/±∞.

Zero ze znakiem ujemnym odzwierciedla koncepcję analizy matematycznej polegającą na zbliżaniu się do 0 od dołu jako jednostronnej granicy , która może być oznaczona przez x  → 0 ⁻ , x  → 0− lub x  → ↑0. Notacja „-0” może być używana nieformalnie do oznaczenia liczby ujemnej, która została zaokrąglona do zera. Pojęcie ujemnego zera ma również pewne teoretyczne zastosowania w mechanice statystycznej i innych dyscyplinach.

Twierdzi się, że uwzględnienie zera ze znakiem w IEEE 754 znacznie ułatwia osiągnięcie dokładności numerycznej w niektórych krytycznych problemach, w szczególności podczas obliczeń ze złożonymi funkcjami elementarnymi. Z drugiej strony, pojęcie zera ze znakiem jest sprzeczne z ogólnym założeniem przyjmowanym w większości dziedzin matematycznych, że zero ujemne jest tym samym co zero. Reprezentacje, które dopuszczają ujemne zero, mogą być źródłem błędów w programach, jeśli twórcy oprogramowania nie wezmą pod uwagę, że podczas gdy dwie reprezentacje zerowe zachowują się tak samo w przypadku porównań numerycznych, dają różne wyniki w niektórych operacjach.

Reprezentacje

Powszechnie stosowane kodowanie dopełniacza do dwóch nie pozwala na ujemne zero. W 1+7-bitowej reprezentacji znaku i wielkości liczb całkowitych ujemne zero jest reprezentowane przez ciąg bitów 1000 0000 . W 8-bitowej reprezentacji uzupełnienia do jedynki ujemne zero jest reprezentowane przez ciąg bitów 1111 1111 . We wszystkich trzech kodowaniach dodatnie zero jest reprezentowane przez 0000 0000 . Są to jednak rzadko spotykane formaty, najczęstszymi formatami, w tym ujemnymi zerami, są formaty zmiennoprzecinkowe IEEE 754, opisane poniżej.

W IEEE 754 liczb zmiennoprzecinkowych binarnych wartości zera są reprezentowane przez stronniczych wykładnik i mantysy zarówno zerowej. Ujemne zero ma bit znaku ustawiony na jeden. Ujemne zero można otrzymać w wyniku pewnych obliczeń, na przykład jako wynik niedomiaru arytmetycznego na liczbie ujemnej lub −1.0×0.0, lub po prostu jako −0.0.

W dziesiętnym kodowaniu zmiennoprzecinkowym IEEE 754 ujemne zero jest reprezentowane przez wykładnik będący dowolnym prawidłowym wykładnikiem w zakresie dla kodowania, przy czym prawdziwe znaczenie i wynosi zero, a bit znaku to jeden.

Właściwości i obsługa

Standard zmiennoprzecinkowy IEEE 754 określa zachowanie dodatniego zera i ujemnego zera w różnych operacjach. Wynik może zależeć od bieżących ustawień trybu zaokrąglania IEEE .

Notacja

W systemach, które zawierają zarówno zera ze znakiem, jak i bez znaku, notacja i jest czasami używana dla zer ze znakiem. ${\ Displaystyle 0 ^ {+}}$${\ Displaystyle 0 ^ {-}}$

Arytmetyka

Dodawanie i mnożenie są przemienne, ale istnieją pewne specjalne zasady, których należy przestrzegać, co oznacza, że ​​zwykłe zasady matematyczne uproszczenia algebraicznego mogą nie mieć zastosowania. Poniższy znak pokazuje otrzymane wyniki zmiennoprzecinkowe (nie jest to zwykły operator równości). ${\displaystyle =}$

Podczas mnożenia lub dzielenia zawsze stosuje się zwykłą zasadę dotyczącą znaków:

• ${\ Displaystyle (-0) \ cdot \ lewo | x \ prawo | = -0 \ \!}$(dla różnych od ±∞)${\displaystyle x}$
• ${\ Displaystyle {\ Frac {-0} {\ lewy | x \ prawy |}} = -0 \ \!}$(dla różnych od 0)${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-0)\cdot (-0)=+0\\!}$

Istnieją specjalne zasady dodawania lub odejmowania ze znakiem zero:

• ${\displaystyle x+(\pm 0)=x\\!}$(dla różnych od 0)${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=-0\\!}$
• ${\displaystyle (+0)+(+0)=(+0)-(-0)=+0\\!}$
• ${\displaystyle xx=x+(-x)=+0\\!}$(dla dowolnego skończonego , -0 przy zaokrąglaniu w kierunku ujemnym)${\displaystyle x}$

Z powodu ujemnego zera (a także gdy tryb zaokrąglania jest w górę lub w dół), wyrażenia −( x − y ) i (− x ) − (− y ) dla zmiennych zmiennoprzecinkowych x i y , nie mogą być zastąpione przez y − x . Jednak (−0) + x można zastąpić przez x z zaokrągleniem do najbliższej (z wyjątkiem sytuacji, gdy x może być sygnalizacyjnym NaN ).

Kilka innych specjalnych zasad:

• ${\ Displaystyle \ lewo |-0 \ prawo | = + 0 \ \!}$
• ${\displaystyle {\sqrt {-0}}=-0\\!}$
• ${\displaystyle {\frac {-0}{-\infty}}=+0\\!}$ (zgodnie z zasadą znaku dla podziału)
• ${\displaystyle {\frac {\lewo|x\prawo|}{-0}}=-\infty \\!}$ (dla wartości niezerowych , stosuje się regułę znaku dla dzielenia)${\displaystyle x}$
• ${\ Displaystyle {\ pm 0} \ razy {\ pm \ infty} = {\ mbox {NaN}} \ \!}$( Nie liczba ani przerwanie dla nieokreślonej formy )
• ${\ Displaystyle {\ Frac {\ pm 0}{\ pm 0}} = {\ mbox {NaN}} \ \!}$

Dzielenie liczby niezerowej przez zero ustawia flagę dzielenia przez zero , a operacja generująca NaN ustawia flagę nieprawidłowej operacji. Obsługi wyjątku jest nazywany jeśli włączona do odpowiedniej flagi.

Porównania

Zgodnie ze standardem IEEE 754 zero ujemne i zero dodatnie powinny być porównywane ze zwykłymi (numerycznymi) operatorami porównania, takimi jak ==operatory C i Java . W tych językach mogą być potrzebne specjalne sztuczki programistyczne, aby rozróżnić dwie wartości:

• Wpisz przestawiając liczbę na typ całkowity, aby spojrzeć na bit znaku we wzorcu bitowym;
• użycie funkcji ISO C copysign()(operacja IEEE 754 copySign) do skopiowania znaku zera na jakąś niezerową liczbę;
• użycie signbit()makra ISO C (operacja IEEE 754 isSignMinus), które zwraca, czy bit znaku liczby jest ustawiony;
• biorąc odwrotność zera, aby otrzymać 1/(+0) = +∞ lub 1/(−0) = −∞ (jeśli wyjątek dzielenia przez zero nie jest uchwycony).

Uwaga: Rzutowanie do typu integralnego nie zawsze będzie działać, szczególnie w systemach dopełniaczy dwójkowych.

Jednak niektóre języki programowania mogą udostępniać alternatywne operatory porównania, które rozróżniają dwa zera. Tak jest na przykład w przypadku metody równości w Doubleklasie wrappera Javy .

W zaokrąglonych wartościach, takich jak temperatury

Nieformalnie można użyć notacji „-0” dla wartości ujemnej, która została zaokrąglona do zera. Ta notacja może być przydatna, gdy znak ujemny jest znaczący; na przykład podczas zestawiania temperatur w stopniach Celsjusza , gdzie znak ujemny oznacza poniżej zera .

W mechanice statystycznej

W mechanice statystycznej czasami używa się ujemnych temperatur do opisu układów z inwersją populacji , które można uznać za mające temperaturę większą niż nieskończoność dodatnia, ponieważ współczynnik energii w funkcji rozkładu populacji wynosi −1/Temperatura. W tym kontekście temperatura -0 jest (teoretyczną) temperaturą większą niż jakakolwiek inna ujemna temperatura, odpowiadająca (teoretycznemu) maksymalnemu wyobrażalnemu zakresowi inwersji populacji, przeciwna skrajność do +0.

Zobacz też

• Linia o dwóch początkach
• Rozszerzona linia liczb rzeczywistych

Bibliografia

Dalsza lektura