Pseudowektor Pauliego–Lubańskiego — Pauli–Lubanski pseudovector
Kwantowa teoria pola |
---|
Historia |
W fizyce The pseudowektor Pauli-Lubański jest operatorem zdefiniowane w pędu i pędu stosowane w kwantowego Relatywistyczna opisie pędu. Nosi imię Wolfganga Pauliego i Józefa Lubańskiego ,
Opisuje stany spinowe poruszających się cząstek. Jest to generator małej grupy z grupy Poincaré , który jest podgrupa ilość (z czterech generatorów), pozostawiając wartości własnych czteropęd wektor p ľ niezmienne.
Definicja
Jest zwykle oznaczany przez W (lub rzadziej przez S ) i definiowany przez:
gdzie
- jest czterowymiarowym, całkowicie antysymetrycznym symbolem Levi-Civita ;
- jest relatywistycznym operatorem tensora momentu pędu ( );
- jest operatorem czteropędowym .
W języku zewnętrznej algebry , może być zapisana jako Hodge Podwójny z Trivector ,
Uwaga , i
W μ ewidentnie spełnia
a także następujące relacje komutatorowe ,
W konsekwencji,
Skalar W μ W μ jest operatorem niezmienniczym Lorentza i komutuje z czteropędem, a zatem może służyć jako etykieta dla nieredukowalnych unitarnych reprezentacji grupy Poincarégo . Oznacza to, że może służyć jako etykieta spinu , cechy struktury czasoprzestrzennej reprezentacji, poza relatywistycznie niezmienniczą etykietą P μ P μ dla masy wszystkich stanów w reprezentacji.
Mała grupa
Na eigenspace z operatorem 4-pędu 4-pędu wartości własnej przestrzeni Hilberta systemu kwantowej (lub w tym zakresie z standardowej reprezentacji z ℝ 4 interpretować jako miejsca pędu działał przez 5 x 5 matryc górnej lewej 4 x 4 blokuje zwykłą transformację Lorentza, ostatnia kolumna zarezerwowana na translacje i działanie na elementy (wektory kolumnowe) przestrzeni pędów z 1 dodaną jako piąty wiersz, patrz teksty standardowe) obowiązuje:
- Składniki z zastąpione przez tworzą algebrę Liego. Jest to algebra Liego grupy Little of , tj. podgrupy jednorodnej grupy Lorentza, która pozostawia niezmiennik.
- Dla każdej nieredukowalnej unitarnej reprezentacji istnieje nieredukowalna unitarna reprezentacja pełnej grupy Poincarégo, zwana reprezentacją indukowaną .
- Przestrzeń reprezentacji indukowanej reprezentacji można otrzymać przez kolejne nanoszenie elementów pełnej grupy Poincarégo na niezerowy element i rozszerzanie o liniowość.
Nieredukowalna unitarna reprezentacja grupy Poincaré charakteryzuje się wartościami własnymi dwóch operatorów Casimira i . Najlepszym sposobem, aby zobaczyć, że faktycznie uzyskuje się nieredukowalną reprezentację unitarną, jest wykazanie jej działania na elemencie o dowolnej wartości własnej 4-pędowej w tak otrzymanej przestrzeni reprezentacji. Nieredukowalność wynika z konstrukcji przestrzeni reprezentacji.
Ogromne pola
W kwantowej teorii pola , w przypadku pola masywnego, niezmiennik Casimira W μ W μ opisuje całkowity spin cząstki, z wartościami własnymi
gdzie s jest spinową liczbą kwantową cząstki, a m jej masą spoczynkową .
Łatwo to zobaczyć w układzie spoczynkowym cząstki, powyższy komutator działający na stan cząstki wynosi [ W j , W k ] = i ε jkl W l m ; stąd W → = mJ → i W 0 = 0 , tak że mała grupa równa się grupie rotacyjnej,
Ponieważ jest to wielkość niezmienna Lorentza , będzie taka sama we wszystkich innych układach odniesienia .
Jest również zwyczajowo się biała 3 opisać występ wirowania wzdłuż trzeciego kierunku w ramie spoczynkowym.
W ruchomych klatkach rozkładając W = ( W 0 , W → ) na składowe ( W 1 , W 2 , W 3 ) , z W 1 i W 2 prostopadłymi do P → , a W 3 równoległymi do P → , Pauli–Lubanski wektor może być wyrażony jako wektor spinowy S → = ( S 1 , S 2 , S 3 ) (podobnie rozłożony) jako
gdzie
to relacja energia-pęd .
Składowe poprzeczne W 1 , W 2 , wraz z S 3 , spełniają następujące relacje komutatora (które mają zastosowanie ogólnie, nie tylko do reprezentacji mas niezerowych),
Dla cząstek o masie niezerowej i pól związanych z takimi cząstkami,
Pola bezmasowe
Generalnie w przypadku reprezentacji niemasywnych można wyróżnić dwa przypadki. Dla cząstek bezmasowych,
gdzie K → jest dynamicznym wektorem momentu masy . Zatem matematycznie P 2 = 0 nie implikuje W 2 = 0.
Reprezentacje wirowania ciągłego
W bardziej ogólnym przypadku, składowe W → poprzeczne do P → mogą być niezerowe, dając w ten sposób rodzinę reprezentacji określanych jako cylindryczne luksony („luxon” to inny termin na „cząstka bezmasowa”), ich właściwość identyfikująca jest to, że składowe W → tworzą podalgebrę Liego izomorficzną z dwuwymiarową grupą euklidesową ISO(2) , przy czym składowa podłużna W → pełni rolę generatora obrotu, a składowe poprzeczne rolę generatora translacji. Sprowadza się to do kurczenia grupy o SO (3) , i prowadzi do tego, co jest znane jako ciągłego wirowania reprezentacji. Jednak nie są znane żadne fizyczne przypadki cząstek lub pól fundamentalnych w tej rodzinie. Można udowodnić, że ciągłe stany spinowe są niefizyczne.
Reprezentacje helicity
W szczególnym przypadku, jest równoległa lub równoważnie nie-zerowej To ograniczenie może być konsekwentnie nałożona tylko na Luxonów ( cząstki bez masy ), ponieważ komutator z dwóch elementów poprzecznych jest proporcjonalna do tego rodziny i niezmienna jest natomiast podane przez
gdzie
więc niezmiennik jest reprezentowany przez operator helicity
Na przykład wszystkie cząstki oddziałujące ze słabymi siłami jądrowymi należą do tej rodziny, ponieważ definicja słabego ładunku jądrowego (słaby izospin ) obejmuje spiralność, która, jak wyżej, musi być niezmiennikiem. Pojawienie się niezerowej masy w takich przypadkach należy następnie wyjaśnić innymi środkami, takimi jak mechanizm Higgsa . Jednak nawet po uwzględnieniu takich mechanizmów generowania masy foton (a tym samym pole elektromagnetyczne) nadal należy do tej klasy, chociaż inne stany własne masy nośników siły elektrosłabej (
W±
bozon i antybozon oraz
Z0
bozon ) uzyskuje niezerową masę.
Wcześniej uważano, że neutrina również należą do tej klasy. Jednakże, ponieważ zaobserwowano , że neutrina oscylują w smaku , wiadomo obecnie, że co najmniej dwa z trzech stanów własnych masy neutrin o lewoskrętnej i antyneutrin o prawoskrętnej muszą mieć masę niezerową.
Zobacz też
- Środek masy (relatywistyczny)
- Klasyfikacja Wignera
- Operator momentu pędu
- Operator Kazimierza
- Chiralność
- Pseudowektor
- Pseudotensor
- Indukowana reprezentacja
Uwagi
Bibliografia
- Bogolubow, NN (1989). Ogólne zasady kwantowej teorii pola (wyd. 2). Springer Verlag . Numer ISBN 0-7923-0540-X.
- Brązowy, LS (1994). Kwantowa teoria pola . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-46946-3.
- Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i Representations: An Elementary Entroduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 , Numer ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
- Lubański JK (1942A). „Sur la theorie des particules élémentaires de spin quelconque. I”. Fizyka (w języku francuskim). 9 (3): 310–324. Kod Bibcode : 1942Phy......9..310L . doi : 10.1016/S0031-8914(42)90113-7 .
- Lubański JK (1942B). „Sur la théorie des particules élémentaires de spin quelconque. II”. Fizyka (w języku francuskim). 9 (3): 325–338. Kod Bibcode : 1942Phy......9..325L . doi : 10.1016/S0031-8914(42)90114-9 .
- Ohlsson, T. (2011). Relatywistyczna fizyka kwantowa: od zaawansowanej mechaniki kwantowej do wstępnej teorii pola kwantowego . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-1-139-50432-4.
- Penrose, R. (2005). Droga do rzeczywistości . Zabytkowe książki. Numer ISBN 978-0-09-944068-0.
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
- Ryder, LH (1996). Kwantowa teoria pola (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 0-521-47814-6.
- Tung, Wu-Ki (1985). Teoria grup w fizyce (wyd. 1). New Jersey·Londyn·Singapur·Hongkong: World Scientific . Numer ISBN 978-9971966577.
- Weinberg, S. (2002) [1995], Podstawy , Kwantowa teoria pól, 1 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
- Wignera, EP (1939). „Na jednolitych reprezentacjach niejednorodnej grupy Lorentza”. Roczniki Matematyki . 40 (1): 149–204. Kod bib : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . MR 1503456 .