Pochodne stabilności - Stability derivatives

Pochodna stabilności. To jest przykład powszechnej notacji skróconej dla pochodnych stabilności. Litera „M” oznacza, że ​​jest to miara zmian momentu pochylającego . Wskazuje zmiany są odpowiedzią na zmiany kąta natarcia . Ta pochodna stabilności jest wymawiana „see-em-alpha”. Jest to jedna miara tego, jak bardzo samolot chce lecieć „najpierw nosem”, co jest oczywiście bardzo ważne. ${\ displaystyle \ alpha}$

Pochodne stateczności , a także pochodne sterujące , są miarami tego, jak poszczególne siły i momenty na statku powietrznym zmieniają się wraz ze zmianą innych parametrów związanych ze statecznością (parametry takie jak prędkość lotu , wysokość , kąt natarcia itp.). W przypadku określonych warunków lotu „trymowania” występują zmiany i oscylacje w tych parametrach. Równania ruchu służą do analizy tych zmian i oscylacji. Pochodne stateczności i sterowania służą do linearyzacji (uproszczenia) tych równań ruchu, aby można było łatwiej analizować stabilność pojazdu.

Pochodne stateczności i sterowania zmieniają się wraz ze zmianą warunków lotu. Zbiór pochodnych stabilności i sterowania, gdy zmieniają się one w różnych warunkach lotu, nazywa się modelem aerodynamicznym . Modele lotnicze są wykorzystywane w inżynierskich symulatorach lotu do analizy stabilności oraz w symulatorach lotu w czasie rzeczywistym do celów szkoleniowych i rozrywkowych.

Pochodna stabilności a pochodna kontrolna

Pochodne stateczności i pochodne sterujące są ze sobą powiązane, ponieważ oba są miarami sił i momentów w pojeździe w miarę zmiany innych parametrów. Często słowa te są używane razem i skracane w terminie „pochodne S&C”. Różnią się one tym, że pochodne stateczności mierzą skutki zmian warunków lotu, podczas gdy pochodne sterujące mierzą skutki zmian położeń powierzchni sterowej:

Pochodna stabilności

mierzy, jak duża zmiana zachodzi w sile lub momencie działającym na pojazd, gdy następuje niewielka zmiana parametru warunków lotu, takich jak kąt natarcia , prędkość lotu, wysokość itp. (Takie parametry nazywane są „stanami”).

Pochodna kontrolna

mierzy, jak duża zmiana zachodzi w sile lub momencie działającym na pojazd, gdy następuje niewielka zmiana w wychyleniu powierzchni sterowej, takiej jak lotki, ster wysokości i ster.

Używa

Linearyzacja (uproszczenie) analizy stabilności

Stabilność i pochodne sterowania zmieniają się wraz ze zmianą warunków lotu. Oznacza to, że siły i momenty na pojeździe rzadko są prostymi (liniowymi) funkcjami jego stanów. Z tego powodu dynamika atmosferycznych pojazdów latających może być trudna do analizy. Poniżej przedstawiono dwie metody stosowane do rozwiązania tej złożoności.

Małe oscylacje dotyczące stabilnych warunków lotu

Jednym ze sposobów uproszczenia analizy jest rozważenie tylko niewielkich oscylacji dotyczących normalnie stabilnych warunków lotu. Zestaw warunków lotu (takich jak wysokość, prędkość lotu, kąt natarcia) nazywane są warunkami „wyważenia”, gdy są one ustalone i nie zmieniają się. Gdy warunki lotu są stabilne, pochodne stabilności i sterowania są stałe i można je łatwiej przeanalizować matematycznie. Analiza w jednym zestawie warunków lotu jest następnie stosowana do szeregu różnych warunków lotu.

Zastosowanie w symulatorach do analizy stateczności

W symulatorze lotów możliwe jest „wyszukanie” nowych wartości dla pochodnych stabilności i sterowania, gdy zmieniają się warunki. I tak „liniowe przybliżenia” nie są tak duże, a stabilność można ocenić w manewrach obejmujących większy zakres warunków lotu. Symulatory lotu używane do takich analiz nazywane są „symulatorami inżynierskimi”. Zbiór wartości dla pochodnych stabilności i sterowania (zmieniających się w różnych warunkach lotu) nazywamy modelem aerodynamicznym .

Użyj w symulatorach lotu

Oprócz symulatorów inżynieryjnych, modele lotnicze są często używane w symulatorach lotu w czasie rzeczywistym do użytku domowego i profesjonalnego szkolenia lotniczego.

Nazwy osi pojazdów

Pojazdy lotnicze wykorzystują układ współrzędnych osi, aby pomóc w określeniu ważnych parametrów używanych w analizie stateczności. Wszystkie osie przechodzą przez środek ciężkości (zwany „CG”):

• Oś „X” lub „x” biegnie od tyłu do przodu wzdłuż ciała, zwana osią przechyłu .
• Oś „Y” lub „y” biegnie od lewej do prawej wzdłuż skrzydła, zwanego osią skoku .
• „Z” lub „z” biegnie od góry do dołu, zwane osią odchylenia .

W zależności od sytuacji stosowane są dwa nieco różne ustawienia tych osi: „osie zamocowane na korpusie” i „osie stateczności”.

Osie mocowane na korpusie

Osie zamocowane na nadwoziu lub „osie nadwozia” są zdefiniowane i zamocowane w stosunku do nadwozia pojazdu:

• Oś X nadwozia jest wyrównana wzdłuż nadwozia pojazdu i jest zwykle dodatnia w stosunku do normalnego kierunku ruchu.
• Oś Y nadwozia jest prostopadła do osi X nadwozia i jest zorientowana wzdłuż skrzydeł pojazdu. Jeśli nie ma skrzydeł (jak w przypadku pocisku), kierunek „poziomy” jest definiowany w sposób, który jest przydatny. Oś nadwozia Y jest zwykle traktowana jako dodatnia po prawej stronie pojazdu.
• Oś korpusu Z jest prostopadła do płaszczyzny korpusu skrzydła (XY) i zwykle skierowana jest w dół.

Osie stabilności

Samoloty (zwykle nie pociski) działają pod nominalnie stałym „trymowym” kątem natarcia . Kąt nachylenia nosa (oś X) nie pokrywa się z kierunkiem nadlatującego powietrza. Różnica w tych kierunkach jest kąt natarcia . Tak więc, dla wielu celów, parametry są definiowane za pomocą nieco zmodyfikowanego układu osi zwanego „osiami stabilności”. System osi stabilności służy do wyrównania osi X z nadchodzącym kierunkiem przepływu. Zasadniczo układ osi korpusu jest obracany wokół osi Y korpusu o kąt natarcia trymu, a następnie „ponownie mocowany” do korpusu samolotu:

• Oś stabilności X jest ustawiona w kierunku nadlatującego powietrza w ustalonym locie. (Jest rzutowany na płaszczyznę utworzoną przez osie X i Z korpusu, jeśli występuje poślizg boczny ).
• Oś stabilności Y jest taka sama, jak oś nieruchoma w kształcie litery Y.
• Oś stabilności Z jest prostopadła do płaszczyzny utworzonej przez oś stabilności X i oś korpusu Y.

Nazwy sił, momentów i prędkości

Siły i prędkości wzdłuż każdej z osi

Siły działające na pojazd wzdłuż osi nadwozia nazywane są „siłami działającymi na osi nadwozia”:

• X lub F _X służy do wskazywania sił działających na pojazd wzdłuż osi X.
• Y lub F _Y służy do wskazywania sił działających na pojazd wzdłuż osi Y.
• Z lub F _Z służy do wskazywania sił działających na pojazd wzdłuż osi Z.
• u (mała litera) oznacza prędkość nadchodzącego przepływu wzdłuż osi X ciała
• v (mała litera) jest używana do określenia prędkości nadchodzącego przepływu wzdłuż osi Y ciała
• w (mała litera) oznacza prędkość nadchodzącego przepływu wzdłuż osi Z korpusu

Pomocne jest myślenie o tych prędkościach jako o rzutach względnego wektora wiatru na trzy osie nadwozia, a nie jako o ruchu postępowym pojazdu względem płynu. Gdy ciało obraca się względem kierunku względnego wiatru , składniki te zmieniają się, nawet jeśli nie ma netto zmiany prędkości .

Momenty i wartości kątowe wokół każdej z osi

• L służy do wskazania „ momentu toczącego się ”, który występuje wokół osi X. To, czy znajduje się wokół osi X korpusu, czy osi stabilności X, zależy od kontekstu (takiego jak indeks dolny).
• M służy do wskazania nazwy „ momentu pochylającego ”, który występuje wokół osi Y.
• N jest używane do wskazania nazwy „ momentu odchylającego ”, który występuje wokół osi Z. To, czy znajduje się wokół osi ciała Z, czy osi stabilności Z, zależy od kontekstu (takiego jak indeks dolny).
• „P” lub „p” jest używane dla prędkości kątowej wokół osi X („Szybkość przechyłu wokół osi obrotu”). To, czy jest wokół osi X korpusu, czy osi stabilności X, zależy od kontekstu (takiego jak indeks dolny).
• „Q” lub „q” jest używane do określenia prędkości kątowej wokół osi Y („Szybkość skoku wokół osi skoku”).
• „R” lub „r” jest używane do określenia prędkości kątowej wokół osi Z („Prędkość zbaczania wokół osi odchylenia”). To, czy znajduje się wokół osi ciała Z, czy osi stabilności Z, zależy od kontekstu (takiego jak indeks dolny).

Równania ruchu

Użycie pochodnych stabilności najwygodniej jest zademonstrować w konfiguracjach pocisków lub rakiet, ponieważ wykazują one większą symetrię niż samoloty, a równania ruchu są odpowiednio prostsze. Jeżeli zakłada się, że pojazd jest kontrolowany przechyleniem, ruchy pochylania i odchylenia mogą być traktowane oddzielnie. Powszechną praktyką jest rozważanie płaszczyzny odchylenia, tak że należy brać pod uwagę tylko ruch 2D. Ponadto zakłada się, że siła nacisku równa się opórowi, a równanie podłużne ruchu można zignorować.

.

Ciało jest ustawione pod kątem (psi) w stosunku do osi bezwładności. Ciało jest zorientowane pod kątem (beta) względem wektora prędkości, tak że składowe prędkości w osiach ciała wynoszą: ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle u = U \ cos \ beta}$

${\ Displaystyle v = U \ sin \ beta}$

gdzie jest prędkość. ${\ displaystyle U}$

Siły aerodynamiczne są generowane w odniesieniu do osi nadwozia, które nie jest ramą inercyjną. Aby obliczyć ruch, siły należy odnieść do bezwładnościowych osi. Wymaga to rozdzielenia składowych prędkości ciała przez kąt kursu na osie bezwładnościowe. ${\ displaystyle (\ beta)}$

Rozkładanie na stałe (bezwładnościowe) osie:

${\ Displaystyle u_ {f} = U \ cos (\ beta) \ cos (\ psi) -U \ sin (\ beta) \ sin (\ psi) = U \ cos (\ beta + \ psi)}$

${\ Displaystyle V_ {f} = U \ sin (\ beta) \ cos (\ psi) + U \ cos (\ beta) \ sin (\ psi) = U \ sin (\ beta + \ psi)}$

Przyspieszenie względem osi bezwładności wyznacza się poprzez zróżnicowanie tych składowych prędkości względem czasu:

${\ Displaystyle {\ Frac {du_ {f}} {dt}} = {\ Frac {du} {dt}} \ cos (\ beta + \ psi) -U {\ Frac {d (\ beta + \ psi) } {dt}} \ sin (\ beta + \ psi)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dv_ {f}} {dt}} = {\ Frac {du} {dt}} \ sin (\ beta + \ psi) + U {\ Frac {d (\ beta + \ psi) } {dt}} \ cos (\ beta + \ psi)}$

Z drugiej zasady Newtona jest to równa działającej sile podzielonej przez masę . Teraz siły powstają z rozkładu nacisku na ciało i dlatego są generowane w osiach ciała, a nie w osiach bezwładności, więc siły ciała muszą być rozłożone na osie bezwładnościowe , ponieważ Drugie Prawo Newtona nie ma zastosowania w najprostszej postaci do przyspieszającego ramy Odniesienia.

Rozstrzyganie sił ciała:

${\ Displaystyle X_ {f} = X \ cos (\ psi) -Y \ sin (\ psi)}$

${\ Displaystyle Y_ {f} = Y \ cos (\ psi) + X \ sin (\ psi)}$

Drugie prawo Newtona, zakładając stałą masę:

${\ displaystyle X_ {f} = m {\ frac {du_ {f}} {dt}}}$

${\ displaystyle Y_ {f} = m {\ frac {dv_ {f}} {dt}}}$

gdzie m jest masą. Zrównując bezwładnościowe wartości przyspieszenia i siły, a następnie rozdzielając je z powrotem na osie ciała, otrzymujemy równania ruchu:

${\ Displaystyle X = m {\ Frac {dU} {dt}} \ cos (\ beta) -mU {\ Frac {d (\ beta + \ psi)} {dt}} \ sin (\ beta)}$

${\ Displaystyle Y = m {\ Frac {dU} {dt}} \ sin (\ beta) + mU {\ Frac {d (\ beta + \ psi)} {dt}} \ cos (\ beta)}$

Ślizg boczny jest małą wielkością, więc równania małych zaburzeń ruchu przybierają postać : ${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle X = m {\ frac {dU} {dt}}}$

${\ Displaystyle Y = mU {\ Frac {d (\ beta + \ psi)} {dt}}}$

Pierwsza przypomina zwykłe wyrażenie drugiej zasady Newtona, podczas gdy druga jest zasadniczo przyspieszeniem odśrodkowym . Równanie ruchu rządzące obrotem ciała wyprowadza się z pochodnej czasu momentu pędu :

${\ Displaystyle N = C {\ Frac {d ^ {2} \ psi} {dt ^ {2}}}}$

gdzie C jest momentem bezwładności względem osi odchylenia. Zakładając stałą prędkość, istnieją tylko dwie zmienne stanu; i , które zostanie zapisane bardziej zwięźle jako prędkość odchylenia r. Jest jedna siła i jeden moment, które dla danego stanu lotu będą funkcjami r i ich pochodnymi w czasie. W przypadku typowych konfiguracji pocisków siły i momenty zależą krótkoterminowo od i r. Siły można wyrazić w postaci: ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle {\ frac {d \ psi} {dt}}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle Y = Y_ {0} + {\ Frac {\ częściowe Y} {\ częściowe \ beta}} \ beta + {\ Frac {\ częściowe Y} {\ częściowe r}} r}$

gdzie jest siła odpowiadająca warunkowi równowagi (zwykle nazywanej przegłębieniem ), której stabilność jest badana. Powszechną praktyką jest stosowanie skrótu: ${\ displaystyle Y_ {0}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe Y} {\ częściowe \ beta}} = Y _ {\ beta}}$

Częściowe pochodne i inne podobne terminy charakteryzujące przyrosty sił i momentów z powodu przyrostów zmiennych stanu zwane pochodne stabilności. Zwykle jest nieistotna dla konfiguracji pocisków, więc równania ruchu sprowadzają się do: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe Y} {\ częściowe \ beta}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe Y} {\ częściowe r}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ beta} {dt}} = {\ Frac {Y _ {\ beta}} {mU}} \ beta -r}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dr} {dt}} = {\ Frac {N _ {\ beta}} {C}} \ beta + {\ Frac {N_ {r}} {C}} r}$

Udziały w instrumentach pochodnych stabilności

Każda pochodna stabilności zależy od położenia, rozmiaru, kształtu i orientacji elementów pocisku. Na pokładzie statku powietrznego, stabilność kierunkowa określa cechy takie jak dwuścienny z głównych płaszczyzn, rozmiar fin i obszar statecznika poziomego , ale wiele ważnych pochodnych związanych ze stabilnością sprzeciwia się szczegółowe omówienie w tym artykule. Pocisk charakteryzuje się tylko trzema pochodnymi stabilności, a zatem stanowi użyteczne wprowadzenie do bardziej złożonej dynamiki samolotu.

Ten diagram pokazuje podnoszenie jako prostopadłe do podłużnej osi ciała. W większości zastosowań technicznych winda jest prostopadła do nadjeżdżającego strumienia. To znaczy prostopadle do wzdłużnej osi stateczności .

Rozważmy najpierw , że ciało pod kątem natarcia generuje siłę nośną w kierunku przeciwnym do ruchu ciała. Z tego powodu jest zawsze negatywna. ${\ displaystyle Y _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle Y _ {\ beta}}$

Ten diagram pokazuje podnoszenie jako prostopadłe do podłużnej osi ciała. W większości zastosowań technicznych winda jest prostopadła do nadjeżdżającego strumienia. To znaczy prostopadle do wzdłużnej osi stateczności .

Przy małych kątach natarcia siła nośna jest generowana głównie przez skrzydła, płetwy i obszar nosa ciała. Całkowita siła nośna działa na odległość przed środkiem ciężkości (na rysunku ma wartość ujemną), czyli w żargonie rakietowym jest to środek nacisku. Jeśli winda działa przed środkiem ciężkości, moment odchylający będzie ujemny i będzie miał tendencję do zwiększania kąta natarcia, zwiększając zarówno siłę nośną, jak i moment dalej. Wynika z tego, że środek ciśnienia musi znajdować się za środkiem ciężkości, aby zapewnić stabilność statyczną. to margines statyczny i musi być ujemny dla wzdłużnej stateczności statycznej . Alternatywnie, dodatni kąt natarcia musi generować dodatni moment odchylający statycznie stabilnego pocisku, tj. Musi być dodatni. Powszechną praktyką jest projektowanie rakiet manewrowych o prawie zerowym marginesie statycznym (tj. Neutralnej stabilności statycznej). ${\ displaystyle x_ {cp}}$${\ displaystyle x_ {cp}}$${\ displaystyle N _ {\ beta}}$

Potrzeba pozytywów wyjaśnia, dlaczego strzały i rzutki mają loty, a niekierowane rakiety mają płetwy. ${\ displaystyle N _ {\ beta}}$

.

Wpływ prędkości kątowej polega głównie na zmniejszeniu uniesienia nosa i zwiększeniu uniesienia ogona, z których oba działają w pewnym sensie przeciwdziałając obrotowi. jest zatem zawsze ujemna. Skrzydło ma udział, ale ponieważ pociski mają zwykle małe marginesy statyczne (zwykle mniejsze niż kaliber ), jest to zwykle małe. Również wkład płetwy jest większy niż w przypadku nosa, więc istnieje siła netto , ale jest ona zwykle nieznaczna w porównaniu z i zwykle jest ignorowana. ${\ displaystyle N_ {r}}$${\ displaystyle Y_ {r}}$${\ displaystyle Y _ {\ beta}}$

Odpowiedź

Manipulowanie równaniami ruchu daje jednorodne liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu w kącie natarcia : ${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} - \ lewo ({\ Frac {Y _ {\ beta}} {mU}} + {\ Frac {N_ {r} } {C}} \ right) {\ frac {d \ beta} {dt}} + \ left ({\ frac {N _ {\ beta}} {C}} + {\ frac {Y _ {\ beta}} { mU}} {\ frac {N_ {r}} {C}} \ right) \ beta = 0}$

Jakościowe zachowanie tego równania jest rozważane w artykule o stabilności kierunkowej . Ponieważ i to zarówno negatywne, tłumienie jest dodatni. Sztywność zależy nie tylko od terminu stateczności statycznej , ale zawiera również termin, który skutecznie określa kąt natarcia spowodowany obrotem ciała. Odległość środka podnoszenia, w tym tego terminu, przed środkiem ciężkości nazywana jest marginesem manewru . Musi mieć negatywny wpływ na stabilność. ${\ displaystyle Y _ {\ beta}}$${\ displaystyle N_ {r}}$${\ displaystyle N _ {\ beta}}$

Ta tłumiona oscylacja kąta natarcia i szybkości zbaczania, występująca po zakłóceniu, nazywana jest trybem „wiatrowskazu”, po tendencji wiatrowskazu do wskazywania na wiatr.

Komentarze

Jako zmienne stanu wybrano kąt natarcia i prędkość zbaczania r oraz pominięto zaburzenie prędkości u wraz z powiązanymi pochodnymi, np . Może się to wydawać arbitralne. Ponieważ jednak skala czasowa zmiany prędkości jest znacznie większa niż zmiana kąta natarcia, jej skutki są pomijalne, jeśli chodzi o stabilność kierunkową pojazdu. Podobnie, wpływ przechyłu na ruch odchylający został również zignorowany, ponieważ pociski generalnie mają konfiguracje o niskim współczynniku kształtu, a bezwładność przechyłu jest znacznie mniejsza niż bezwładność odchylenia, w związku z czym oczekuje się, że pętla przechyłu będzie znacznie szybsza niż odpowiedź odchylenia i jest ignorowane. Te uproszczenia problemu oparte na wiedzy a priori reprezentują podejście inżyniera. Matematycy wolą, aby problem był jak najbardziej ogólny i upraszczał go dopiero na końcu analizy, jeśli w ogóle. ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle Y_ {u}}$

Dynamika statku powietrznego jest bardziej złożona niż dynamika pocisku, głównie dlatego, że uproszczenia, takie jak oddzielenie trybu szybkiego i wolnego oraz podobieństwo między ruchami pochylenia i odchylenia, nie są oczywiste z równań ruchu i w konsekwencji są odkładane do późnego etapu analiza. Poddźwiękowe samoloty transportowe mają konfiguracje o wysokim współczynniku kształtu, więc odchylenie i przechylenie nie mogą być traktowane jako oddzielone. Jednak jest to tylko kwestia stopnia; podstawowe idee potrzebne do zrozumienia dynamiki samolotu są omówione w tej prostszej analizie ruchu pocisków.

Pochodne kontrolne

Odchylenie powierzchni sterowych modyfikuje rozkład ciśnienia w pojeździe, a problem ten jest uwzględniany poprzez uwzględnienie zaburzeń sił i momentów wynikających z odchylenia elementów sterujących. Odchylenie płetwy jest zwykle oznaczone (zeta). Uwzględniając te terminy, równania ruchu stają się: ${\ displaystyle \ zeta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ beta} {dt}} = {\ Frac {Y _ {\ beta}} {mU}} \ beta -r + {\ Frac {Y _ {\ zeta}} {mU}} \ zeta }$

${\ Displaystyle {\ Frac {dr} {dt}} = {\ Frac {N _ {\ beta}} {C}} \ beta + {\ Frac {N_ {r}} {C}} r + {\ Frac {N_ {\ zeta}} {C}} \ zeta}$

Uwzględnienie pochodnych sterowania umożliwia badanie reakcji pojazdu oraz równań ruchu wykorzystywanych do projektowania autopilota.

Przykłady

• C _{L ${\ displaystyle \ beta}$} , zwany efektem dwuściennym , jest pochodną stabilności, która mierzy zmiany momentu toczącego się wraz ze zmianą kąta poślizgu bocznego . Litera „L” oznacza moment toczenia, a wskazuje kąt ślizgu bocznego. ${\ displaystyle \ beta}$

Zobacz też

• Wzdłużna stabilność statyczna
• Punkt neutralny
• Centrum aerodynamiczne
• Dynamika lotu
• Stabilność kierunkowa

Bibliografia

• Babister AW: Dynamiczna stabilność i reakcja samolotu . Elsever 1980, ISBN   0-08-024768-7
• Friedland B: Projekt systemu sterowania . McGraw-Hill Book Company 1987. ISBN   0-07-100420-3
• Roskam Jan: Dynamika lotu samolotu i automatyczne sterowanie lotem . Roskam Aviation and Engineering Corporation 1979. Drugi druk 1982. Numer karty katalogowej Biblioteki Kongresu: 78-31382.