Tensor wirowania - Spin tensor

W matematyce , fizyki matematycznej i fizyce teoretycznej The napinacz wirowania to wielkość stosuje się do opisania ruchu obrotowego cząstek czasoprzestrzeni . Tensor ma zastosowanie w ogólnej i szczególnej teorii względności , a także w mechanice kwantowej , relatywistycznej mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola .

Specjalną grupę euklidesowa SE ( d ) stanowi bezpośrednie izometrycznych generuje tłumaczenia i obrotów . Jego algebra Liego jest napisana . ${\displaystyle {\mathfrak {se}}(d)}$

W tym artykule zastosowano współrzędne kartezjańskie i notację indeksu tensora .

Tło na temat prądów Noether

Prąd Noether tłumaczeń w przestrzeni jest pęd, podczas gdy prąd odstępach czasu jest energią. Te dwa zdania łączą się w jedno w czasoprzestrzeni: translacje w czasoprzestrzeni, czyli przesunięcie między dwoma zdarzeniami, jest generowane przez czteropęd P . Zachowanie czteropędu jest dane równaniem ciągłości :

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = 0 \ ,,}$

gdzie jest tensorem naprężenie-energia , a ∂ są pochodnymi cząstkowymi składającymi się na cztery gradienty (we współrzędnych niekartezjańskich należy to zastąpić pochodną kowariantną ). Integracja w przestrzeni: ${\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \}$

${\ Displaystyle \ int d ^ {3} x T ^ {\ mu 0} ({\ vec {x}} t) = P ^ {\ mu}}$

daje czteropędowy wektor w czasie t .

Prąd Noether dla obrotu wokół punktu y jest określony tensorem trzeciego rzędu, oznaczonym . Ze względu na relacje algebry Liego${\ Displaystyle M_ {y} ^ {\ alfa \ beta \ mu}}$

${\ Displaystyle M_ {y} ^ {\ alfa \ beta \ mu} (x) = M_ {0} ^ {\ alfa \ beta \ mu} (x) + y ^ {\ alfa} T ^ {\ beta \ mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}$

gdzie indeks dolny 0 wskazuje pochodzenie (w przeciwieństwie do pędu, moment pędu zależy od początku), całka:

${\ Displaystyle \ int d ^ {3}xM_ {0} ^ {\ mu \ nu} ({\ vec {x}}, t)}$

daje tensor momentu pędu w czasie t . ${\ Displaystyle M ^ {\ mu \ nu} \}$

Definicja

Wirowania napinacz jest zdefiniowane w punkcie X jako wartość prądu Noether co X o obrót o x ,

${\ Displaystyle S ^ {\ alfa \ beta \ mu} (\ mathbf {x} ) \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ M_ {x} ^ {\ alfa \ beta \ mu} ( \mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )- x^{\beta }T^{\alfa \mu }(\mathbf {x} )}$

Równanie ciągłości

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} M_ {0} ^ {\ alfa \ beta \ mu} = 0 \ ,,}$

oznacza:

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ mu} S ^ {\ alfa \ beta \ mu} = T ^ {\ beta \ alfa}-T ^ {\ alfa \ beta} \ neq 0}$

dlatego tensor naprężenie-energia nie jest tensorem symetrycznym .

Wielkość S jest gęstością spinowego momentu pędu (spin w tym przypadku dotyczy nie tylko cząstki punktowej, ale także ciała rozciągniętego), a M jest gęstością orbitalnego momentu pędu. Całkowity moment pędu jest zawsze sumą wkładów spinowych i orbitalnych.

Relacja:

${\ Displaystyle T_ {ij}-T_ {ji}}$

podaje gęstość momentu obrotowego pokazującą szybkość konwersji między orbitalnym momentem pędu a spinem.

Przykłady

Przykładami materiałów o niezerowej gęstości spinowej są płyny molekularne , pole elektromagnetyczne i płyny turbulentne . W przypadku płynów molekularnych poszczególne cząsteczki mogą wirować. Pole elektromagnetyczne może mieć światło spolaryzowane kołowo . W przypadku płynów turbulentnych możemy arbitralnie rozróżnić zjawiska o długich falach i zjawiska o krótkich długościach fali. Wirowość o długich długościach fali może zostać przekształcona poprzez turbulencje w coraz mniejsze wiry, przenosząc moment pędu na coraz mniejsze długości fal, jednocześnie zmniejszając wirowość . Może to być przybliżone przez lepkość wirów .

Zobacz też

• Belinfante-Rosenfeld naprężenie-tensor energii
• Grupa Poincare
• Grupa Lorentza
• Relatywistyczny moment pędu
• Środek masy (relatywistyczny)
• równania Mathissona-Papapetrou-Dixona
• Pseudowektor Pauliego–Lubańskiego

Bibliografia

• AK Raychaudhuri; S. Banerji; A. Banerjee (2003). Ogólna teoria względności, astrofizyka i kosmologia . Biblioteka astronomii i astrofizyki. Skoczek. s. 66–67. Numer ISBN 978-038-740-628-2.
• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Grawitacja . WH Freeman & Co. str.  156 -159, §5.11. Numer ISBN 978-0-7167-0344-0.
• LM Rzeźnik; A. Lasenby'ego; M. Hobsona (2012). „Lokalizowanie pędu grawitacji liniowej”. Fiz. Rev D . 86 (8): 084012. arXiv : 1210,0831 . Kod bib : 2012PhRvD..86h4012B . doi : 10.1103/PhysRevD.86.084012 . S2CID  119220791 .
• T. Banki (2008). „Nowoczesna teoria pola kwantowego: zwięzłe wprowadzenie” . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-113-947-389-7.

• S. Kopeikin, M. Efroimsky, G. Kaplan (2011). „Relatywistyczna Mechanika Niebiańska Układu Słonecznego” . John Wiley i Synowie . Numer ISBN 978-352-763-457-6.CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• WF Maher; JD Zunda (1968). „Podejście spinorowe do tensora wirowania Lanczosa”. Il Nuovo Cimento A . 10. 57 (4). Skoczek. s. 638-648. doi : 10.1007/BF02751371 .

Linki zewnętrzne

• von Jan Steinhoff. „Knoniczne sformułowanie spinu w ogólnej teorii względności (rozprawa)” (PDF) . Pobrano 27.10.2013 .