Równanie ciągłości - Continuity equation
Część serii na |
Mechanika kontinuum |
---|
Równania ciągłości lub równanie transportu jest równanie , które opisuje transport pewnej ilości. Jest szczególnie prosty i potężny, gdy stosuje się go do zachowanej ilości , ale można go uogólnić na dowolną ekstensywną ilość . Ponieważ masa , energia , pęd , ładunek elektryczny i inne naturalne wielkości są zachowywane w odpowiednich warunkach, wiele zjawisk fizycznych można opisać za pomocą równań ciągłości.
Równania ciągłości są silniejszą, lokalną formą praw zachowania . Na przykład słaba wersja prawa zachowania energii głosi, że energii nie można ani stworzyć, ani zniszczyć – tzn. całkowita ilość energii we wszechświecie jest stała. To stwierdzenie nie wyklucza możliwości, że pewna ilość energii może zniknąć z jednego punktu, jednocześnie pojawiając się w innym punkcie. Silniejszym stwierdzeniem jest to, że energia jest lokalnie zachowywana: energia nie może zostać stworzona ani zniszczona, ani też nie może " teleportować się " z jednego miejsca do drugiego — może poruszać się tylko poprzez ciągły przepływ. Równanie ciągłości jest matematycznym sposobem wyrażenia tego rodzaju stwierdzenia. Na przykład równanie ciągłości dla ładunku elektrycznego stwierdza, że ilość ładunku elektrycznego w dowolnej objętości przestrzeni może się zmieniać tylko o ilość prądu elektrycznego przepływającego do lub z tej objętości przez jej granice.
Bardziej ogólnie równania ciągłości mogą zawierać terminy „źródło” i „zatopienie”, które pozwalają im opisywać wielkości, które są często, ale nie zawsze, zachowane, takie jak gęstość cząsteczek, które mogą być tworzone lub niszczone przez reakcje chemiczne. W codziennym przykładzie istnieje równanie ciągłości określające liczbę żyjących ludzi; ma „termin źródłowy” wyjaśniający ludzi rodzących się i „termin źródłowy” wyjaśniający ludzi umierających.
Każde równanie ciągłości może być wyrażone w „formie całkowej” (w kategoriach całki strumienia ), która ma zastosowanie do dowolnego regionu skończonego, lub w „postaci różniczkowej” (w sensie operatora rozbieżności ), która ma zastosowanie w punkcie.
Równania ciągłości opierają dokładniejsze równania transportowych, takich jak równania konwekcji dyfuzji , równania transportu Boltzmanna , a równania Navier'a-Stokesa .
Przepływy regulowane równaniami ciągłości można wizualizować za pomocą diagramu Sankeya .
Ogólne równanie
Definicja strumienia
Równanie ciągłości jest przydatne, gdy można zdefiniować strumień . Aby zdefiniować strumień, najpierw musi istnieć wielkość q, która może płynąć lub poruszać się, taka jak masa , energia , ładunek elektryczny , pęd , liczba cząsteczek itp. Niech ρ będzie gęstością objętościową tej wielkości, czyli ilością q na jednostkę objętości.
Sposób, w jaki przepływa ta wielkość q, opisuje jej strumień . Strumień q jest polem wektorowym , które oznaczamy jako j . Oto kilka przykładów i właściwości topnika:
- Wymiar strumienia to „ilość q przepływająca w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni”. Na przykład, w równaniu ciągłości masy dla przepływającej wody, jeśli 1 gram wody na sekundę przepływa przez rurę o powierzchni przekroju 1 cm 2 , to średni strumień masy j wewnątrz rury wynosi (1 g/s) / cm 2 , a jego kierunek jest wzdłuż rury w kierunku przepływu wody. Na zewnątrz rury, gdzie nie ma wody, strumień wynosi zero.
- Jeśli istnieje pole prędkości u, które opisuje odpowiedni przepływ — innymi słowy, jeśli cała wielkość q w punkcie x porusza się z prędkością u ( x ) — to strumień jest z definicji równy gęstości razy pole prędkości :
- W dobrze znanym przykładzie strumień ładunku elektrycznego to gęstość prądu elektrycznego .
- Jeśli istnieje urojona powierzchnia S , to całka powierzchniowa strumienia przez S jest równa ilości q, która przechodzi przez powierzchnię S w jednostce czasu:
w którym jest całka powierzchniowa .
(Zauważ, że pojęcie, które jest tutaj nazywane „strumieniem” jest alternatywnie określane jako „gęstość strumienia” w niektórych publikacjach, w którym to kontekście „strumień” oznacza całkę powierzchniową gęstości strumienia. Szczegółowe informacje można znaleźć w głównym artykule na temat strumienia .)
Forma integralna
Całkowa postać równania ciągłości stwierdza, że:
- Ilość q w regionie wzrasta, gdy dodatkowe q wpływa do wewnątrz przez powierzchnię regionu i zmniejsza się, gdy wypływa na zewnątrz;
- Ilość q w regionie wzrasta, gdy nowe q jest tworzone wewnątrz regionu, a zmniejsza się, gdy q zostaje zniszczone;
- Poza tymi dwoma procesami nie ma innego sposobu na zmianę ilości q w regionie.
Matematycznie całkowa postać równania ciągłości wyrażająca szybkość narastania q w objętości V to:
gdzie
- S jest dowolną wyimaginowaną powierzchnią zamkniętą , która zawiera objętość V ,
- S d S oznaczacałkę powierzchniowąna tej zamkniętej powierzchni,
- q to całkowita ilość ilości w objętości V ,
- j jest strumieniem q ,
- t czas,
- Σ to szybkość netto, z jaką q jest generowane w objętości V na jednostkę czasu. Gdy q jest generowany, to nazywa się źródło z Q , a to sprawia, że Σ bardziej pozytywne. Gdy q jest zniszczony, to nazywa się umywalka z Q , a to sprawia, Ď bardziej negatywne. Termin ten jest czasami zapisywany jako całkowita zmiana q od jej powstania lub zniszczenia wewnątrz objętości kontrolnej.
W prostym przykładzie V może być budynkiem, a q może być liczbą osób w budynku. Powierzchnia S składałaby się ze ścian, drzwi, dachu i fundamentów budynku. Następnie równanie ciągłości stwierdza, że liczba osób w budynku wzrasta, gdy ludzie wchodzą do budynku (strumień do wewnątrz przez powierzchnię), zmniejsza się, gdy ludzie wychodzą z budynku (strumień na zewnątrz przez powierzchnię), wzrasta, gdy ktoś w budynku daje urodzenia (źródło, Σ > 0 ) i zmniejsza się, gdy ktoś w budynku umiera (zlew, Σ < 0 ).
Forma różnicowa
Według twierdzenia o dywergencji ogólne równanie ciągłości można również zapisać w „postaci różniczkowej”:
gdzie
- ∇⋅ to dywergencja ,
- ρ to ilość ilości q na jednostkę objętości,
- j jest strumieniem q ,
- t czas,
- σ to generacja q na jednostkę objętości na jednostkę czasu. Terminy, które generują q (tj. σ > 0 ) lub usuwają q (tj. σ < 0 ) są określane odpowiednio jako „źródła” i „ujścia”.
To ogólne równanie może być użyte do wyprowadzenia dowolnego równania ciągłości, od tak prostego, jak równanie ciągłości objętości, do tak skomplikowanego, jak równania Naviera-Stokesa . Równanie to również uogólnia równanie adwekcji . Inne równania fizyki, takie jak Prawo Gaussa pola elektrycznego i Prawo Gaussa dla grawitacji , mają podobną formę matematyczną, równania ciągłości, ale nie są zwykle określane terminem „równania ciągłości”, gdyż j w tych przypadkach nie reprezentują przepływ rzeczywistej wielkości fizycznej.
W przypadku, gdy q jest wielkością zachowaną, która nie może być stworzona lub zniszczona (taka jak energia ), σ = 0, a równania przybierają postać :
Elektromagnetyzm
W teorii elektromagnetycznej równanie ciągłości jest prawem empirycznym wyrażającym (lokalne) zachowanie ładunku . Matematycznie jest to automatyczna konsekwencja równań Maxwella , chociaż zachowanie ładunku jest bardziej fundamentalne niż równania Maxwella. Stwierdza się, że odchylenie od gęstości prądu J (w amperów na metr kwadratowy), jest równa prędkości ujemnej zmiany w gęstości ładunku p (w kulombach na metr sześcienny)
Zgodność z równaniami Maxwella
|
---|
Jedno z równań Maxwella , prawo Ampère'a (z poprawką Maxwella) , stwierdza, że Uwzględnienie dywergencji obu stron (rozbieżności i pochodnej cząstkowej w czasie dojazdu) daje w wyniku Ale prawo Gaussa (inne równanie Maxwella) stwierdza, że |
Prąd to ruch ładunku. Równanie ciągłości mówi, że jeśli ładunek wyprowadza się z objętości różnicowej (tj. rozbieżność gęstości prądu jest dodatnia), to ilość ładunku w tej objętości zmniejszy się, więc szybkość zmiany gęstości ładunku jest ujemna. Dlatego równanie ciągłości sprowadza się do zachowania ładunku.
Gdyby istniały monopole magnetyczne , istniałoby również równanie ciągłości dla prądów monopolowych, zobacz artykuł o monopolu dla tła i dualizmu prądów elektrycznych i magnetycznych.
Dynamika płynów
W dynamice płynów równanie ciągłości stwierdza, że szybkość, z jaką masa wchodzi do układu, jest równa szybkości, z jaką masa opuszcza układ plus akumulacja masy w układzie. Forma różniczkowa równania ciągłości to:
- ρ jest gęstością płynu,
- t czas,
- u jest polem wektorowym prędkości przepływu .
Pochodną czasową można rozumieć jako akumulację (lub utratę) masy w układzie, podczas gdy człon dywergencji reprezentuje różnicę w przepływie w stosunku do wypływu. W tym kontekście to równanie jest również jednym z równań Eulera (dynamika płynów) . Do równania Stokesa Navier'a- tworzą równania ciągłości wektor opisujący ochrony pędu .
Jeżeli płyn jest nieściśliwy (szybkość odkształcenia objętościowego wynosi zero), równanie ciągłości masy upraszcza się do równania ciągłości objętościowej:
Wizja komputerowa
W wizji komputerowej przepływ optyczny jest wzorem pozornego ruchu obiektów w scenie wizualnej. Zakładając, że jasność poruszającego się obiektu nie zmieniła się pomiędzy dwoma klatkami obrazu, można wyprowadzić równanie przepływu optycznego jako:
- t czas,
- x , y współrzędne na obrazie,
- I to intensywność obrazu we współrzędnych obrazu ( x , y ) i czasie t ,
- V jest wektorem prędkości przepływu optycznegowe współrzędnych obrazu ( x , y ) i czasie t
Energia i ciepło
Zachowanie energii mówi, że energii nie można stworzyć ani zniszczyć. (Patrz poniżej niuanse związane z ogólną teorią względności.) Dlatego istnieje równanie ciągłości dla przepływu energii:
- u , lokalna gęstość energii (energia na jednostkę objętości),
- q , strumień energii (przenoszenie energii na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego na jednostkę czasu) jako wektor,
Ważnym praktycznym przykładem jest przepływ ciepła . Gdy ciepło przepływa wewnątrz ciała stałego, równanie ciągłości można połączyć z prawem Fouriera (strumień ciepła jest proporcjonalny do gradientu temperatury), aby uzyskać równanie ciepła . Równanie przepływu ciepła może również zawierać terminy źródłowe: chociaż energii nie można wytworzyć ani zniszczyć, ciepło można wytworzyć z innych rodzajów energii, na przykład poprzez tarcie lub ogrzewanie Joule'a .
Rozkłady prawdopodobieństwa
Jeśli istnieje wielkość, która porusza się w sposób ciągły zgodnie z procesem stochastycznym (losowym), na przykład położenie pojedynczej rozpuszczonej cząsteczki z ruchem Browna , to istnieje równanie ciągłości dla jej rozkładu prawdopodobieństwa . Strumień w tym przypadku jest prawdopodobieństwem na jednostkę powierzchni w jednostce czasu, że cząstka przechodzi przez powierzchnię. Zgodnie z równaniem ciągłości ujemna rozbieżność tego strumienia jest równa szybkości zmiany gęstości prawdopodobieństwa . Równanie ciągłości odzwierciedla fakt, że cząsteczka jest zawsze gdzieś — całka z jej rozkładu prawdopodobieństwa jest zawsze równa 1 — i że porusza się ruchem ciągłym (bez teleportacji ).
Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa to kolejna dziedzina, w której istnieje równanie ciągłości związane z zachowaniem prawdopodobieństwa . Terminy w równaniu wymagają następujących definicji i są nieco mniej oczywiste niż inne powyższe przykłady, dlatego zostały tutaj przedstawione:
- Funkcja falowa Ψ dla pojedynczej cząstki w przestrzeni położenia (zamiast przestrzeni pędu ), czyli funkcja położenia r i czasu t , Ψ = Ψ( r , t ) .
- Funkcja gęstości prawdopodobieństwa to
- Prawdopodobieństwo znalezienia cząstek w V w t jest oznaczona i określona
- Prąd prawdopodobieństwo (czyli strumienia prawdopodobieństwa) jest
Z tymi definicjami równanie ciągłości brzmi:
Można podać dowolną formę. Intuicyjnie powyższe wielkości wskazują, że reprezentuje to przepływ prawdopodobieństwa. Szansa znalezienia cząstek w pewnej pozycji r , a w czasie t płynie jak płyn ; stąd termin prąd prawdopodobieństwa , pole wektorowe . Sama cząstka nie płynie deterministycznie w tym polu wektorowym .
Spójność z równaniem Schrödingera
|
---|
Zależne od czasu 3-d równanie Schrödingera i jego sprzężenie zespolone ( i → - i przez cały czas) to odpowiednio: Mnożenie równania Schrödingera przez Ψ*, a następnie rozwiązywanie Ψ* ∂Ψ/∂ tI podobnie, mnożąc złożoną sprzężoną Schrödinger'a równania przez * F następnie rozwiązywanie * F*/∂ t; podstawiając do pochodnej czasu ρ : W Laplace'a operatorzy ( ∇ 2 ) w wyniku powyższego wynika, że prawa strona jest rozbieżność j i odwrotnej kolejności terminów oznaczać to negatyw j , w sumie: Forma całkowa występuje jak w przypadku równania ogólnego. |
Półprzewodnik
Całkowity przepływ prądu w półprzewodniku składa się z prądu dryfu i prądu dyfuzji zarówno elektronów w paśmie przewodnictwa, jak i dziur w paśmie walencyjnym.
Ogólna postać elektronów w jednym wymiarze:
- n jest lokalną koncentracją elektronów
- jest ruchliwość elektronów
- E jest polem elektrycznym w regionie zubożenia
- D n jest współczynnikiem dyfuzji elektronów
- G n jest szybkością generowania elektronów
- R n to szybkość rekombinacji elektronów
Podobnie dla dziur:
- p jest lokalną koncentracją dziur
- jest mobilność dziur?
- E jest polem elektrycznym w regionie zubożenia
- D p jest współczynnikiem dyfuzji dla otworów
- G p jest szybkością generowania dziur
- R p jest szybkością rekombinacji dziur
Pochodzenie
Ta sekcja przedstawia wyprowadzenie powyższego równania dla elektronów. Podobne wyprowadzenie można znaleźć dla równania dla otworów.
Weź pod uwagę fakt, że liczba elektronów jest zachowana w całej objętości materiału półprzewodnikowego o polu przekroju A , i długości dx , wzdłuż osi x . Dokładniej można powiedzieć:
Matematycznie tę równość można zapisać:
Całkowita gęstość prądu elektronowego jest sumą prądu dryfu i gęstości prądu dyfuzyjnego:
Dlatego mamy
Zastosowanie reguły iloczynu skutkuje ostatecznym wyrażeniem:
Rozwiązanie
Kluczem do rozwiązania tych równań w rzeczywistych urządzeniach jest, gdy tylko jest to możliwe, wybranie obszarów, w których większość mechanizmów jest pomijalna, tak aby równania redukowały się do znacznie prostszej postaci.
Wersja relatywistyczna
Szczególna teoria względności
Notacja i narzędzia szczególnej teorii względności , zwłaszcza 4-wektory i 4-gradienty , oferują wygodny sposób zapisywania dowolnego równania ciągłości.
Gęstość wielkości ρ i jej prąd j można połączyć w 4-wektor zwany 4-prądem :
Przykładami równań ciągłości często zapisywanych w tej postaci są zachowanie ładunku elektrycznego
Ogólna teoria względności
W ogólnej teorii względności , gdzie czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, równanie ciągłości (w postaci różniczkowej) dla energii, ładunku lub innych zachowanych wielkości obejmuje dywergencję kowariantną zamiast zwykłej dywergencji.
Na przykład tensor naprężenie-energia jest polem tensorowym drugiego rzędu zawierającym gęstości energii-pędu, strumienie energii-pędu i naprężenia ścinające o rozkładzie masa-energia. Forma różniczkowa zachowania energii i pędu w ogólnej teorii względności stwierdza, że kowariantna rozbieżność tensora naprężenie-energia wynosi zero:
Jest to ważne ograniczenie w postaci równań pola Einsteina w ogólnej teorii względności .
Jednak zwykły rozbieżność z tensor napięć-energii ma nie koniecznie zniknąć:
Prawa strona znika wyłącznie dla płaskiej geometrii.
W konsekwencji integralna postać równania ciągłości jest trudna do zdefiniowania i niekoniecznie obowiązuje dla regionu, w którym czasoprzestrzeń jest znacząco zakrzywiona (np. wokół czarnej dziury lub w całym wszechświecie).
Fizyka cząsteczek
Kwarki i gluony mają ładunek kolorowy , który jest zawsze zachowywany jak ładunek elektryczny, i istnieje równanie ciągłości dla takich prądów ładunku barwnego (wyraźne wyrażenia dla prądów podano przy tensorze natężenia pola gluonowego ).
W fizyce cząstek elementarnych istnieje wiele innych wielkości, które są często lub zawsze zachowane: liczba barionowa (proporcjonalna do liczby kwarków minus liczba antykwarków), liczba elektronowa, liczba mu, liczba tau , izospina i inne. Każdemu z nich odpowiada odpowiednie równanie ciągłości, ewentualnie zawierające terminy źródło/ujście.
Twierdzenie Noether
Jednym z powodów, dla których równania zachowania często występują w fizyce, jest twierdzenie Noether . Stwierdza to, że ilekroć prawa fizyki mają ciągłą symetrię , istnieje równanie ciągłości dla pewnej zachowanej wielkości fizycznej. Trzy najbardziej znane przykłady to:
- Prawa fizyki są niezmienne w odniesieniu do tłumaczenia w czasie — na przykład dzisiejsze prawa fizyki są takie same, jak wczoraj. Ta symetria prowadzi do równania ciągłości zachowania energii .
- Prawa fizyki są niezmienne w odniesieniu do translacji przestrzeni — na przykład prawa fizyki w Brazylii są takie same, jak prawa fizyki w Argentynie. Ta symetria prowadzi do równania ciągłości zachowania pędu .
- Prawa fizyki są niezmienne w odniesieniu do orientacji — na przykład, unosząc się w przestrzeni kosmicznej, nie ma pomiaru, który można zrobić, aby powiedzieć „którą drogą jest w górę”; prawa fizyki są takie same, niezależnie od tego, jak jesteś zorientowany. Ta symetria prowadzi do równania ciągłości zachowania momentu pędu .
Zobacz też
Bibliografia
Dalsza lektura
- Hydrodynamika, H. Lamb , Cambridge University Press, (2006 digitalizacja z 1932 6th edition) ISBN 978-0-521-45868-9
- Wprowadzenie do Elektrodynamiki (3rd Edition), DJ Griffiths , Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
- Elektromagnetyzm (wydanie drugie), IS Grant, WR Phillips , Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
- Grawitacja, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne , WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0