Kolektor Steina - Stein manifold

W matematyce, w teorii kilku skomplikowanych zmiennych i złożonych rozdzielaczy , A kolektor Steina jest złożonym podrozmaitością z przestrzeni wektorowej z n złożonych wymiarach. Zostały wprowadzone i nazwane imieniem Karla Steina  ( 1951 ). Przestrzeń Steina jest podobny do kolektora Stein, ale może mieć osobliwości. Przestrzenie Steina są odpowiednikami rozmaitości afinicznych lub schematów afinicznych w geometrii algebraicznej.

Definicja

Załóżmy, że jest to kompleks kolektora złożonego wymiaru i niech oznaczają pierścień funkcji holomorficznych na Wzywamy do kolektora Stein , jeżeli następujące warunki przytrzymanie: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}} (X)}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle X}$jest holomorficznie wypukły, czyli dla każdego zwartego podzbioru tzw. holomorficznie wypukły kadłub ,${\ Displaystyle K \ podzbiór X}$

${\ Displaystyle {\ bar {K}} = \ lewo \ {z \ w X \ \ lewo | \ | f (z) | \ leq \ sup _ {w \ w K} | f (w) | \ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

jest również kompaktowym podzbiorem .${\ Displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle X}$jest holomorficznie separowalne, tzn. jeśli są dwa punkty w , to istnieje takie, że${\displaystyle x\neq y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f \ w {\ mathcal {O}} (X)}$${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Niezwarte powierzchnie Riemanna to rozmaitości Steina

Niech X będzie spójną, niezwartą powierzchnią Riemanna . Głęboka Twierdzenie o Heinrich Behnke Stein (1948) stwierdza, że X jest kolektor Stein.

Inny wynik, przypisywany Hansowi Grauertowi i Helmutowi Röhrlowi (1956), stwierdza ponadto, że każda holomorficzna wiązka wektorów na X jest trywialna. W szczególności każdy pakiet linii jest trywialny, więc . W analizę sekwencji wiązka prowadzi do następującej sekwencji: dokładnie ${\ Displaystyle H ^ {1} (X {\ Matematyka {O}} _ {X} ^ {*}) = 0}$

${\ Displaystyle H ^ {1} (X {\ Matematyka {O}} _ {X}) \ Longrightarrow H ^ {1} (X {\ Matematyka {O}} _ {X} ^ {*}) \ longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Teraz twierdzenie Cartana B pokazuje, że , zatem . ${\ Displaystyle H ^ {1} (X {\ Matematyka {O}} _ {X}) = H ^ {2} (X {\ Matematyka {O}} _ {X}) = 0}$${\ Displaystyle H ^ {2} (X \ mathbb {Z}) = 0}$

Wiąże się to z rozwiązaniem drugiego problemu kuzyna .

Własności i przykłady rozmaitości Steina

• Standardową przestrzenią zespoloną jest rozmaitość Steina.${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

• Każda domena holomorficzności w to kolektor Stein.${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

• Dość łatwo można wykazać, że każda zamknięta podrozmaitość zespolona rozmaitości Steina jest również rozmaitością Steina.

• Osadzanie twierdzenie do rozdzielaczy Stein stwierdza co następuje: Każdy Stein kolektora złożonego wymiaru może być osadzony przez biholomorphic odpowiedniej mapie .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2n + 1}}$

Z faktów tych wynika, że ​​rozmaitość Steina jest zamkniętą, złożoną podrozmaitością złożonej przestrzeni, której złożona struktura jest strukturą otaczającej przestrzeni (ponieważ zanurzenie jest biholomorficzne).

• Każda rozmaitość Steina (zespołowego) wymiaru n ma typ homotopii n- wymiarowego kompleksu CW.

• W jednym wymiarze złożonym warunek Steina można uprościć: połączona powierzchnia Riemanna jest rozmaitością Steina wtedy i tylko wtedy , gdy nie jest zwarta. Można to udowodnić za pomocą wersji twierdzenia Rungego dla powierzchni Riemanna, dzięki Behnke i Stein.

• Każda rozmaitość Steina jest holomorficznie rozciągliwa, tj. dla każdego punktu istnieją funkcje holomorficzne zdefiniowane na wszystkich, które tworzą lokalny układ współrzędnych, gdy są ograniczone do jakiegoś otwartego sąsiedztwa .${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x\wX}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x}$

• Bycie rozmaitością Steina jest równoznaczne z byciem (złożoną) silnie pseudowypukłą rozmaitością . To ostatnie oznacza, że ​​posiada silnie pseudowypukłą (lub plurisubharmoniczną ) funkcję wyczerpującą, tj. gładką funkcję rzeczywistą on (którą można założyć, że jest funkcją Morse'a ) z , tak że podzbiory są zwarte dla każdej liczby rzeczywistej . Jest to rozwiązanie tzw. problemu Leviego , nazwanego na cześć EE Leviego (1911). Funkcja zaprasza do uogólnienia rozmaitości Steina na ideę odpowiadającej jej klasy zwartych rozmaitości zespolonych z brzegiem zwanych domenami Steina . Domena Steina jest przedobrazem . Niektórzy autorzy nazywają takie rozmaitościami rozmaitości ściśle pseudowypukłe.${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle ja\częściowy {\bar {\częściowy}}\psi>0}$${\ Displaystyle \ {z \ w X \ mid \ psi (z) \ leq c \}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ {z \ mid - \ infty \ leq \ psi (z) \ leq c \}}$

• W odniesieniu do poprzedniego punktu, inna równoważna i bardziej topologiczna definicja w wymiarze złożonym 2 jest następująca: powierzchnia Steina jest powierzchnią złożoną X z funkcją Morse'a o wartościach rzeczywistych f na X tak, że z dala od punktów krytycznych f , pole złożonych tangencies do preimage jest struktura stykowy , który indukuje orientacji w X _c zgadzając się zwykłej orientacji, gdyż granica Oznacza to, że jest Stein napełniania z X _C .${\ Displaystyle X_ {c} = f ^ {-1} (c)}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (- \ infty, c).}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (- \ infty, c)}$

Istnieją liczne dalsze charakterystyki takich rozmaitości, w szczególności ujęcie własności ich posiadania „wielu” funkcji holomorficznych przyjmujących wartości w liczbach zespolonych. Zobacz na przykład twierdzenia Cartana A i B , odnoszące się do kohomologii snopa . Początkowy impuls było mieć opis właściwości dziedzinie definicją (maksymalne) analitycznej kontynuacji wystąpienia funkcji analitycznej .

W zbiorze analogii GAGA rozmaitości Steina odpowiadają rozmaitościom afinicznym .

Rozmaitości Steina są w pewnym sensie dualne do rozmaitości eliptycznych w analizie zespolonej, które dopuszczają do siebie „wiele” funkcji holomorficznych z liczb zespolonych. Wiadomo, że rozmaitość Steina jest eliptyczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest włóknista w sensie tak zwanej „teorii homotopii holomorficznej”.

Stosunek do gładkich rozmaitości

Każda zwarta gładka rozmaitość o wymiarze 2n, która ma tylko uchwyty o indeksie ≤ n, ma strukturę Stein pod warunkiem, że n>2, a gdy n=2 te same trzyma się, pod warunkiem, że 2 uchwyty są przymocowane pewnymi obramowaniami (obramowanie mniejsze niż Thurston –Oprawa benekinowa ). Każda zamknięta gładka 4-rozmaitość jest połączeniem dwóch 4-rozmaitości Steina sklejonych wzdłuż ich wspólnej granicy.

Uwagi

Bibliografia

• Forster, Otto (1981), Wykłady na powierzchniach Riemanna , Graduate Text in Mathematics, 81 , New-York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (w tym dowód twierdzeń Behnkego-Steina i Grauerta-Röhrla)
• Hörmander, Lars (1990), Wprowadzenie do analizy złożonej w kilku zmiennych , North-Holland Mathematical Library, 7 , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, MR  1045639 (w tym dowód twierdzenia o osadzeniu)
• Gompf, Robert E. (1998), "Konstrukcja uchwytu powierzchni Stein", Annals of Mathematics , Druga seria, The Annals of Mathematics, tom. 148, nr 2, 148 (2): 619–693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005 , ISSN  0003-486X , JSTOR  121005 , MR  1668563 (definicje i konstrukcje dziedzin i rozmaitości Steina w wymiarze 4)
• Grauerta, Hansa; Remmert, Reinhold (1979), Teoria przestrzeni Steina , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236 , Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, numer MR  0580152
• Stein, Karl (1951), „Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem”, Matematyka. Anny. (w języku niemieckim), 123 : 201-222, doi : 10.1007/bf02054949 , MR  0043219