Teoria perturbacji - Perturbation theory

Równania różniczkowe
Równania różniczkowe Naviera-Stokesa stosowane do symulacji przepływu powietrza wokół przeszkody
Zakres Nauki przyrodnicze Inżynieria Astronomia Fizyka Chemia Biologia Geologia Matematyka stosowana Mechanika kontinuum Teoria chaosu Układy dynamiczne Nauki społeczne Ekonomia Dynamika populacji
Klasyfikacja
Rodzaje Zwykły Częściowy Różniczkowo-algebraiczny Całko-różnicowy Frakcyjny Liniowy Nieliniowy Według typu zmiennej Zmienne zależne i niezależne Autonomiczny Złożony Połączone / Oddzielone Dokładny Jednorodne  / Niejednorodne Cechy Zamówienie Operator Notacja
Związek z procesami Różnica (dyskretny analog) Stochastyczny Stochastyczne częściowe Opóźnienie
Rozwiązanie
Istnienie i wyjątkowość Twierdzenie Picarda-Lindelöfa Twierdzenie o istnieniu Peano Twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego Twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego
Tematy ogólne wroński Portret fazowy Przestrzeń fazowa Lapunow  / Asymptotyczna  / Stabilność wykładnicza Wskaźnik konwergencji Seria  / Rozwiązania integralne Całkowanie numeryczne Funkcja delta Diraca
Metody rozwiązania Kontrola Metoda charakterystyki Euler Wykładnicza formuła odpowiedzi Różnica skończona  ( Crank-Nicolson ) Końcowy element Nieskończony element Skończona objętość Galerkin Pietrow-Galerkin Czynnik integrujący Przekształcenia całkowe Teoria zaburzeń Runge-Kutta Separacja zmiennych Nieokreślone współczynniki Zmienność parametrów
Ludzie Izaak Newton Gottfrieda Leibniza Leonhard Euler Emil Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v T mi

W matematyce i stosowanych matematyki , teoria zaburzeń obejmuje sposoby znalezienia rozwiązania przybliżonego do problemu, rozpoczynając od dokładnego rozwiązania z powiązanym prostszą problemu. Kluczową cechą tej techniki jest środkowy krok, który dzieli problem na części „możliwe do rozwiązania” i „perturbacyjne”. W teorii perturbacji rozwiązanie wyraża się jako szereg potęgowy w małym parametrze . Pierwszy termin to znane rozwiązanie rozwiązywalnego problemu. Kolejne wyrazy w szeregu przy wyższych potęgach zwykle stają się mniejsze. Przybliżone „rozwiązanie perturbacji” uzyskuje się przez obcięcie szeregu, zwykle zachowując tylko dwa pierwsze człony, rozwiązanie znanego problemu i korektę perturbacji „pierwszego rzędu”. ${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon}$

Teoria zaburzeń jest stosowana w wielu dziedzinach, a najbardziej wyrafinowane i zaawansowane formy osiąga w kwantowej teorii pola . Teoria zaburzeń (mechanika kwantowa) opisuje zastosowanie tej metody w mechanice kwantowej . Ogólnie rzecz biorąc, dziedzina pozostaje aktywnie i intensywnie badana w wielu dyscyplinach.

Opis

Teoria zaburzeń opracowuje wyrażenie na pożądane rozwiązanie w postaci formalnego szeregu potęgowego, znanego jako szereg zaburzeń w pewnym „małym” parametrze, który określa ilościowo odchylenie od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Wyrazem wiodącym w tym szeregu potęgowym jest rozwiązanie problemu dokładnie rozwiązywalnego, natomiast dalsze terminy opisują odchylenie w rozwiązaniu, wynikające z odchylenia od problemu początkowego. Formalnie dla aproksymacji do pełnego rozwiązania A , mamy szereg w małym parametrze (nazywanym tutaj ε ), jak poniżej:

${\ Displaystyle A = A_ {0}+ \ varepsilon ^ {1} A_ {1} + \ varepsilon ^ {2} A_ {2} + \ cdots }$

W tym przykładzie A ₀ byłoby znanym rozwiązaniem dokładnie rozwiązywalnego problemu początkowego, a A ₁ , A ₂ , ... reprezentują terminy pierwszego rzędu , drugiego i wyższego rzędu , które mogą być znalezione iteracyjnie przez mechanistykę procedura. Dla małych ε te wyrazy wyższego rzędu w szeregu na ogół (ale nie zawsze) stają się sukcesywnie mniejsze. Przybliżone „rozwiązanie perturbacyjne” uzyskuje się przez obcięcie szeregu, często zachowując tylko dwa pierwsze wyrazy, wyrażając rozwiązanie końcowe jako sumę rozwiązania początkowego (dokładnego) i poprawki perturbacyjnej „pierwszego rzędu”.

${\ Displaystyle A \ około A_ {0}+ \ varepsilon A_ {1} \ quad \ lewo (\ varepsilon \ do 0 \ po prawej)}$

Niektórzy autorzy stosują notację duże O do wskazania kolejności błędu w przybliżonym rozwiązaniu: . ${\ Displaystyle A = A_ {0} + \ varepsilon A_ {1} + O \ lewo (\ varepsilon ^ {2} \ po prawej)}$

Jeśli szeregi potęgowe w ε są zbieżne z niezerowym promieniem zbieżności, problem perturbacji nazywa się problemem regularnych perturbacji. W zwykłych problemach perturbacyjnych rozwiązanie asymptotyczne płynnie zbliża się do rozwiązania dokładnego. Jednak szereg zaburzeń może również być rozbieżny, a szereg obcięty może nadal być dobrym przybliżeniem do prawdziwego rozwiązania, jeśli zostanie obcięty w punkcie, w którym jego elementy są minimalne. Nazywa się to serią asymptotyczną . Jeśli szereg zaburzeń jest rozbieżny lub nie jest szeregiem potęgowym (np. rozwinięcie asymptotyczne ma potęgi niecałkowite lub potęgi ujemne ), wówczas problem zaburzeń nazywa się problemem pojedynczych zaburzeń . W teorii perturbacji opracowano wiele specjalnych technik do analizy pojedynczych problemów z perturbacjami. ${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {1/2}}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {-2}}$

Przykład prototypowy

Najwcześniejsze zastosowanie tego, co teraz można by nazwać teorią perturbacji, polegało na zajmowaniu się inaczej nierozwiązywalnymi matematycznymi problemami mechaniki nieba : na przykład orbitą Księżyca , który porusza się zauważalnie inaczej niż zwykła elipsa Keplera z powodu współzawodniczącej grawitacji Ziemi i Ziemi. Sun .

Metody perturbacyjne zaczynają się od uproszczonej postaci pierwotnego problemu, który jest na tyle prosty, że można go dokładnie rozwiązać. W mechanice nieba jest to zwykle elipsa Keplera . W grawitacji newtonowskiej elipsa jest dokładnie poprawna, gdy występują tylko dwa ciała grawitacyjne (np. Ziemia i Księżyc ), ale niezupełnie poprawna, gdy istnieją trzy lub więcej obiektów (np. Ziemia, Księżyc , Słońce i reszta układ słoneczny ), a nie do końca poprawne, gdy oddziaływanie grawitacyjne stwierdzono przy stosowaniu preparatów z ogólnym wzgl .

Perturbacyjna ekspansja

Mając na uwadze powyższy przykład, kierujemy się ogólną receptą na otrzymanie szeregu zaburzeń. Rozszerzenie perturbacyjne jest tworzone przez dodawanie kolejnych poprawek do uproszczonego problemu. Poprawki uzyskuje się poprzez wymuszenie spójności między rozwiązaniem niezakłóconym a równaniami opisującymi układ w całości. Napisz do tego zbioru równań; to znaczy, niech symbol reprezentuje problem do rozwiązania. Dość często są to równania różniczkowe, a więc litera „D”. ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D}$

Proces jest generalnie mechaniczny, jeśli jest pracochłonny. Rozpoczyna się od napisania równań tak, aby podzieliły się na dwie części: pewien zbiór równań, które można dokładnie rozwiązać, i dodatkową pozostałą część dla jakiegoś małego . Roztwór (w celu ) jest znana, a jeden ma rozwiązanie ogólne do . ${\ Displaystyle D}$${\displaystyle D_{0}}$${\ Displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ ll 1}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle D_{0}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle D = D_ {0}+ \ varepsilon D_ {1}}$

Następnie przybliżenie jest wstawiane do . Daje to w wyniku równanie na , które w ogólnym przypadku można zapisać w postaci zamkniętej jako sumę po całkach po . W ten sposób uzyskano poprawkę pierwszego rzędu, a zatem jest to dobre przybliżenie do . To dobre przybliżenie, właśnie dlatego, że pominięte części miały rozmiar . Proces można następnie powtórzyć, aby uzyskać poprawki i tak dalej. ${\ Displaystyle A \ około A_ {0}+ \ varepsilon A_ {1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon D_ {1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}}$${\ Displaystyle A \ około A_ {0}+ \ varepsilon A_ {1}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2}}$${\displaystyle A_{2}}$

W praktyce proces ten szybko eksploduje w mnogość terminów, które są niezwykle trudne do ręcznego zarządzania. Isaac Newton jest zgłaszane do powiedział, dotyczące problemu z Księżyca orbicie „s, że «To naraża moją głowę na ból.» Ta niekontrolowalność zmusiła teorię perturbacji do rozwinięcia się w wysoką sztukę zarządzania i zapisywania tych terminów wyższego rzędu. Jednym z fundamentalnych przełomów w sterowaniu ekspansją są diagramy Feynmana , które umożliwiają diagramowe zapisywanie szeregów zaburzeń.

Przykłady

Teoria zaburzeń została wykorzystana w wielu różnych środowiskach fizyki i matematyki stosowanej. Przykłady „zbioru równań” obejmują równania algebraiczne , równania różniczkowe (np. równania ruchu i powszechnie równania falowe ), termodynamiczną energię swobodną w mechanice statystycznej , transfer promienisty i operatory hamiltonowskie w mechanice kwantowej . ${\ Displaystyle D}$

Przykłady tego rodzaju rozwiązań, które znajdują perturbatively to rozwiązanie równania ( np The trajektoria cząstki), przy czym średnia statystyczny pewnej wielkości fizycznej ( na przykład , średnio magnetyzacji), przy czym masy stan energii kwantowej problem mechaniczny.

Przykłady dokładnie rozwiązywalnych problemów, które można wykorzystać jako punkty wyjścia, obejmują równania liniowe , w tym liniowe równania ruchu ( oscylator harmoniczny , liniowe równanie falowe ), statystyczne lub kwantowo-mechaniczne układy nieoddziałujących cząstek (lub ogólnie hamiltoniany lub energie swobodne zawierające tylko wyrazy kwadratowe we wszystkich stopniach swobody).

Przykładami układów, które można rozwiązać za pomocą zaburzeń, są układy o nieliniowym udziale w równaniach ruchu, oddziaływaniach między cząstkami, wyrazach wyższych potęg w hamiltonie/energii swobodnej.

W przypadku problemów fizycznych obejmujących interakcje między cząstkami, warunki szeregu zaburzeń mogą być wyświetlane (i manipulowane) za pomocą diagramów Feynmana .

Historia

Teoria zaburzeń została po raz pierwszy opracowana w celu rozwiązania trudnych do rozwiązania problemów związanych z obliczaniem ruchów planet w Układzie Słonecznym. Na przykład prawo powszechnego ciążenia Newtona wyjaśnia grawitację między dwoma ciałami astronomicznymi, ale kiedy doda się trzecie ciało, problem brzmiał: „Jak każde ciało przyciąga każde?”. Równanie Newtona pozwalało na analizę tylko masy dwóch ciał. Stopniowo rosnąca dokładność obserwacji astronomicznych doprowadziła do wzrostu wymagań dotyczących dokładności rozwiązań równań grawitacyjnych Newtona, co doprowadziło kilku wybitnych matematyków z XVIII i XIX wieku, takich jak Lagrange i Laplace , do rozszerzenia i uogólnienia metod teorii zaburzeń.

Te dobrze opracowane metody perturbacji zostały przyjęte i przystosowane do rozwiązywania nowych problemów pojawiających się podczas rozwoju mechaniki kwantowej w XX-wiecznej fizyce atomowej i subatomowej. Paul Dirac opracował teorię zaburzeń kwantowych w 1927 roku, aby ocenić, kiedy cząsteczka byłaby emitowana w pierwiastkach promieniotwórczych. Zostało to później nazwane złotą zasadą Fermiego . Teoria zaburzeń w mechanice kwantowej jest dość przystępna, ponieważ notacja kwantowa umożliwia pisanie wyrażeń w dość zwartej formie, co ułatwia ich zrozumienie. Doprowadziło to do eksplozji zastosowań, od efektu Zeemana po nadsubtelne rozszczepienie w atomie wodoru .

Pomimo prostszej notacji, teoria zaburzeń zastosowana w kwantowej teorii pola nadal łatwo wymyka się spod kontroli. Richard Feynman opracował słynne diagramy Feynmana , obserwując, że wiele terminów powtarza się w regularny sposób. Terminy te można zastąpić kropkami, liniami, zawijasami i podobnymi znakami, z których każdy oznacza termin, mianownik, całkę i tak dalej; w ten sposób całki złożone można zapisać jako proste diagramy, bez żadnych niejasności co do ich znaczenia. Korespondencja jeden-do-jednego między diagramami a określonymi całkami jest tym, co daje im moc. Chociaż pierwotnie opracowano ją dla kwantowej teorii pola, okazuje się, że technika diagramów ma szerokie zastosowanie do wszystkich szeregów perturbacyjnych (choć być może nie zawsze jest tak użyteczna).

W drugiej połowie XX wieku, wraz z rozwojem teorii chaosu , stało się jasne, że układy niezaburzone były na ogół układami całkowicie całkowanymi , podczas gdy układy zaburzone nie. To szybko doprowadziło do badania „systemów prawie całkowalnych”, których kanonicznym przykładem jest torus KAM . Jednocześnie odkryto również, że wiele (raczej specjalnych) układów nieliniowych , do których wcześniej można było uzyskać dostęp jedynie poprzez teorię perturbacji, jest w rzeczywistości całkowicie całkowalnych. To odkrycie było dość dramatyczne, ponieważ pozwoliło na podanie dokładnych rozwiązań. To z kolei pomogło wyjaśnić znaczenie szeregu perturbacyjnego, ponieważ można teraz porównać wyniki szeregu z dokładnymi rozwiązaniami.

Lepsze zrozumienie układów dynamicznych wywodzące się z teorii chaosu pomogło rzucić światło na problem określany mianem problemu małego mianownika lub problemu małego dzielnika . W XIX wieku zaobserwowano (przez Poincarégo , a może i wcześniej), że czasami terminy drugiego i wyższego rzędu w serii perturbacyjnej mają „małe mianowniki”. Oznacza to, że mają ogólną postać gdzie , i są pewnymi skomplikowanymi wyrażeniami odnoszącymi się do problemu, który ma zostać rozwiązany, i są liczbami rzeczywistymi; Bardzo często są one energię z normalnych trybach . Problem małego dzielnika pojawia się, gdy różnica jest mała, powodując, że korekcja perturbacyjna rośnie, stając się tak duża, a może nawet większa niż składnik zerowego rzędu. Sytuacja ta sygnalizuje załamanie teorii perturbacji: w tym momencie przestaje ona działać i nie może być dalej rozwijana ani sumowana. Formalnie szereg perturbacyjny jest szeregiem asymptotycznym : użyteczne przybliżenie dla kilku terminów, ale ostatecznie niedokładne. Przełom w teorii chaosu był wyjaśnieniem, dlaczego tak się stało: małe dzielniki pojawiają się zawsze, gdy teoria perturbacji jest stosowana do chaotycznego systemu. Jedno sygnalizuje obecność drugiego. ${\ Displaystyle \ psi _ {n} V \ phi _ {m} / (\ omega _ {n} - \ omega _ {m})}$${\ Displaystyle \ psi _ {n}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ _ {m}}$${\ Displaystyle \ omega _ {n}}$${\ Displaystyle \ omega _ {m}}$${\ Displaystyle \ omega _ {n} - \ omega _ {m}}$

Początki w badaniu ruchu planet

Ponieważ planety są od siebie bardzo oddalone, a ich masa jest niewielka w porównaniu z masą Słońca, siły grawitacyjne między planetami można pominąć, a ruch planet w pierwszym przybliżeniu uważa się za zachodzący. wzdłuż orbit Keplera, które są określone równaniami problemu dwóch ciał, przy czym dwa ciała to planeta i Słońce.

Ponieważ dane astronomiczne stały się znane z dużo większą dokładnością, konieczne stało się rozważenie, w jaki sposób inne planety wpływają na ruch planety wokół Słońca. To było źródło problemu trzech ciał ; dlatego w badaniu układu Księżyc-Ziemia-Słońce jako mały parametr wybrano stosunek masy między Księżycem a Ziemią. Lagrange i Laplace jako pierwsi wysunęli pogląd, że stałe opisujące ruch planety wokół Słońca są „zaburzone” przez ruch innych planet i zmieniają się w funkcji czasu; stąd nazwa „teoria zaburzeń”.

Teorię perturbacji badali uczeni klasyczni — Laplace , Poisson , Gauss — dzięki czemu obliczenia mogły być wykonywane z bardzo dużą dokładnością. Odkrycie planety Neptun w 1848 roku przez Urbaina Le Verriera , oparte na odchyleniach w ruchu planety Uran (przesłał współrzędne do Johanna Gottfrieda Galle, który z powodzeniem obserwował Neptuna przez swój teleskop), stanowiło triumf teorii perturbacji.

Rozkazy perturbacyjne

Standardowy wykład teorii zaburzeń jest podany pod kątem kolejności, w jakiej zaburzenia są przeprowadzane: teoria zaburzeń pierwszego rzędu lub teoria zaburzeń drugiego rzędu oraz czy stany z zaburzeniami są zdegenerowane, co wymaga osobliwych zaburzeń . W pojedynczym przypadku należy zachować szczególną ostrożność, a teoria jest nieco bardziej rozbudowana.

W chemii

Wiele metod chemii kwantowej ab initio bezpośrednio wykorzystuje teorię perturbacji lub są metodami blisko spokrewnionymi. Niejawna teoria perturbacji działa z pełnym hamiltonianem od samego początku i nigdy nie określa operatora perturbacji jako takiego. Teoria zaburzeń Møllera-Plesseta wykorzystuje różnicę między hamiltonianem Hartree-Focka a dokładnym nierelatywistycznym hamiltonianem jako zaburzeniem. Energia rzędu zerowego to suma energii orbitalnych. Energia pierwszego rzędu to energia Hartree-Focka, a korelacja elektronowa jest zawarta na drugim lub wyższym rzędzie. Obliczenia do drugiego, trzeciego lub czwartego rzędu są bardzo powszechne, a kod jest zawarty w większości programów chemii kwantowej ab initio . Pokrewną, ale dokładniejszą metodą jest metoda sprzężonych klastrów .

Zobacz też

• Warstwa graniczna
• Kosmologiczna teoria perturbacji
• Deformacja (matematyka)
• Dynamiczna polaryzacja jądrowa
• Zaburzenia wartości własnej
• Metoda zaburzeń homotopii
• Przedział MES
• Stabilność Lapunowa
• Metoda dominującej równowagi
• Kolejność zbliżenia
• Teoria zaburzeń (mechanika kwantowa)
• Stabilność strukturalna

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• van den Eijnden, Eric . „Wprowadzenie do teorii zaburzeń regularnych” (PDF) .
• „Metoda zaburzeń wieloskalowych” .
• Alternatywne podejście do teorii zaburzeń kwantowych Martínez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). „Analiza alternatywna do teorii zaburzeń w mechanice kwantowej”. Europejski Dziennik Fizyczny D . 66 : 22. arXiv : 1110,0723 . Kod Bib : 2012EPJD...66...22M . doi : 10.1140/epjd/e2011-20654-5 . S2CID  117362666 .