Twierdzenie o modułowości - Modularity theorem

Twierdzenie modułowość (dawniej nazywany przypuszczenie Taniyama-Shimura , Taniyama-Weil przypuszczenie lub modułowość przypuszczenie na krzywych eliptycznych ) stwierdza, że krzywe eliptyczne ponad dziedzinie liczb wymiernych są związane z form modularnych . Andrew Wiles udowodnił twierdzenie o modularności dla półstabilnych krzywych eliptycznych , co wystarczyło, by sugerować ostatnie twierdzenie Fermata . Później seria artykułów byłych uczniów Wilesa, Briana Conrada , Freda Diamonda i Richarda Taylora , których kulminacją był wspólny artykuł z Christophem Breuilem , rozszerzyła techniki Wilesa, aby udowodnić twierdzenie o pełnej modułowości w 2001 roku.

Oświadczenie

W twierdzenie stwierdza, że każda krzywa eliptyczna nad mogą być uzyskane poprzez racjonalne mapie z całkowitych współczynników od klasycznej modularnej krzywej dla pewnej liczby całkowitej ; jest to krzywa ze współczynnikami całkowitymi z wyraźną definicją. To odwzorowanie nazywa się modularną parametryzacją poziomu . Jeśli jest najmniejszą liczbą całkowitą, dla której można znaleźć taką parametryzację (która z samego twierdzenia o modularności jest obecnie znana jako liczba zwana przewodnikiem ), to parametryzację można zdefiniować w kategoriach odwzorowania generowanego przez określony rodzaj modularności forma wagi dwa i poziom , znormalizowana nowa forma z rozszerzeniem liczby całkowitej , po której następuje w razie potrzeby izogenia . ${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$ ${\displaystyle X_{0}(N)}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle q}$

Powiązane oświadczenia

Twierdzenie o modularności implikuje ściśle powiązane stwierdzenie analityczne:

Do każdej krzywej eliptycznej E nad możemy dołączyć odpowiednią serię L . Seria - to seria Dirichleta , powszechnie pisana ${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle L (E, s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

Funkcja tworząca współczynników jest wtedy ${\displaystyle a_{n}}$

${\ Displaystyle f (E, q) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} q ^ {n}}.$

Jeśli dokonamy zamiany

${\ Displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$

widzimy, że napisaliśmy rozwinięcie Fouriera funkcji zmiennej zespolonej , więc współczynniki szeregu - są również uważane za współczynniki Fouriera . Otrzymana w ten sposób funkcja jest, co niezwykłe, formą wierzchołkową wagi dwa i poziomu, a także jest formą własną (wektorem własnym wszystkich operatorów Heckego ); jest to hipoteza Hasse-Weila , która wynika z twierdzenia o modularności. ${\displaystyle f(e,\tau)}$${\ Displaystyle \ tau}$${\displaystyle q}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle N}$

Z kolei niektóre modułowe formy wagi dwa odpowiadają różnicom holomorficznym dla krzywej eliptycznej. Jakobian krzywej modularnej można (aż do izogenii) zapisać jako iloczyn nieredukowalnych rozmaitości abelowych , odpowiadających formom własnym Heckego wagi 2. Czynniki jednowymiarowe są krzywymi eliptycznymi (mogą być wszystkie formy własne Heckego odpowiadają racjonalnym krzywym eliptycznym). Krzywa uzyskana przez znalezienie odpowiedniej postaci wierzchołka, a następnie skonstruowanie z niej krzywej, jest izogeniczna względem oryginalnej krzywej (ale ogólnie nie jest z nią izomorficzna).

Historia

Yutaka Taniyama przedstawił wstępną (nieco niepoprawną) wersję tej hipotezy na międzynarodowym sympozjum na temat teorii liczb algebraicznych w Tokio i Nikkō w 1955 roku . Goro Shimura i Taniyama pracowali nad poprawą jego rygoru aż do 1957 roku. André Weil ponownie odkrył hipotezę i wykazał, że wynika ona z (domniemanych) równań funkcyjnych dla niektórych skręconych serii krzywej eliptycznej; był to pierwszy poważny dowód na to, że przypuszczenie może być prawdziwe. Weil pokazał również, że przewodnik krzywej eliptycznej powinien być poziomem odpowiedniej formy modułowej. Hipoteza Taniyama-Shimura-Weil stała się częścią programu Langlands . ${\ Displaystyle L}$

Hipoteza ta wzbudziła duże zainteresowanie, gdy Gerhard Frey zasugerował, że sugeruje ona Wielkie Twierdzenie Fermata . Zrobił to, próbując wykazać, że każdy kontrprzykład dla Wielkiego Twierdzenia Fermata sugerowałby istnienie co najmniej jednej niemodularnej krzywej eliptycznej. Argument ten został uzupełniony, gdy Jean-Pierre Serre zidentyfikował brakujące ogniwo (obecnie znane jako hipoteza epsilon lub twierdzenie Ribeta) w oryginalnej pracy Freya, a dwa lata później Ken Ribet uzupełnił dowód hipotezy epsilon.

Nawet po zwróceniu uwagi na hipotezę Taniyamy-Shimury-Weila współcześni matematycy postrzegali ją jako niezwykle trudną do udowodnienia lub być może nawet niedostępną do udowodnienia. Na przykład doktor Wilesa. przełożony John Coates twierdzi, że wydawało się to „niemożliwe do udowodnienia”, a Ken Ribet uważał się za „jednego z ogromnej większości ludzi, którzy wierzyli, że [to] jest całkowicie niedostępne”.

Andrew Wiles, z pewną pomocą Richarda Taylora , udowodnił hipotezę Taniyamy -Shimury-Weila dla wszystkich półstabilnych krzywych eliptycznych , której użył do udowodnienia Wielkiego Twierdzenia Fermata, a pełna hipoteza Taniyamy -Shimury-Weila została ostatecznie udowodniona przez Diamonda, Conrada, Diament i Taylor; oraz Breuila, Conrada, Diamonda i Taylora; opierając się na pracy Wilesa, stopniowo odcinał pozostałe przypadki, aż do udowodnienia pełnego wyniku.

Po pełnym udowodnieniu przypuszczenie stało się znane jako twierdzenie o modułowości.

Kilka twierdzeń w teorii liczb, podobnych do ostatniego twierdzenia Fermata, wynika z twierdzenia o modularności. Na przykład: żaden sześcian nie może być zapisany jako suma dwóch względnie pierwszych potęg, . (Sprawa była już znana Eulerowi .) ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n=3}$

Uogólnienia

Twierdzenie o modularności jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnych przypuszczeń, których autorem jest Robert Langlands . Program Langlands dąży do dołączenia formy automorficznej lub reprezentacji automorficznej (odpowiednie uogólnienie formy modułowej) do bardziej ogólnych obiektów arytmetycznej geometrii algebraicznej, takich jak każda krzywa eliptyczna na polu liczbowym . Większość przypadków tych rozszerzonych przypuszczeń nie została jeszcze udowodniona. Jednak Freitas, Le Hung i Siksek udowodnili, że krzywe eliptyczne zdefiniowane nad rzeczywistymi polami kwadratowymi są modułowe.

Uwagi

Bibliografia

• Breuila, Christopha; Konrada, Briana; Diament, Fred; Taylor, Richard (2001), „O modułowości krzywych eliptycznych nad Q : dzikie ćwiczenia 3-adic”, Journal of the American Mathematical Society , 14 (4): 843-939, doi : 10.1090/S0894-0347-01- 00370-8 , ISSN  0894-0347 , MR  1839918
• Konrada, Briana; Diament, Fred; Taylor, Richard (1999), „Modularność niektórych reprezentacji potencjalnie Barsotti-Tate Galois”, Journal of the American Mathematical Society , 12 (2): 521-567, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 , ISSN  0894-0347 , MR  1639612
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H .; Stevens, Glenn, wyd. (1997), Formy modułowe i ostatnie twierdzenie Fermata , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2, MR  1638473
• Darmon, Henri (1999), „Ogłoszono dowód pełnej hipotezy Shimura-Taniyama-Weil” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 46 (11): 1397-1401, ISSN  0002-9920 , MR  1723249Zawiera łagodne wprowadzenie do twierdzenia i zarys dowodu.
• Diamond, Fred (1996), „Na pierścieniach deformacji i pierścieniach Hecke”, Annals of Mathematics , Druga seria, 144 (1): 137-166, doi : 10.2307/2118586 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118586 , MR  1405946
• Freitas, Nuno; Le Hung, Bao V.; Siksek, Samir (2015), „krzywe eliptyczne nad rzeczywistymi polami kwadratowymi są modułowe”, Inventiones Mathematicae , 201 (1): 159–206, arXiv : 1310.7088 , Bibcode : 2015InMat.201..159F , doi : 10.1007/s00222-014 -0550-z , ISSN  0020-9910 , MR  3359051
• Frey, Gerhard (1986), „Powiązania między stabilnymi krzywymi eliptycznymi i pewnymi równaniami diofantycznymi”, Annales Universitatis Saraviensis. Seria Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN  0933-8268 , MR  0853387
• Mazur, Barry (1991), „Teoria liczb jako gadżet”, The American Mathematical Monthly , 98 (7): 593-610, doi : 10.2307/2324924 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2324924 , MR  1121312 Omawia hipotezę Taniyamy-Shimury-Weila na 3 lata przed jej udowodnieniem w nieskończenie wielu przypadkach.
• Ribet, Kenneth A. (1990), „Na modułowych reprezentacji Gal ( Q / Q) wynikających z form modułowych”, Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431-476, Bibcode : 1990InMat.100..431R , doi : 10.1007 /BF01231195 , hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN  0020-9910 , MR  1047143
• Serre, Jean-Pierre (1987), „Sur les reprezentacje modulaires de degré 2 de Gal ( Q / Q)”, Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179-230, doi : 10,1215 / S0012-7094-87-05413 -5 , ISSN  0012-7094 , MR  0885783
• Shimura, Goro (1989), „Yutaka Taniyama i jego czasy. Bardzo osobiste wspomnienia”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 21 (2): 186-196, doi : 10.1112/blms/21.2.186 , ISSN  0024-6093 , MR  0976064
• Singh, Simon (1997), Wielkie Twierdzenie Fermata , ISBN 978-1-85702-521-7
• Taniyama, Yutaka (1956), "Problem 12", Sugaku (po japońsku), 7 : 269Tłumaczenie angielskie w ( Shimura 1989 , s. 194)
• Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), "Właściwości teorii pierścienia niektórych algebr Heckego", Annals of Mathematics , Druga seria, 141 (3): 553-572, CiteSeerX  10.1.1.128.531 , doi : 10.2307/2118560 , ISSN  0003- 486X , JSTOR  2118560 , MR  1333036
• Weil, André (1967), „Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen”, Mathematische Annalen , 168 : 149-156, doi : 10.1007/BF01361551 , ISSN  0025-5831 , MR  0207658
• Wiles, Andrew (1995a), "Modularne krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata", Annals of Mathematics , Druga seria, 141 (3): 443-551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307/2118559 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118559 , MR  1333035
• Wiles, Andrew (1995b), „Formy modułowe, krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, tom. 1, 2 (Zürich, 1994) , Bazylea, Boston, Berlin: Birkhäuser, s. 243-245, MR  1403925

Linki zewnętrzne

• Darmon, H. (2001) [1994], "Przypuszczenie Shimura-Taniyama" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie Taniyamy-Shimury” . MatematykaŚwiat .